曹永軍 葉國(guó)強(qiáng) 李麗麗

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一類上三角系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題*

曹永軍1,2葉國(guó)強(qiáng)2李麗麗3

（1.廣東省智能制造研究所 廣東省現(xiàn)代控制與光機(jī)電技術(shù)公共實(shí)驗(yàn)室 2.華南智能機(jī)器人創(chuàng)新研究院 3.順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

針對(duì)非線性非最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，提出一種基于非線性部分線性假設(shè)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法。首先，給出一類特殊結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)，并對(duì)非線性部分引入線性不等式條件。其次，在坐標(biāo)變換下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變?yōu)轭愃频谷墙Y(jié)構(gòu)。最后，通過反步法設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器。

上三角系統(tǒng)；李雅普諾夫函數(shù)；鎮(zhèn)定器設(shè)計(jì)

0 引言

在控制領(lǐng)域有很多控制方法，可用不同方法達(dá)到不同的效果，并且有不同的實(shí)現(xiàn)方式。從應(yīng)用出發(fā)，控制算法可分為3種：以經(jīng)典控制為代表的傳統(tǒng)控制方法，以狀態(tài)空間為研究對(duì)象的現(xiàn)代控制方法和智能控制方法。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制算法的實(shí)現(xiàn)方式越來越具多樣性，尤其計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使其實(shí)現(xiàn)方式越來越簡(jiǎn)單，從而控制算法的應(yīng)用也更加廣泛。

控制算法的實(shí)現(xiàn)方式很多，如利用電路設(shè)計(jì)的模擬量控制，利用計(jì)算機(jī)的數(shù)字控制，應(yīng)用較多的是模擬量的實(shí)現(xiàn)方式。它通過設(shè)計(jì)機(jī)械，構(gòu)造電路達(dá)到連續(xù)性的模擬量控制。這種實(shí)現(xiàn)方式有許多優(yōu)點(diǎn)，如控制器設(shè)計(jì)容易；可利用的信息較全面。但其缺點(diǎn)也越來越突出，如控制算法復(fù)雜時(shí)，可實(shí)現(xiàn)方式較少；不易于監(jiān)督與操作；分級(jí)控制難度較大；改變控制策略較難。

模擬量控制方法中，輸出反饋是難題。雖然輸出反饋鎮(zhèn)定非線性問題研究已久，并取得較多成果。如，馬林托美的關(guān)于降級(jí)非線性的控制器設(shè)計(jì)[1-2]，帕力關(guān)于非線性非最小相位的觀測(cè)器探究[3-4]等。但這些成果大都針對(duì)一類廣泛最小相位非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題[5]，但還有一些形式如下三角的最小相位系統(tǒng)也可被鎮(zhèn)定。非最小相位非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題是非線性領(lǐng)域的關(guān)鍵問題。

對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，如果輸出結(jié)構(gòu)為

則它的一類非最小相位系統(tǒng)，可通過輸出反饋鎮(zhèn)定器來鎮(zhèn)定。上述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基于一種指數(shù)穩(wěn)定的假設(shè)，這樣的假設(shè)過于嚴(yán)格。本文引入一種基于輸入輸出穩(wěn)定的假設(shè)到非線性非最小相位系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題中，它假設(shè)零動(dòng)態(tài)部分對(duì)估計(jì)輸出和實(shí)際與估計(jì)之間的誤差滿足一種輸入輸出穩(wěn)定。通過這樣的假設(shè)，可由反步法設(shè)計(jì)控制器。

本文討論一類非最小相位系統(tǒng)。首先，給出一類非最小相位系統(tǒng)模型，該最小相位系統(tǒng)具有特殊的上三角結(jié)構(gòu)；然后，討論該模型的特殊性質(zhì)，這些特殊性質(zhì)對(duì)輸出反饋鎮(zhèn)定器的構(gòu)造有非常重要的作用；最后，通過李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造，設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的鎮(zhèn)定器，并且證明該鎮(zhèn)定器能夠鎮(zhèn)定該類上三角系統(tǒng)。

1 一類上三角系統(tǒng)及坐標(biāo)變換

本文討論的一類非最小相位上三角非線性系統(tǒng)有如下形式

為設(shè)計(jì)上述一類上三角系統(tǒng)鎮(zhèn)定器，需要對(duì)非線性部分進(jìn)行假設(shè)。

為更容易設(shè)計(jì)和理解控制器，引入特殊坐標(biāo)變換。取一個(gè)常數(shù)，滿足，定義坐標(biāo)變換為

經(jīng)過坐標(biāo)變換，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

其中

由假設(shè)1，可得到

這樣，可設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)鎮(zhèn)定器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)

