蔣進科，方宗德

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基于切向滾齒加工斜齒輪修形齒面的設計與分析

蔣進科，方宗德

(西北工業(yè)大學機電學院，陜西西安，710072)

為提高修形齒輪加工效率，并降低齒輪副振動與噪音，提出切向滾齒加工雙鼓形齒斜齒輪設計方法。根據(jù)空間嚙合原理建立3自由度切向滾齒模型，設計滾刀齒形及修正工件附加轉交角與安裝中心距，并推導工件修形齒面；其次，結合LTCA技術以承載傳動誤差(LTE)幅值最小為優(yōu)化目標，獲得上述加工參數(shù)，并分析LTE幅值與齒輪副重合度關系。研究結果表明：設計加工參數(shù)可減小安裝誤差敏感性，避免邊緣接觸；齒輪副LTE幅值降低44%，因此，有利于降低振動與噪音；當滾刀有齒向修形時，再增加合理的切向運動，使得滾切過程中，產生沿齒向方向齒形的連續(xù)變化，可消除傳統(tǒng)加工(改變中心距)產生的齒形扭曲。

滾齒；拓撲修形；接觸分析；承載接觸分析；承載傳動誤差

滾齒加工是一種高效、經濟的圓柱齒輪加方法，廣泛應用于直齒、斜齒、蝸輪齒面加工。隨著現(xiàn)代數(shù)控滾齒技術發(fā)展，滾齒加工精度、效率明顯提高，國外高檔數(shù)控滾齒機加工精度已達4級，通過控制機床運動及修形滾刀齒面可以加工出新穎有拓撲修形齒面工件，提高了平行軸漸開線齒面?zhèn)鲃淤|量。切向滾齒在切削過程中，除沿工件軸向進給外，還增加1個沿滾刀本身軸線方向的切向進給運動，為3自由度加工，其優(yōu)點是滾刀在全長內的所有刀齒都參與切削，使各刀齒的負荷均勻, 刀具耐用度提高，齒面光潔度和精度高。滾齒嚙合原理類似1對交錯軸漸開線齒輪傳動。CHIU等[1]研究表明即使在切削條件良好條件下，滾齒齒面誤差主要來源于滾刀幾何設計誤差及加工中心距誤差。NAGATA[2]建立了通用6軸CNC滾齒機模型，研究了多自由度滾齒加工技術，推導了機床各軸運動關系。為了提高滾齒加工效率，BOUZAKIS等[3?4]通過試驗分析，建立了滾刀磨損量計算模型，預算了滾刀磨損量。VEDMAR[5]假設滾刀切削刃在任意方向為平面曲線，通過函數(shù)解析方法得到工件可能的形貌，預算工件齒面粗糙度。INNOCENTI[6]通過分析計算得到滾齒安裝參數(shù)(軸交角與中心距)、嚙合側隙簡單關系，為了實現(xiàn)0側隙嚙合，得到最佳安裝參數(shù)。XIA等[7]通過四軸聯(lián)動實現(xiàn)切向滾齒加工非圓齒輪。HSU等[8?10]建立了2自由度滾齒模型，通過改變滾刀齒厚、切向進給參數(shù)、工件附加轉角，實現(xiàn)齒向無扭曲齒面加工，并進行了齒向鼓形齒分析(TCA)。RADZEVICH等[11?14]通過對滾刀幾何設計及運動學分析，確定了滾齒過程軸向進給最小空行程距離，并在分析計算滾刀切削刃參數(shù)基礎上對其幾何參數(shù)、機床加工參數(shù)進行優(yōu)化，提高了滾刀加工齒面精度。 為了提高滾刀加工精度，SHIH等[15]建立了CNC 5軸聯(lián)動滾刀前刀面高階校正模型，通過最小二乘法獲得機床運動參數(shù)。上述研究局限于加工標準齒面的滾刀幾何設計與分析，尚未涉及滾齒拓撲修形齒面及齒面嚙合性能研究?，F(xiàn)代數(shù)控技術的發(fā)展使得通過控制機床運動及修形滾刀齒形，實現(xiàn)滾齒拓撲修形齒面的加工達到減振降噪效果已成為可能。齒輪承載傳動誤差(LTE)已被證實是產生振動與噪音的主要因素[16?17]，WANG等[18]通過預設4階UTE及接觸路徑，根據(jù)局部綜合法推導弧齒錐齒輪加工參數(shù)。SIMON等[19?20]介紹一種承載接觸分析(LTCA)模型，通過優(yōu)化機床徑向運動、滾輪運動系數(shù)，使LTE幅值降低了70%~80%，但并未報道優(yōu)化方法。ARTONI等[21]通過優(yōu)化準雙曲面LTEs幅值及齒面應力最小，得到減材料齒面最佳修形量。因此，如何通過設計滾齒加工參數(shù)進行修形齒面加工，降低齒輪副LTE幅值，達到減振降噪效果有重要意義。本文作者根據(jù)空間嚙合原理建立3自由度切向滾齒模型，通過設計滾刀齒形及修正工件附加轉交角、中心距、切向進給速度，推導工件拓撲修形齒面；結合LTCA技術以LTE幅值最小為優(yōu)化目標，獲得滾刀齒形修形及運動參數(shù)。

