高　夢(mèng)， 朱家明，劉　新，劉鳳志

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) a.管理科學(xué)與工程學(xué)院；b.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

基于高斯模型對(duì)空氣污染擴(kuò)散問(wèn)題的研究

高夢(mèng)a， 朱家明b*，劉新b，劉鳳志a

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) a.管理科學(xué)與工程學(xué)院；b.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

針對(duì)京津冀地區(qū)的空氣污染問(wèn)題，綜合利用了空氣污染指數(shù)法、變異系數(shù)法等方法，構(gòu)建了模糊綜合評(píng)價(jià)模型、高斯煙羽模型、多點(diǎn)源高斯迭加模型等模型，利用MATLAB、VC++等軟件，得出影響京津冀地區(qū)空氣質(zhì)量的主要污染源為燃煤和汽車(chē)尾氣，北京市二環(huán)、四環(huán)、六環(huán)路在16日的空氣質(zhì)量狀況均為輕度污染等結(jié)論。并給出了河北某工廠方圓51 km內(nèi)污染物濃度分布情況和北京市三個(gè)環(huán)路的空氣污染濃度梯度變化情況。

空氣質(zhì)量指數(shù)；變異系數(shù)；單點(diǎn)源高斯煙羽模型；多線源高斯迭加模型；MATLAB

近十年來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平快速增長(zhǎng)，但由于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模式相對(duì)落后，對(duì)生態(tài)平衡和自然環(huán)境造成了一定的破壞，空氣污染問(wèn)題日益嚴(yán)重。我們以京津冀地區(qū)為例，對(duì)其空氣質(zhì)量狀況及空氣污染擴(kuò)散問(wèn)題進(jìn)行了研究（詳見(jiàn)2015年第十二屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽B題［1］）。

1　空氣質(zhì)量等級(jí)的衡量

1.1空氣污染指數(shù)的計(jì)算

設(shè)第k種污染物的濃度為Ck，當(dāng)時(shí)，其分指數(shù)Ak為其中Ak為第k種污染物的污染分指數(shù)，Ck為第k種污染物的濃度監(jiān)測(cè)值，Ak，s為第k種污染物s轉(zhuǎn)折點(diǎn)的污染分項(xiàng)指數(shù)值，Ak，s+1為第k種污染物s+1轉(zhuǎn)折點(diǎn)的污染分項(xiàng)指數(shù)值，Ck，s為第s轉(zhuǎn)折點(diǎn)上k種污染物（對(duì)應(yīng)于 Ak，s）濃度限值，Ck，s+1為第s+1轉(zhuǎn)折點(diǎn)上k種污染物（對(duì)應(yīng)于Ak，s+1）濃度限值［2］。Ck，s和Ck，s+1的值可通過(guò)查閱國(guó)標(biāo)和美標(biāo)得出。

空氣污染指數(shù)API為各種污染物空氣污染分指數(shù)的最大值，即有

API=max（A1，A2，…，Ak，…，An），其中，Ak為第k種污染物的空氣污染分指數(shù)，n為污染物的個(gè)數(shù)。

1.2空氣質(zhì)量?jī)?yōu)劣程度等級(jí)的評(píng)定

根據(jù)空氣污染指數(shù)與空氣質(zhì)量級(jí)別的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行空氣質(zhì)量?jī)?yōu)劣程度等級(jí)的評(píng)定，具體對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1。

2　京津冀地區(qū)主要污染源及其污染參數(shù)的分析

2.1研究方法

在中國(guó)空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)查找到2014年度北京、天津、石家莊等地區(qū)空氣污染物在各個(gè)月的濃度值。利用變異系數(shù)法，以PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧化碳、臭氧的濃度值為指標(biāo)對(duì)北京、天津、石家莊進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)［3］。得出各地區(qū)指標(biāo)的權(quán)重（見(jiàn)表2）。

