于淑妹，楊俊仙*，曹宗宏

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 a.應(yīng)用數(shù)學(xué)系；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 合肥230036）

水培作物生長(zhǎng)所需營(yíng)養(yǎng)液投放周期模型

于淑妹a，b，楊俊仙a，b*，曹宗宏a，b

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 a.應(yīng)用數(shù)學(xué)系；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 合肥230036）

為了水培作物更加健康快速的生長(zhǎng)，同時(shí)又考慮到營(yíng)養(yǎng)液的成本，將普遍采用的一次性投放足夠量的營(yíng)養(yǎng)液轉(zhuǎn)變?yōu)榉謺r(shí)分階段的投放。在此基礎(chǔ)上建立兩個(gè)階段的數(shù)學(xué)模型，即作物定植前在基質(zhì)中僅靠水源生長(zhǎng)階段，以及定植后投入一定量一定濃度的營(yíng)養(yǎng)液后的生長(zhǎng)階段。最后以水培意大利生菜為例，測(cè)量出各階段開展度的數(shù)據(jù)，并用Matlab給出時(shí)間與作物生長(zhǎng)量之間關(guān)系的圖像。

營(yíng)養(yǎng)液；周期；模型

隨著我國(guó)設(shè)施農(nóng)業(yè)的發(fā)展，無(wú)土栽培特別是水培技術(shù)得到廣泛的推廣和應(yīng)用。蔬菜水培可避免土壤栽培中容易出現(xiàn)的連作障礙，栽培條件易于控制，蔬菜生長(zhǎng)整齊，周期短，而且清潔無(wú)污染，可多茬栽培，連續(xù)生產(chǎn)，均衡上市，具有很高的商業(yè)價(jià)值。

近幾年興起的家庭菜園方式種植植株一般會(huì)選擇直接從市場(chǎng)購(gòu)入配好的標(biāo)準(zhǔn)濃度的營(yíng)養(yǎng)液，按說(shuō)明一次性加入充足的營(yíng)養(yǎng)液至定植后的植株中，這樣的方式簡(jiǎn)易、好操作，但從節(jié)約成本，提高效率方面來(lái)說(shuō)并非最優(yōu)。一方面地下水水源中Ca和Mg的含量均接近和超出園試配方的濃度［1］，可充分利用其中的有用的營(yíng)養(yǎng)元素；另一方面，若可以分次添加由低到高不同濃度的營(yíng)養(yǎng)液，可減少營(yíng)養(yǎng)液使用的總量，最終達(dá)到節(jié)約成本的目的。

可以查閱到的資料［4-8］以介紹水培作物具體的播種、分苗、定植方法以及如何配制適當(dāng)濃度的營(yíng)養(yǎng)液較為常見，而利用數(shù)學(xué)方法定量分析營(yíng)養(yǎng)液的投放周期尚少見到。本文受到文獻(xiàn)［2，9，10］的啟發(fā)，建立微分方程模型，較精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)投放營(yíng)養(yǎng)液的周期，對(duì)成長(zhǎng)期較短的植株如生菜，我們可以計(jì)算出成熟期，而對(duì)成長(zhǎng)期較長(zhǎng)的植株如黃瓜、草莓等該周期即為分次投放營(yíng)養(yǎng)液的時(shí)間間隔。

最后以意大利生菜在實(shí)驗(yàn)室條件下用充氣式靜止?fàn)I養(yǎng)液培養(yǎng)方式，以開展度為測(cè)定目標(biāo)，得出數(shù)據(jù)，并以Matlab給出時(shí)間與作物生長(zhǎng)量間的關(guān)系圖像，進(jìn)一步驗(yàn)證了建立的數(shù)學(xué)模型的合理性。

1　建立模型

本文主要研究隨著營(yíng)養(yǎng)液的投入植物生長(zhǎng)量隨時(shí)間變化而變化的關(guān)系，這與眾所周知的生物種群的變化動(dòng)態(tài)可用Logistic模型［3］來(lái)描述不同。無(wú)論是第一階段定植前作物僅靠基質(zhì)中水源自身的營(yíng)養(yǎng)而生長(zhǎng)的階段，還是第二階段定植后加入適當(dāng)濃度的營(yíng)養(yǎng)液后的生長(zhǎng)階段，植物生長(zhǎng)速率總是經(jīng)過(guò)由快變緩的過(guò)程，最終目標(biāo)是給出理論上的數(shù)值，控制再次投放營(yíng)養(yǎng)液的時(shí)間［11，12］。

1.1第一階段

水培作物定植前，用x代表其生長(zhǎng)量，記r1為自然增長(zhǎng)率系數(shù)，N為自然狀態(tài)下的環(huán)境容納量，t0為作物在基質(zhì)中出苗時(shí)刻即開始觀測(cè)時(shí)刻，t1為定植時(shí)刻，為了簡(jiǎn)化模型忽略作物定植與第一次投入營(yíng)養(yǎng)液之間的時(shí)間間隔，因此，t1即為第一次投入營(yíng)養(yǎng)液的時(shí)刻，ε＞0為給定的一個(gè)參數(shù)，表明某時(shí)刻的生長(zhǎng)量的變化率。作物種子在基質(zhì)中，僅靠水源及周圍適宜的溫度就可以保持短期增長(zhǎng)趨勢(shì)，當(dāng)作物的生長(zhǎng)速率減緩到ε時(shí)，即此時(shí)為t1時(shí)刻，則開始定植，隨后第一次投放營(yíng)養(yǎng)液。