1 齒條展成漸開線齒面

傳統(tǒng)滾刀齒面為漸開線齒面，為了加工修形齒面，需要對滾刀齒面進行修形，如圖1(a)及圖1(b)所示，其中1和2為滾刀的齒面修形參數(shù)，n為法向壓力角，n為法向模數(shù)；根據(jù)齒條展成漸開線齒面原理(見圖1(c))，展成滾刀及大齒輪齒面表示為：

(2)

(a) 法向齒條齒廓修形(滾刀)；(b) 法向齒條齒向修形(滾刀)；(c) 齒條法向廓形(大齒輪)；(d) 齒條展成齒輪坐標系

圖1 齒條展成滾刀及大齒輪齒面

Fig. 1 Coordinate systems of modified rack-cutter and generating helical gear

式中：和分別為位矢和法矢，下標為和，分別表示滾刀及大齒輪；為法向齒條位矢，下標為和，分別表示展成滾刀及大齒輪分析齒條；u和l分別為齒條參數(shù)；r為節(jié)圓半徑；θ為展成角。

2 切向滾齒數(shù)學模型

滾齒加工近似于1對相錯軸漸開線圓柱齒輪傳動，滾刀螺旋角與工件的螺旋角形成1個軸交角，徑向中心距為0(如圖2(a)所示)；h和2分別為滾刀、工件動坐標系；a，b，c和d分別為參考坐標系；滾齒過程中主要有3個運動：滾刀繞自身軸的轉動，轉角為1；滾刀沿工件軸向進給，位移為l；滾刀沿工件切向進給，進給位移為l；工件繞自身軸轉動，轉角為2。安裝參數(shù)和0表示為：

(5)

切向滾齒過程中切向速度通常為軸向速度的線性函數(shù)即

切向滾齒時，由于滾刀的軸向進給及切向進給，工件需要有附加轉角，工件轉角為

(7)

式中：1和2分別為滾刀及小輪(工件)螺旋角，與旋向有關系，同向取正，反向取負；1和2分別為滾刀及小輪齒數(shù)(頭數(shù))；3為滾刀切向運動系數(shù)；1和2分別為工件和滾刀的節(jié)圓半徑。

根據(jù)式(6)和(7)切向滾齒可以簡化為2自由度滾齒，該過程中l與1為獨立的運動參數(shù)，二者之間沒有函數(shù)關系，根據(jù)空間齒面嚙合原理，將滾刀齒面位矢從坐標系h變換到工件坐標系2中，同時在l和s取某個值時，均應滿足嚙合方程式，因此，工件齒面位矢及法矢為：

(8)

(9)

(11)

式中：1a，ab，bc，cd和dh為從滾刀到工件的坐標變換矩陣；1a，ab，bc，cd和dh為其相應3×3子矩陣。

圖2 切向滾齒坐標系

3 工件齒面修形量計算

通過修形滾刀齒形及改變工件轉角及中心距可實現(xiàn)齒向的修形，即

(13)

將齒面劃分為9×15個網格，對比滾齒面與標準漸開線齒面，網格，處的修形量表示為

(14)

4 優(yōu)化LTE幅值計算滾齒加工參數(shù)

4.1 齒面接觸分析

通過齒條展成滾刀齒面及大輪齒面(標準漸開線齒面)，再通過滾刀齒面進行2自由度切向滾齒得到小輪修形齒面，小輪輪齒面參數(shù)為u，l，θ，1和l，大輪輪齒面參數(shù)為u，l和θ。圖3所示為齒輪副安裝坐標系，其中，1和2分別為小輪、大輪運動坐標系，h1，h2和f為參考坐標系，，Δ為安裝中心距及誤差，Δ為軸交角安裝誤差，和分別為小輪、大輪轉角，TCA方程表達式為：

(16)

(17)