2 輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

引理1 基于假設(shè)1，非線性非最小相位的上三角系統(tǒng)能夠被如下形式的輸出反饋控制器鎮(zhèn)定

證明：為設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定器，先引入坐標(biāo)變換

經(jīng)過坐標(biāo)變換，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

由假設(shè)1，可得到

設(shè)計(jì)如下觀測(cè)器

于是得到

其中

則

于是可設(shè)計(jì)如下的輸出反饋控制器

另一方面

由于李雅普諾夫函數(shù)為負(fù)定，可得出結(jié)論，該上三角結(jié)構(gòu)非最小相位的非線性系統(tǒng)能夠被本文設(shè)計(jì)的輸出反饋鎮(zhèn)定器鎮(zhèn)定。

3 仿真與分析

本文構(gòu)造如下的非最小相位的上三角系統(tǒng)，基于假設(shè)1設(shè)計(jì)了控制器進(jìn)行鎮(zhèn)定系統(tǒng)，并且在Matlab平臺(tái)上進(jìn)行仿真。

例：考慮如下的非線性系統(tǒng)

由于非線性部分滿足假設(shè)1，根據(jù)上述方法，設(shè)計(jì)輸出反饋控制器如下

利用Matlab仿真，得到圖1~圖6。

圖2 變化圖

圖3 變化圖

圖4 變化圖

圖5 變化圖

圖6 變化圖

由圖1~圖6可以看出，該控制器能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)，使各個(gè)狀態(tài)變量收斂到原點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類非最小相位具有三角結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，提出一種控制器的構(gòu)造方法，并通過Matlab仿真證明了其可行性。下一步將討論該類系統(tǒng)是否能夠進(jìn)一步拓展；能否放寬結(jié)構(gòu)的特殊性；或其魯棒性和自適應(yīng)控制器構(gòu)造等問題。

[1] Marino R, Tomei P. Dynamic output feedback linearization and global stabilization[J]. Syst. Control Lett., 1991, 17(2): 115- 121.

[2] Marino R, Tomei P. Nonlinear control design: geometric, adaptive and robust[M]. London, U.K.: Prentice-Hall, 1996.

[3] Praly L. Asymptotic stabilization via output feedback for lower triangular systems with output dependent incremental rate[C]//Proc. 40th IEEE Conf. Decision and control, 2001: 3803-3813.

[4] Praly L, Jiang Z P. Stabilization by output feedback for systems with ISS inverse dynamics[J]. Syst. Control Lett., 1993, 21(1): 19-33.

[5] Battilotti S. A Note on reduced order stabilizing output feedback controllers[J]. Syst. Contr. Lett., 1997, 30(30): 71-81.

Output Feedback Stabilization Problem of a Kind of Upper Triangular System

Cao Yongjun1,2Ye Guoqiang2Li Lili3

(1.Guangdong Institute of Intelligent Manufacturing Guangdong Modern Control and Optical Electrical and Mechanical Technology Public Laboratory 2.South China Robotics Innovation Research Institute 3.Shunde Polytechnic)

To solve stability problem of Non-Minimum-Phase nonlinear systems, this paper introduces a new way to design the controller depending on hypothesis about nonlinear part of system. First, a kind of system with special structure is discussed and a kind of linear hypothesis for nonlinear part is introduced. Then a coordinate transformation is introduced to the system, which is transformed into another scale space to discuss the problem. In this system, the system structure becomes similar to the inverted triangular structure system. At last, the paper uses back stepping method to design the controller.

Upper Triangular Systems; Lyapunov Function; Controller Design

曹永軍，男，1981年生，碩士，高級(jí)工程師，主要研究方向：智能控制與系統(tǒng)、機(jī)器視覺等。E-mail: cyjauto@163.com

葉國(guó)強(qiáng)，男，1987年生，碩士，工程師，主要研究方向：非線性控制、工業(yè)機(jī)器人控制、無人機(jī)控制等。

李麗麗，女，1981年生，碩士，工程師，主要研究方向：視覺與控制。

廣東省科技計(jì)劃項(xiàng)目（2015B010917001）、（2016B090912005）、（2014A050503009）、（2015B090922008）；廣東省粵港共性技術(shù)招標(biāo)項(xiàng)目（2013B010134009）；廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（201607010313）；佛山市機(jī)電專業(yè)群開放課題（2015-KJZX133）。