表1　空氣污染指數(shù)與空氣質(zhì)量級(jí)別對(duì)應(yīng)關(guān)系表

表2　京津冀地區(qū)各污染物指標(biāo)的權(quán)重值表

2.2結(jié)果分析

從表2可以看出京津冀地區(qū)的首要污染物為二氧化硫，次要污染物為臭氧。

二氧化硫主要來(lái)源于煤、石油等燃料的燃燒以及燃煤電廠排放的廢氣。京津冀地區(qū)是全國(guó)主要的高新技術(shù)和重工業(yè)城市，煤炭發(fā)電占據(jù)著非常重要的地位。而煤炭中，硫?yàn)樽钪饕挠泻Τ煞郑禾咳紵龝r(shí)絕大部分的硫被氧化成二氧化硫，隨煙氣排放，污染大氣，引起霧霾。而一氧化碳和一氧化氮易被空氣中的氧氣氧化，因而在測(cè)得的空氣質(zhì)量指數(shù)中濃度較低。

臭氧主要來(lái)源于汽車(chē)尾氣，汽車(chē)尾氣中的碳?xì)浠衔锖偷趸衔镌诠庹兆饔孟掳l(fā)生化學(xué)反應(yīng)生成臭氧，臭氧會(huì)和大氣中的其它成份結(jié)合形成光化學(xué)煙霧，這是汽車(chē)尾氣最主要的危害形式。汽車(chē)尾氣主要污染物為一氧化碳、碳?xì)浠衔?、氮氧化物（NOx）、鉛等，還含有較多的二氧化硫和懸浮顆粒物（PM2.5，PM10）。

3　對(duì)單污染源空氣污染擴(kuò)散問(wèn)題的研究

3.1研究思路

煙羽模型適用于連續(xù)源的擴(kuò)散，其濃度分布公式為：

其中，c為擴(kuò)散的污染物濃度，A為煙囪排放污染物的強(qiáng)度（單位為m3/s），v為平均風(fēng)速，h為煙云的有效高度，（x，y，z）是該點(diǎn)坐標(biāo)，σy，σz分別為橫風(fēng)向和垂直方向的擴(kuò)散系數(shù)，單位為m［4］。

以煙囪塔在地面上的垂直投影點(diǎn)為原點(diǎn)，以風(fēng)速方向?yàn)閤軸正向，y軸在水平面上垂直于x軸，正向在x軸的左側(cè)，z軸垂直于水平面XOY，向上為正向，建立空間直角坐標(biāo)系。

由于題中未給出煙囪排放污染物所含的初始能量，以及煙囪口的直徑等條件，所以無(wú)法求出排放的煙云抬升的高度h，因此以煙囪的高度H（H= 50 m）來(lái)表示有效高度h。假設(shè)模型中的大氣穩(wěn)定度為中性氣象條件D，根據(jù)σy、σz與大氣穩(wěn)定度及下風(fēng)距離x的關(guān)系［5］（見(jiàn)表3）計(jì)算得σy和σz。

表3　擴(kuò)散系數(shù)計(jì)算方法表

3.2研究方法及結(jié)果分析

3.2.1污染物濃度分布情況

根據(jù)公式（2），利用MATLAB編程作出在早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)期間（見(jiàn)圖1，2）和在晚上10點(diǎn)至凌晨4點(diǎn)期間（見(jiàn)圖3，4）該工廠附近51 km內(nèi)廢氣擴(kuò)散模擬圖和污染物濃度分布模擬圖。

圖1　早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)廢氣擴(kuò)散模擬圖

圖2　早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)污染物濃度分布模擬

圖3　晚上10點(diǎn)至凌晨4點(diǎn)廢氣擴(kuò)散模擬圖

圖4　晚上10點(diǎn)至凌晨4點(diǎn)污染物濃度分布模擬圖

以上兩個(gè)時(shí)間段均為污染物連續(xù)排放期間，由廢氣擴(kuò)散模擬圖和污染物濃度分布模擬圖可以看出，在最靠近污染源處污染物濃度最大，隨著下風(fēng)距離的增加，污染物濃度逐漸減小。由于本題設(shè)定風(fēng)速為6 m/s且忽略污染物在無(wú)風(fēng)時(shí)的自然擴(kuò)散速度，因此污染物主要沿著x軸，即風(fēng)向方向擴(kuò)散，在污染物濃度分布模擬圖中表現(xiàn)為濃度主要分布在x軸，而在其它位置濃度為零。