1.2第二階段

第一次投放營(yíng)養(yǎng)液后，一段時(shí)間內(nèi)作物營(yíng)養(yǎng)充足快速生長(zhǎng)，但隨著時(shí)間推移，營(yíng)養(yǎng)液中主要營(yíng)養(yǎng)成分耗散，作物生長(zhǎng)變緩，從而需要再次投放營(yíng)養(yǎng)液。記ti為第i次投放營(yíng)養(yǎng)液的時(shí)刻，i=1，2，…，m為加入營(yíng)養(yǎng)液條件下環(huán)境容納量，T為兩次投放時(shí)間間隔。

2　模型求解

對(duì)于第一階段的模型，欲求解

先求

因此，（1）的通解為

將條件x（）t0=x0代入（6）可得

從而可得（1）的特解為

由（7）和（9），可得

即有

類似地，對(duì)于第二階段的模型，欲求解（3）在條件（4）下的解，先對(duì)（3）用常數(shù)變易法然后使用條件（4），可得

3用MATLAB仿真

3.1實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)室條件下，用充氣式靜止?fàn)I養(yǎng)液培養(yǎng)方式種植5株意大利生菜，營(yíng)養(yǎng)液選用標(biāo)準(zhǔn)濃度的日本山崎配方。2015年9月5日，將蛭石用清水浸透，將生菜種子撒播于其中，9月8日出苗，開始每3日測(cè)量其開展度，生長(zhǎng)變化率明顯變緩后考慮分苗、定植，為了簡(jiǎn)化過(guò)程，忽略分苗與定植間的時(shí)間間隔。定植后投入標(biāo)準(zhǔn)濃度山崎溶液，每3日測(cè)其開展度，把測(cè)得的數(shù)據(jù)（見表1）取平均值描點(diǎn)得到生菜生長(zhǎng)折線圖，如圖1所示。

圖1　生菜生長(zhǎng)折線圖

表1　菜生長(zhǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)

3.2參數(shù)擬合

先確定模型（1）（2）中的參數(shù)，由專業(yè)知識(shí)可知 N=5，r1=2.28，再由表 1中的數(shù)據(jù)易知x0=1.12，t0=1，給定 ε=0.1，由（6）式可求出t1=7.33≈7天。

再確定模型（3）（4）中的參數(shù)，結(jié)合表1中的數(shù)據(jù)利用 SAS軟件，易知 m=32，r2=3.1，α=0.02，最后將以上參數(shù)代入（7）式得：T=32.51≈33天。

3.3分析

用Matlab仿真的生菜生長(zhǎng)圖，如圖2所示。從圖2曲線態(tài)勢(shì)看基本符合圖1的意大利生菜的生長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，圖2中曲線明顯的跳躍即為定植時(shí)機(jī)，隨后添加營(yíng)養(yǎng)液，之后進(jìn)入一個(gè)由快漸緩的生長(zhǎng)期直至成熟。

圖2　生菜生長(zhǎng)matlab仿真圖

4　結(jié)束語(yǔ)

本文基于投放營(yíng)養(yǎng)液前后水培作物的生長(zhǎng)變化規(guī)律，建立營(yíng)養(yǎng)液投放周期模型。若作物的生長(zhǎng)期較短，所求周期T即為作物上市期，若生長(zhǎng)期較長(zhǎng)，則為多次投放營(yíng)養(yǎng)液時(shí)，每?jī)纱伍g的時(shí)間間隔，對(duì)于較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)、控制作物成熟期并減少營(yíng)養(yǎng)液的用量有一定的意義，而所求定植時(shí)刻t1，將通過(guò)觀察作物葉片特征選擇定植時(shí)機(jī)轉(zhuǎn)化為定量分析的方法，理論上更精確，最后，實(shí)驗(yàn)室條件下得出的數(shù)據(jù)與Matlab作出圖像擬合較好。分階段投放營(yíng)養(yǎng)液時(shí)由于作物處在不同的生長(zhǎng)期而導(dǎo)致營(yíng)養(yǎng)液投放周期會(huì)有所變化，是否可將作物生長(zhǎng)分為若干階段更精確的給出周期T是今后討論的方向。

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［12］楊俊仙，徐麗.一類具非線性發(fā)生率和時(shí)滯的SIQS傳染病模型的全局穩(wěn)定性［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2014，49（5）：67-74.

Cycle model of sprinkling the required nutrition liquid for growth of hydroponic crop

YU Shu-meia，b，YANG Jun-xiana，b*，CAO Zong-honga，b

（a.Department of Applied Mathematics；b.Institute of Applied Mathematics，School of Science，Anhui Agricultural University，Hefei Anhui 230036，China）

A time-phased sprinkling is adopted instead of a disposable sprinkling sufficient amount of nutrient solution in order to make hydroponic crop grow more healthily and rapidly，and regarding the cost of nutrient solution.The mathematical model of two phase is established on its basis，namely growth phase on crop abutting the water when transplanting，as well as the growth phase on a certain amount and a certain concentration of nutrient solution.Finally taking Italy Hydroponic Lettuce as an example，measure data of their development，then draw its relationship image between time and crop growth with the help of Matlab.

nutrition liquid；cycle；model

O175.1

A

1004-4329（2016）02-024-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-024-04

2015-12-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11201002）；安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)校級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目（2015039）資助。

于淑妹（1983－），女，碩士，講師，研究方向：微分方程與應(yīng)用。

楊俊仙（1976－），女，碩士，副教授，研究方向：微分方程與應(yīng)用。Email：yangjunxian@ahau.edu.cn。