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基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)的三值光學(xué)計(jì)算機(jī)任務(wù)服務(wù)模型

2016-10-13 01:50王先超王春生姚云飛
關(guān)鍵詞:運(yùn)算量排隊(duì)光學(xué)

王先超,張 冕,王春生,姚云飛

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 阜陽 236037)

基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)的三值光學(xué)計(jì)算機(jī)任務(wù)服務(wù)模型

王先超,張冕,王春生,姚云飛

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 阜陽 236037)

確保QoS是三值光學(xué)計(jì)算機(jī)在商業(yè)上成功的關(guān)鍵因素。在分析三值光學(xué)計(jì)算機(jī)任務(wù)管理系統(tǒng)各模塊的基礎(chǔ)上,基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)和串聯(lián)隊(duì)列以及先到先服務(wù)策略建立其服務(wù)模型。用系統(tǒng)平均響應(yīng)時(shí)間分析和評價(jià)三值光學(xué)計(jì)算機(jī)性能。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)平均響應(yīng)時(shí)間隨任務(wù)到達(dá)率和運(yùn)算量的增加而增加,隨網(wǎng)絡(luò)傳輸率的增加而減少;運(yùn)算量和網(wǎng)絡(luò)傳輸速度是影響系統(tǒng)平均響應(yīng)時(shí)間的瓶頸。因此,提出的模型對實(shí)用的三值光學(xué)計(jì)算機(jī)任務(wù)管理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

M/M/1排隊(duì)系統(tǒng);三值光學(xué)計(jì)算機(jī);任務(wù)調(diào)度;響應(yīng)時(shí)間;串聯(lián)隊(duì)列

自三值光學(xué)計(jì)算機(jī)(Ternary Optical Computer,TOC)體系結(jié)構(gòu)和原理[1-2]提出后,軟硬件方面的研究均取得了許多重要成果[3-17]。例如提出了降值設(shè)計(jì)理論[3]、加法器進(jìn)位直達(dá)通道理論[4],實(shí)現(xiàn)了無進(jìn)位加法[6-8,18]和向量矩陣乘法[18],設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了TOC任務(wù)管理系統(tǒng)軟件模塊結(jié)構(gòu)[12-13],提出了相應(yīng)的任務(wù)調(diào)度算法[17]和處理器分配算法[15,17],等等。特別值得一提的是,降值設(shè)計(jì)理論使TOC的光學(xué)處理器具有重構(gòu)性。也是就說,TOC具有計(jì)算的靈活性,能夠根據(jù)計(jì)算需求構(gòu)建不同的處理器。同時(shí),光計(jì)算的并行性使得TOC處理器具有巨位性??傊琓OC作為一種新型計(jì)算資源,用戶可以通過網(wǎng)絡(luò)獲取具有高性能、可擴(kuò)展性和安全性的服務(wù)。

TOC光學(xué)處理器雖然因具備并行性、巨位性、可重構(gòu)性和按位可分配性等的優(yōu)良特性而吸引了眾多研究者,并取得可喜研究成果,但是離TOC實(shí)用尚有很長的路要走。目前缺少對TOC系統(tǒng)性能的研究。為此,本文擬基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)研究TOC的服務(wù)性能,以確保其提供更好的QoS。

1相關(guān)工作

1.1TOC任務(wù)管理系統(tǒng)

TOC的計(jì)算模式如圖1所示。在該模型中,Server是完成用戶計(jì)算需求的唯一節(jié)點(diǎn)。用戶可以通過Client和Network向TOC的Server提交任務(wù)即運(yùn)算請求,完成運(yùn)算后Server再將結(jié)果反饋給Client。