式中：f1，f2，f1和f2分別為齒面動坐標系到固定坐標系的轉化矩陣。

式(17)中，變量為u，l，θ，2，s，u，l，θ，和，共計10個，取為輸入量，則變量為9個，需要9個方程可確定唯一解。式(17)可分解為5個方程式，加上4個嚙合方程式，即式(3)為齒條展成大輪、滾刀齒刀齒面嚙合方程(共計2個)，式(10)~(11)為滾刀包絡小輪齒面嚙合方程，可確定唯一解。通過TCA得到UTE為

圖3 TCA安裝坐標系

Fig. 3 Coordinate system applied for TCA

4.2 優(yōu)化模型

本文的LTCA方法[22]是一種在TCA基礎上，將有限元法與幾何計算結合起來，考慮多齒對接觸，將齒輪副受力接觸轉化為求解齒面有限個離散接觸點的力學平衡問題，通過復合形方法求解非線性方程組得到加載后齒輪副瞬時接觸線上離散點的載荷和一個嚙合周期法向變形，將該法向變形Z轉化為嚙合線上的位移，用轉角(單位：(″))形式表示，即一個嚙合周期的LTE為

式中：bg和g分別為被動大輪基圓半徑和螺旋角。

通過優(yōu)化一個嚙合周期的LTE幅值最小確定修形系數(shù)s,s,s，目標函數(shù)表示為

優(yōu)化過程即通過改變滾刀齒面修形參數(shù)及機床運動參數(shù)，即優(yōu)化變量為=[1,2,3,4,5,6,7], 改變小輪齒面修形量，進而改變齒輪副的接觸間隙，進行TCA和LTCA的一個非線性迭代過程，優(yōu)化變量與優(yōu)化目標函數(shù)之間沒有直接聯(lián)系，在實際中不能建立由優(yōu)化變量到目標函數(shù)的解析表達式，而且在優(yōu)化解空間內存在多個局部最優(yōu)解，因此，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法在此并不適用；粒子群算法且具有全局收斂性，可以求解具有多個局部極值的非線性優(yōu)化問題，結構簡單，因此本文應用該優(yōu)化算法求解，其流程如圖4所示。

圖4 修形參數(shù)優(yōu)化流程圖

Fig. 4 Flowchart of modification parameters optimization

5 算例與分析

以文獻[9]中滾刀、斜齒輪副參數(shù)為例(見表1)，負載扭矩500 N?m工況為優(yōu)化目標，其中展成滾刀的齒條齒廓進行4次拋物線修形，齒向進行2次拋物線修形。當滾刀有齒向修形時，工件齒向扭曲程度受滾刀切向進給速度影響，因此，本文給定滾刀齒向修形系數(shù)即2=?1×10?8，主要優(yōu)化滾刀齒廓修形參數(shù)1、滾齒切向進給速度參數(shù)3、滾齒中心距參數(shù)4、滾齒工件附加轉角參數(shù)5~7共計6個。優(yōu)化結果見表2，最佳修形齒面(圖5)。分析如下：1) 僅修形滾刀齒形后，將對工件產生齒形修形(圖6(a))；對滾刀進行齒向修形后，切向速度將影響齒形扭曲程度；當切向運動系數(shù)7=3.2時，齒向無扭曲現(xiàn)象(圖6(b)~(d))。需要說明的是：扭曲程度與滾刀齒向修形量或滾刀長度有關；改變中心距將導致工件齒形扭曲(圖6(e))；修正工件附加轉角導致工件齒形扭曲(圖6(f)~(h))?？梢姡寒敐L刀沿齒向修形量或當齒向修形量一定時，滾刀長度或切向進給速度及滾切中心距變化對工件齒形扭曲程度有重要影響；通過對滾刀沿齒向進行齒形修形后，再增加切向運動，使得滾切過程中產生沿齒向方向齒形的連續(xù)變化，彌補了傳統(tǒng)加工(改變中心距)由于滾刀齒形無變化而產生的扭曲。2) 修形齒面載荷分布均勻，載荷主要分布在齒面中部，無邊緣接觸，有安裝誤差時，載荷略向端部移動(圖7(a)~(d)，圖8(a)~(d))，修形降低了齒輪副的安裝誤差敏感性；3)無修形時，1個嚙合周期呈現(xiàn)雙齒、三齒交替嚙合，雙齒嚙合區(qū)變形大于三齒嚙合區(qū)變形(見圖9(a))，由于重合度不變，因此，隨載荷增加，雙齒較三齒嚙合區(qū)變形逐漸增大；修形后隨載荷增大，呈現(xiàn)單、雙齒交替嚙合且重合度不斷增大(0~400 N?m)，雙、三齒交替嚙合且重合度不斷增加(400~700 N?m)及不變(≥700 N?m) 3個狀態(tài)(圖9(b))，因此，會在承載傳動誤差幅值曲線上有3個變化，但是，由于齒面有齒向修形，即接觸線上法向間隙影響重合度變化，這3段變化在承載傳動誤差曲線上不是很明顯(圖9(c))。