在早上8點(diǎn)時(shí)，考慮晚上10點(diǎn)至凌晨4點(diǎn)期間。在凌晨4點(diǎn)時(shí)，該工廠方圓51 km內(nèi)濃度分布情況見(jiàn)圖4。本題忽略污染物在無(wú)風(fēng)時(shí)的自然擴(kuò)散速度，僅考慮污染物煙團(tuán)隨風(fēng)向整體飄動(dòng)，凌晨4點(diǎn)至早上8點(diǎn)期間污染物移動(dòng)距離為s=v×t=6×4×3 600=86 400m。其中，s為污染物移動(dòng)距離，v為平均風(fēng)速，t為污染物移動(dòng)時(shí)間。

可以看出污染物移動(dòng)距離為86.4 Km，大于51 km，所以早上8點(diǎn)時(shí)，方圓51 km范圍內(nèi)不存在污染物，污染物濃度均為零。

在中午12點(diǎn)時(shí)，因?yàn)橹形?2點(diǎn)在早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)期間內(nèi)，所以其空氣污染濃度分布與早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)期間空氣污染濃度分布相同，見(jiàn)圖2。

在晚上9點(diǎn)時(shí)，考慮早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)期間，在下午3點(diǎn)時(shí)，該工廠方圓51 km內(nèi)濃度分布情況見(jiàn)圖2，下午3點(diǎn)至晚上9點(diǎn)期間污染物移動(dòng)距離為s=μ×t=6×6×3 600=129.6km。移動(dòng)距離大于51 km，所以晚上9點(diǎn)時(shí)，方圓51 km范圍內(nèi)不存在污染物，污染物濃度均為零。

3.2.2空氣質(zhì)量等級(jí)的求解

根據(jù)單污染源高斯煙羽模型及公式（2），編寫(xiě)C++程序得到在早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)期間和晚上10點(diǎn)至凌晨4點(diǎn)期間距工廠廢氣排放點(diǎn)不同距離時(shí)的空氣污染濃度C（xk，yk，z）（z取50）。可得，在早上9點(diǎn)至下午3點(diǎn)，該工廠排放濃度為406.92 mg/m3，排放速度為1 200 m3/h時(shí)有：

因?yàn)槲廴疚镏饕獮榈趸铮源朔种笖?shù)即為其空氣污染指數(shù)。根據(jù)空氣污染指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得此時(shí)該工廠方圓51 km內(nèi)空氣質(zhì)量等級(jí)為I，空氣質(zhì)量狀況為優(yōu)。

同理可得，在晚上10點(diǎn)至凌晨4點(diǎn)期間，其污染物的平均濃度2.57×10-36μg/m3，二氧化氮的空氣質(zhì)量分指數(shù)為3.21×10-36，空氣質(zhì)量等級(jí)為I，空氣質(zhì)量狀況為優(yōu)。

此結(jié)果與我們正常理解不符，即有工廠廢棄污染，但空氣質(zhì)量狀況卻很好。但此題僅考慮了該工廠一個(gè)污染源，忽略了該地區(qū)其它工廠及機(jī)動(dòng)車(chē)尾氣對(duì)空氣質(zhì)量的影響，而此工廠污染物的排放濃度和排放速度均較小，且計(jì)算的擴(kuò)散范圍較大，所以對(duì)空氣污染不大，空氣質(zhì)量較好。