圖1 TOC計(jì)算模式

圖2給出了TOC任務(wù)管理系統(tǒng)中Server的模塊結(jié)構(gòu)圖。Server的運(yùn)算請求接收模塊(Request Accepting Module,RAM)接收到用戶提交的運(yùn)算請求后,將其發(fā)送至數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊(Data PreProcessing Module,DPPM);數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊計(jì)算運(yùn)算請求的優(yōu)先級并將其插入待調(diào)度鏈表;任務(wù)調(diào)度模塊(Task Scheduling Module,TSM)完成鏈表中任務(wù)的調(diào)度,將任務(wù)發(fā)送到TOC;處理器分配模塊(Processor Allocating Module,PAM)根據(jù)按需分配原則為已被調(diào)度的任務(wù)中的不同運(yùn)算(假設(shè)不超過15個(gè))分配光學(xué)處理器資源;同時(shí),TOC的處理器硬件重構(gòu)模塊(Processor Reconfiguring Module,PRM)根據(jù)用戶不同的計(jì)算需求完成光學(xué)處理器重構(gòu),TOC運(yùn)用重構(gòu)好的處理器模塊(Optical Processor Module,OPM)為用戶完成運(yùn)算,解碼器模塊(Decoding Module,DM)對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行解碼,并將運(yùn)算結(jié)果發(fā)送至運(yùn)算結(jié)果發(fā)送模塊(Result Transmitting Module,RTM)。最后RTM模塊將運(yùn)算結(jié)果反饋至相應(yīng)的Client。

1.2排隊(duì)系統(tǒng)

排隊(duì)論主要研究受隨機(jī)因素影響而出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象的系統(tǒng),廣泛應(yīng)用于通信、交通、公共服務(wù)事業(yè)、管理運(yùn)籌和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域。

近年來,許多研究者利用排隊(duì)論研究云計(jì)算[19-22]。Khazaei等利用連續(xù)時(shí)間Markov鏈通過任務(wù)拒絕概率和平均響應(yīng)延遲來研究云計(jì)算的性能[19];Vilaplana等利用M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)通過響應(yīng)時(shí)間來研究基于開放Jackson網(wǎng)絡(luò)的云計(jì)算QoS[20]。雖然TOC的QoS指標(biāo)涉及系統(tǒng)平均響應(yīng)時(shí)間(為簡便起見,我們稱系統(tǒng)平均響應(yīng)時(shí)間為響應(yīng)時(shí)間)、吞吐量和資源利用率等,但本文擬用M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)研究TOC的響應(yīng)時(shí)間。

圖2 TOC任務(wù)管理系統(tǒng)模塊結(jié)構(gòu)圖

2 基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)的TOC服務(wù)模型

2.1TOC服務(wù)模型

我們將基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)和先到先服務(wù)(First Come First Served,F(xiàn)CFS)策略建立TOC服務(wù)模型以分析響應(yīng)時(shí)間。

Server中有唯一的一個(gè)運(yùn)算請求接收模塊RAM,用于接收用戶的包含若干個(gè)二元三值邏輯運(yùn)算的運(yùn)算請求。為減少傳輸數(shù)據(jù)量,每個(gè)運(yùn)算的操作數(shù)以通信內(nèi)碼(每個(gè)操作數(shù)占2個(gè)二進(jìn)制位)方式傳輸至RAM[17],即每個(gè)字節(jié)存放2對操作數(shù)。因?yàn)椴煌脩艨梢圆l(fā)提交運(yùn)算請求,不同運(yùn)算請求到達(dá)時(shí)將按等待制進(jìn)行排隊(duì),因此RAM可以用一個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)來表達(dá)。我們以一位二元三值邏輯運(yùn)算作為運(yùn)算量的計(jì)數(shù)單位,假設(shè)n個(gè)運(yùn)算請求到達(dá)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,各運(yùn)算請求的平均運(yùn)算量為μ、接收運(yùn)算請求的網(wǎng)絡(luò)傳輸速度為ω,則傳輸數(shù)據(jù)量為μ/2,傳輸數(shù)據(jù)所需平均時(shí)間為μ/2ω,單位時(shí)間內(nèi)接收運(yùn)算請求個(gè)數(shù)即RAM模塊的服務(wù)速率為2ω/μ。也就是說,接收運(yùn)算請求時(shí)RAM的服務(wù)服從參數(shù)為2ω/μ的指數(shù)分布。

RAM接收完運(yùn)算請求后,DPPM便對其進(jìn)行預(yù)處理。數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊DPPM在Server中也是唯一的。也就是說,DPPM也可以用一個(gè)M/M/ 1排隊(duì)系統(tǒng)來表達(dá)。設(shè)DPPM對運(yùn)算請求中的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理的速度為τ,則類似地可知DPPM服從參數(shù)為τ/μ的指數(shù)分布。