表1 滾齒基本參數(shù)

表2 優(yōu)化的修形參數(shù)

圖5 優(yōu)化齒面拓撲修形量

(a) a1=?1×10?2, a2=0, a3=?2.2, a4=0, a5=0, a6=0, a7=0; (b) a1=0, a2=?1×10?7,a3=?2.2, a4=0, a5=0, a6=0, a7=0; (c) a1=0, a2=?1×10?7, a3=?3.2, a4=0, a5=0, a6=0, a7=0; (d) a1=0, a2=?1×10?7, a3=?4.2, a4=0, a5=0, a6=0, a7=0; (e) a1=0, a2=0,a7=?2.2, a4=0.001, a5=0, a6=0, a7=0; (f)a1=0, a2=0, a3=?2.2, a4=0, a5=1×10?6, a6=0, a7=0; (g) a1=0, a2=0, a3=?2.2, a4=0, a5=0, a6=1×10?6, a7=0; (h) a1=0, a2=0, a3=?2.2, a4=0, a5=0, a6=0, a7=1×10?6

(a) Δγ=0; (b) Δγv=5′; (c) Δγh=5′; (d) ΔE=?1 mm

(a) Δγ=0; (b) Δγv=5′; (c) Δγh=5′; (d) ΔE=?1 mm

(a) 多載荷承載傳動誤差(無修形)；(b) 多載荷承載傳動誤差(拓撲修形)；(c) 多載荷承載傳動誤差幅值

6 結論

1) 根據(jù)空間嚙合原理，建立了3自由度切向滾齒模型，設計了滾刀齒面拋物線修形參數(shù)及運動修形參數(shù)，求解了工件拓撲修形齒面。

2) 結合LTCA技術以LTE幅值最小，獲得滾刀齒面修形參數(shù)及運動參數(shù)。結果表明：該拓撲修形齒輪可減小安裝誤差敏感性，避免邊緣接觸，降低齒輪副LTE幅值，減小振動與噪音。

3) 當滾刀有齒向修形時，合理的切向進給速度可避免工件齒形扭曲。

4) 無修形齒輪由于重合度不變，因此，隨載荷增加，LTE幅值不斷增加；修形后隨載荷增加，齒面間隙逐漸壓實重合度不斷增加，因此，LTE幅值逐漸降低；當齒面間隙完全壓實后，重合度不再變化，隨載荷增加，傳動誤差逐漸增大。

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(編輯 陳愛華)

Design and analysis for topologically modified helical gear finished by gear-hobbing

JIANG Jinke, FANG Zongde

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072, China)

A design and an analysis of topologically modified helical gears were proposed to improve the machining efficiency and reduce the noise and vibration. Firstly, the topologically modified pinion tooth surfaces finished by hobbing was established according to the meshing theory of three independent motion parameters of the tight rational meshing between work-gear and hobbing cutter and the traverse motion of work-gear along the axis of the work gear and tangential feed along the axis of the hobber. Besides, the modified teeth were determined by the profile gear-hob, the center distance between work-gear and hobbing cutter, the hob tangential feed and additional rotation angle of work gear. Secondly, the parameters were individually determined based on TCA and LTCA by optimizing the aim of minimum the amplitude of loaded transmission error of drive gears. Finally, a numerical simulation of example was performed. The characteristics of amplitude of LTE curves were investigated by analyzing the contact ratio with increasing loads on modified gears. The results show that the optimal modified tooth surfaces can reduce sensitivity caused by errors of axes alignment and prevent the gear’s meshing teeth from colliding with each other at the boundary, and make lower amplitude of LTEs reduce by 44%, which contributes to a lower vibration and noise. Besides, an accurate tangential feed of the hob with longitudinal correction can attain an anti-twist helical gear tooth flank with longitudinal tooth crowning, because continuous changes in profile along longitudinal of hobber contribute to reducing distortion of profile due to variable center distance hobbing without compensation of profile.

gear-hobbing; topological modification; TCA; LTCA; loaded transmission error

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.11.009

TH133

A

1672?7207(2016)11?3677?08

2016?01?11；

2016?04?25

國家自然科學基金資助項目(51175423, 51375384) (Projects(51175423, 51375384) supported by the National Natural Science Foundation of China)

方宗德，教授，博士生導師，從事齒輪嚙合理論、齒面設計及汽車動力學等研究；E-mail: fauto@ nwpu.edu.cn