由3.2.1中污染物濃度分布情況的求解結(jié)果可知，早上8點(diǎn)和晚上9點(diǎn)時(shí)該工廠方圓51 km內(nèi)不存在污染物，所以其空氣質(zhì)量等級(jí)為I，而中午12點(diǎn)時(shí)，該工廠方圓51 km內(nèi)空氣污染濃度分布情況為圖2所示，其空氣質(zhì)量等級(jí)為I。所以，三個(gè)時(shí)點(diǎn)所求范圍內(nèi)的空氣質(zhì)量等級(jí)均為I，空氣質(zhì)量狀況為優(yōu)。

4　對(duì)多污染源空氣污染擴(kuò)散問(wèn)題的研究

4.1研究思路

針對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)排放污染，當(dāng)風(fēng)向與線源垂直的時(shí)候，得到無(wú)限長(zhǎng)線源的擴(kuò)散模式，其公式為

并且

以第i個(gè)污染源所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以風(fēng)向方向?yàn)閤軸正方向，y軸與x軸形成右手坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系。Ci（x，y，z）為第i個(gè)污染源在點(diǎn)（x，y，z）處的空氣污染濃度（mg/m3），x為下風(fēng)向距離（m），y為橫截風(fēng)向距離（m）；z為距地面高度（m）；Ai為污染物源強(qiáng)（mg/s）；v為排氣口處的平均風(fēng)速（m/s）；σy、σz分別為水平方向和垂直方向擴(kuò)散系數(shù)（m），它們是下風(fēng)向距離x及大氣穩(wěn)定度的函數(shù)；h為污染源有效排放高度［6］。

4.2研究方法及結(jié)果分析

4.2.1空氣污染濃度梯度變化的求解

北京市外環(huán)路與市中心的距離（km）如表4。

表4　北京市外環(huán)路與市中心的距離（km）

根據(jù)表4求出二環(huán)與四環(huán)的距離、四環(huán)與六環(huán)的距離、以及二環(huán)和六環(huán)的距離，分別為S1=5.4 km、S2=15.2 km、S3=20.6 km。

設(shè)二環(huán)、四環(huán)和六環(huán)排放濃度分別為156 μg/ m3、136 μg/m3和100 μg/m3，三個(gè)環(huán)路的排放速度均為1 m3/s，可得三個(gè)環(huán)路的污染物源強(qiáng)分別為156μg/s、136μg/s和100μg/s。根據(jù)現(xiàn)有資料做出北京2015年1月16日當(dāng)天的平均風(fēng)速為8 m/s的合理估計(jì)。由帕斯奎爾法［7］確定大氣穩(wěn)定度為中性，即為大氣穩(wěn)定度等級(jí)為D。

根據(jù)公式（3），計(jì)算得環(huán)路4和環(huán)路6在環(huán)路2處的濃度分別為0.081 561μg/m3和0.025 726 μg/m3，因此環(huán)路 2的汽車(chē)尾氣總濃度為C0，1=156+0.081 561+0.025 726=156.107 3μg/m3。

同理可得，環(huán)路2和環(huán)路6在環(huán)路4處的濃度分別為0.081 561μg/m3和0.030 141μg/m3，環(huán)路4的汽車(chē)尾氣總濃度為136.111 7μg/m3。

環(huán)路2和環(huán)路4在環(huán)路6處的濃度分別為0.040 133μg/m3和0.040 992μg/m3，環(huán)路6的汽車(chē)尾氣總濃度為100.081 1μg/m3。

根據(jù)各環(huán)路的汽車(chē)尾氣總濃度繪制北京市在16日的空氣污染濃度梯度變化圖，見(jiàn)圖5。

圖5　空氣污染濃度梯度圖

由圖5可得，從二環(huán)路到六環(huán)路空氣污染濃度梯度呈下降趨勢(shì)，且從四環(huán)路到六環(huán)路下降趨勢(shì)增大。這主要因?yàn)椋h(huán)、四環(huán)和六環(huán)路距離市中心的距離逐漸增大，因此車(chē)流量逐漸減小，空氣污染濃度梯度呈下降趨勢(shì)。