顯然,Server中存在唯一的一個(gè)任務(wù)調(diào)度模塊RSM。雖然已提出適合TOC的定時(shí)調(diào)度策略,該策略可以使光學(xué)處理器同時(shí)處理多個(gè)運(yùn)算請求,但為簡便起見,假設(shè)每次只處理一個(gè)運(yùn)算請求,即TOC每處理完一個(gè)任務(wù)后,RSM就調(diào)度一個(gè)任務(wù)至TOC(每次調(diào)度多個(gè)任務(wù)的情況的性能分析比較復(fù)雜,我們將另行討論)。稱該調(diào)度策略為運(yùn)算完成時(shí)調(diào)度策略,簡稱為完成時(shí)調(diào)度策略。

處理器分配模塊PAM根據(jù)任務(wù)中各運(yùn)算的運(yùn)算量,為各運(yùn)算進(jìn)行按需分配光學(xué)處理器已確保各運(yùn)算同時(shí)完成,并查找各運(yùn)算所需光學(xué)處理器的重構(gòu)碼,而后將其發(fā)送至TOC的處理器重構(gòu)模塊PRM。因?yàn)槊總€(gè)運(yùn)算請求中所包含的不同運(yùn)算都不超過15個(gè),發(fā)送至PRM的重構(gòu)信息量變化不大。為此,假設(shè)PAM完成處理器分配所需時(shí)間為一常數(shù)。

PRM接收到處理器分配結(jié)果和各運(yùn)算所需光學(xué)處理器的重構(gòu)碼后便進(jìn)行處理器的重構(gòu),各運(yùn)算器的重構(gòu)是并行的,因此對給定的光學(xué)處理器,其重構(gòu)所花時(shí)間也是一常數(shù)。

完成處理器重構(gòu)后TOC光學(xué)處理器對數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算,解碼器對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行解碼,并把運(yùn)算結(jié)果發(fā)送至結(jié)果發(fā)送模塊RTM。顯然,TOC的運(yùn)算時(shí)間與運(yùn)算量μ和光學(xué)處理器運(yùn)算速度有關(guān)。

因網(wǎng)絡(luò)傳輸速度遠(yuǎn)小于光學(xué)處理器的處理速度,所以RTM模塊也可以用一個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)表達(dá)。因?yàn)閷Χ颠壿嬤\(yùn)算而言,兩個(gè)操作數(shù)得到一個(gè)運(yùn)算結(jié)果,所以運(yùn)算結(jié)果的大小為μ/4。顯然,發(fā)送運(yùn)算結(jié)果的速度也為網(wǎng)絡(luò)傳輸速度ω。因此RTM的服務(wù)服從參數(shù)為4ω/μ的指數(shù)分布。

從上述分析可以看出,上述各過程構(gòu)成了一個(gè)4階段串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)[23],如圖3所示。

圖3 TOC任務(wù)排隊(duì)模型

根據(jù)上面的分析,TOC為n個(gè)運(yùn)算請求提供計(jì)算服務(wù)的響應(yīng)時(shí)間T可由下面公式計(jì)算。

其中TRA表示RAM接收運(yùn)算請求所需的平均時(shí)間,TDPP表示對運(yùn)算請求進(jìn)行預(yù)處理所需的平均時(shí)間,TRS表示調(diào)度任務(wù)所需的平均時(shí)間,TRT表示將運(yùn)算結(jié)果發(fā)送給用戶的平均時(shí)間。

2.2TRA的計(jì)算

RAM可用等待制M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)對其建模,由文獻(xiàn)[23,24]可知該模塊接收運(yùn)算請求的平均響應(yīng)時(shí)間TRA可由下面的公式(2)求得。

其中λ表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的任務(wù)數(shù)即運(yùn)算請求的到達(dá)速率,μ表示任務(wù)的運(yùn)算量即傳輸數(shù)據(jù)大小,ω表示接收數(shù)據(jù)的平均速度。

2.3TDPP的計(jì)算

由文獻(xiàn)[24]可知,運(yùn)算請求經(jīng)RAM到達(dá)DPPM的速率也是λ。由前面的分析可知,DPPM同樣可用等待制M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)對其建模。類似地,可以得到該模塊的平均響應(yīng)時(shí)間TDPP。

其中τ表示DPPM對運(yùn)算請求中的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理速度。

2.4TRS的計(jì)算

RSM進(jìn)行任務(wù)調(diào)度時(shí)要將一個(gè)待計(jì)算運(yùn)算請求中的數(shù)據(jù)發(fā)送至TOC,并將其從隊(duì)列中刪除。而后PAM為其進(jìn)行光學(xué)處理器分配,PRM為其進(jìn)行光學(xué)處理器重構(gòu),OPM進(jìn)行光運(yùn)算,DM對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行解碼。換句話說,RSM、PAM、PRM、OPM和DM等5個(gè)模塊組合在一起可用等待制M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)對其建模。因此,TRS不但包括任務(wù)調(diào)度時(shí)間,還包括處理器分配時(shí)間、處理器重構(gòu)時(shí)間、運(yùn)算時(shí)間和解碼時(shí)間。

如前所述,PAM進(jìn)行處理器分配和PRM進(jìn)行運(yùn)算器重構(gòu)所需時(shí)間都是一個(gè)常數(shù)。特別值得一提的是,處理器重構(gòu)模塊PRM是TOC所特有的。該模塊雖然使TOC具有了計(jì)算的靈活性,但也增加了系統(tǒng)開銷。因此,為了分析這兩個(gè)模塊對系統(tǒng)性能特別是平均響應(yīng)時(shí)間的影響,雖是常數(shù),但也不能將其忽略。

如前所述,圖2中TOC模塊從RSM接收到數(shù)據(jù)待完成光學(xué)處理器重構(gòu)后便對其進(jìn)行運(yùn)算,而后DM對其進(jìn)行解碼。顯然,TOC的處理速度為OPM速度和DM速度的較小者。

根據(jù)上述分析,假設(shè)RSM將數(shù)據(jù)發(fā)送至TOC的平均傳輸速率為φ,PAM完成處理器分配時(shí)間為常數(shù)C1,PRM完成光學(xué)處理器重構(gòu)的時(shí)間為常數(shù)C2,TOC的處理速度為δ,則上述5個(gè)模塊RSM、PAM、PRM、OPM和DM構(gòu)成的等待制隊(duì)列的服務(wù)速率π可由下面的式(4)求得。

類似地,可由下面的公式(5)計(jì)算TRS。

2.5TRT的計(jì)算

運(yùn)算結(jié)果被發(fā)送至RTM,再被發(fā)送至相應(yīng)的Client。根據(jù)前面的分析和圖3,類似地可得到TRT的計(jì)算公式如下:

將(2)、(3)、(5)和(6)式代入(1)式得到基于M/ M/1排隊(duì)系統(tǒng)的系統(tǒng)總體平均響應(yīng)時(shí)間T。

3 模型仿真

為了研究不同參數(shù)對系統(tǒng)性能特別是響應(yīng)時(shí)間T的影響,我們對模型進(jìn)行仿真。相關(guān)參數(shù)如下:

任務(wù)到達(dá)速率λ:即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的任務(wù)數(shù)。由(7)式可知T是λ的增函數(shù)。

運(yùn)算量μ:雖然TOC可進(jìn)行無進(jìn)位加法和向量矩陣乘法,但這里的運(yùn)算量μ只表示各運(yùn)算請求所包含二元三值邏輯運(yùn)算的運(yùn)算量。因?yàn)槠渌\(yùn)算可通過二元三值邏輯運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),且目前的任務(wù)管理系統(tǒng)中用戶的Client也只能提交二元三值邏輯運(yùn)算,不能提交非二元三值邏輯運(yùn)算[13,18]。

網(wǎng)絡(luò)傳輸速度ω:在局域網(wǎng)和廣域網(wǎng)中網(wǎng)絡(luò)傳輸速度相差很大,TOC不但面向局域網(wǎng)用戶,還有很多廣域網(wǎng)用戶。因此,我們用廣域網(wǎng)中數(shù)據(jù)傳輸速度對ω進(jìn)行模型仿真。

數(shù)據(jù)預(yù)處理速度τ:DPPM的功能主要是根據(jù)不同的運(yùn)算將通信內(nèi)碼表示的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成用控制內(nèi)碼表示[17]。顯然,τ與電子計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度相關(guān),可達(dá)到G量級。

本地?cái)?shù)據(jù)傳輸速度φ:TOC通過網(wǎng)線與Server相連以完成其間的通信。因此,φ即局域網(wǎng)的數(shù)據(jù)傳輸速度。