4.2.2空氣污染質(zhì)量等級(jí)的求解

因?yàn)槠?chē)尾氣中最主要的污染物是氮氧化物，根據(jù)國(guó)標(biāo)中二氧化氮的濃度范圍求出其空氣污染分指數(shù)。由公式（1）得二環(huán)路空氣污染分指數(shù)A1為

同理得四環(huán)路的空氣污染分指數(shù)A2為128，六環(huán)路的空氣污染分指數(shù)A3為110。因?yàn)榈趸餅橹饕廴疚?，所以二、四、六環(huán)路的空氣污染指數(shù)與其空氣污染分指數(shù)相同，分別為138、128、110，根據(jù)空氣污染指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得三個(gè)環(huán)路在16日的空氣質(zhì)量等級(jí)均為III級(jí)，空氣質(zhì)量狀況為輕度污染。

5　小結(jié)

以上各模型在建模過(guò)程中通過(guò)多種相應(yīng)的軟件檢驗(yàn)，具有一定的合理性。本文以京津冀地區(qū)為例，對(duì)空氣質(zhì)量狀況及空氣污染擴(kuò)散問(wèn)題進(jìn)行了研究，得出了影響京津冀地區(qū)空氣質(zhì)量狀況的主要污染源及污染參數(shù)，并給出了計(jì)算空氣質(zhì)量狀況的方法，有利于該地對(duì)環(huán)境的治理。另外，本文的模型對(duì)于其它地區(qū)空氣污染狀況的研究及環(huán)境治理也有一定的參考作用。

［1］ 2015年五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽B題.http：//doc.guandang.net/sf441fc7489b58db2c3aa645f.html.

［2］ 惠學(xué)香.空氣污染指數(shù)簡(jiǎn)易計(jì)算方法［J］.環(huán)境監(jiān)測(cè)管理與技術(shù)，2002，14（1）：39-40.

［3］ 楊桂元.數(shù)學(xué)建模［M］.上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2015：128.

［4］ 郭遵強(qiáng).大氣污染擴(kuò)散模型的研究及在環(huán)境應(yīng)急系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)［D］.青島：中國(guó)海洋大學(xué)，2008.

［5］ 李玉平.計(jì)算大氣擴(kuò)散系數(shù)的一組經(jīng)驗(yàn)公式［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，29（10）：914-917.

［6］ 胡亞，林琿，徐丙立，等.基于PC機(jī)群的多點(diǎn)源高斯大氣污染擴(kuò)散模型的并行計(jì)算研究［J］.高技術(shù)通訊，2010，20（4）：436-440.

［7］ 李小忠，侯祺棕，高燕，等.城市大氣穩(wěn)定度分級(jí)模型的研究［J］.工業(yè)安全與防塵，2001，27（4）：27-31.

Research of air pollution diffusion problem based on Gaussian model

GAO Menga， ZHU Jia-mingb*，LIU Xinb，LIU Feng-zhia

（a.School of Management Science and Engineering；b.School of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance& Economics，Bengbu Anhui 233030，China）

In view of the problem of air pollution in Beijing-Tianjin-Hebei region，comprehensive utilization of the air pollution index method，the variation coefficient method and other methods，this paper constructs the fuzzy comprehensive evaluation model，Gaussian plume model，Gaussian superposition model and so on，using the MATLAB and VC++software，concluded that the main sources of affecting air quality in Beijing-Tianjin-Hebei region are coal and car exhaust，and the air quality on second，fourth，sixth loop of Beijing in 16 are light pollution，etc.Then we gave the pollutant concentration distribution around 51 kilometers'by a factory in Hebei province and the change of air pollution's concentration gradient in Beijing's three loops.

air quality index；coefficient of variation；single point source Gaussian plume model；line source superposition Gaussian model；MATLAB

X823

A

1004-4329（2016）02-012-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-012-05

2015-12-03

國(guó)家自然科學(xué)基金（11301001）；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目（201510378020）資助。

朱家明（1973－），男，碩士，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模。Email：zhujm1973@163.com。