TOC運(yùn)算速度δ:TOC的運(yùn)算速度目前主要因資金的限制而受限于液晶,但考慮到其并行性,其運(yùn)算速度仍可達(dá)到G量級。

為搞清λ如何影響響應(yīng)時(shí)間T,用每小時(shí)到達(dá)的任務(wù)數(shù)進(jìn)行模型仿真。運(yùn)算量μ和網(wǎng)絡(luò)傳輸速度ω的單位分別/為MB和MB/s,則RAM的服務(wù)速率為7 200ω/μ,即每小時(shí)能處理7 200ω/μ個(gè)運(yùn)算請求。也就是說,ρ由ω,τ,φ和δ中的最小者確定。一般而言,ω為其最小者。當(dāng)ρ<1時(shí),系統(tǒng)會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)。當(dāng)參數(shù) μ=100,ω=2,τ=2,φ=50 和δ=1,且系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí),對不同的λ響應(yīng)時(shí)間T隨λ的變化如圖4所示??煽闯觯?dāng)每小時(shí)有一個(gè)運(yùn)算請求到達(dá)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間約為38 s,雖用多個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)建模,但當(dāng)任務(wù)數(shù)增加時(shí),響應(yīng)時(shí)間并非按任務(wù)數(shù)成倍增加。其原因在于雖然每個(gè)任務(wù)都要經(jīng)歷模型的每個(gè)階段,但當(dāng)同時(shí)存在多個(gè)任務(wù)時(shí)各模塊并行工作。

圖4 響應(yīng)時(shí)間T隨λ的變化

圖5 參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間T隨λ的變化

當(dāng)運(yùn)算量 μ=50,或ω=4而其他參數(shù)不變時(shí),與圖4相比系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間T隨λ的變化會(huì)有顯著變化,如圖5所示。而只改變其他某些參數(shù)如δ、τ、C1和C2時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間T卻沒有明顯變化。換句話說,運(yùn)算量μ和網(wǎng)絡(luò)傳輸速度ω成為該系統(tǒng)的瓶頸。

由上述仿真結(jié)果,可以看出我們提出的模型不但能夠很好地表達(dá)TOC的服務(wù)過程,而且可以揭示系統(tǒng)中各參數(shù)影響系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的規(guī)律,從而為提高系統(tǒng)效率提供解決方案。

4 小結(jié)

為分析和研究TOC的性能,確保QoS,本文基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)提出了一個(gè)TOC服務(wù)模型。在分析詳細(xì)TOC任務(wù)管理系統(tǒng)各模塊功能后,對不同的模塊或模塊組合基于M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模,而后將其級聯(lián),進(jìn)而得到系統(tǒng)平均響應(yīng)時(shí)間的計(jì)算公式。模型仿真顯示運(yùn)算量和廣域網(wǎng)傳輸速度是影響系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的瓶頸。因此,要提高系統(tǒng)效率就必須分析和設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)娜蝿?wù)管理系統(tǒng),以方便用戶像使用電子計(jì)算機(jī)那樣使用TOC,從而減少數(shù)據(jù)傳輸量。

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Servicing model of a ternary optical computer using M/M/1 queuing system

WANG Xian-chao,ZHANG Mian,WANG Chun-sheng,YAO Yun-fei

(School of Mathematics and Statistics,F(xiàn)uyang Normal University,F(xiàn)uyang Anhui 236037,China)

Quality of Service(QoS)is a crucial factor for the commercial success of a ternary optical computer(TOC).This paper presents a task scheduling model for TOC based on first-come-first-service strategy,the M/M/1 queuing system and tandem queueing.And it uses the mean response time to analyze and evaluate the performance of TOC.The results demonstrate that the computation and network transmission speed is the bottleneck of system average response time.Therefore,the presented model is good for designing the task management systems of TOC.

M/M/1 queueing system;ternary optical computer;task scheduling;response time;tandem queue

TP302.7,TP38

A

1004-4329(2016)01-001-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)01-001-05

2015-09-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61073049,61103054);安徽省教育廳高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(KJ2015A191,KJ2015A182);安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目(2013zy167,2014zy138,2015jxtd121);阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目(2013ZYSD05,2014JXTD01)資助。

王先超(1973-),男,博士,副教授,研究方向:光計(jì)算。

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