李謙祥

（西門子電氣傳動(dòng)有限公司，天津　300384）

?

基于Matlab的繞組磁動(dòng)勢(shì)仿真

李謙祥

（西門子電氣傳動(dòng)有限公司，天津300384）

為使電動(dòng)機(jī)獲得理想的性能，設(shè)計(jì)每一相繞組的合成磁動(dòng)勢(shì)應(yīng)盡量接近正弦波以抑制諧波降低損耗。本文介紹繞組合成磁動(dòng)勢(shì)的基本原理，提出基于Matlab的線圈磁動(dòng)勢(shì)諧波分析方法。通過Matlab仿真生成相繞組的合成磁動(dòng)勢(shì)，并對(duì)磁動(dòng)勢(shì)進(jìn)行傅里葉變換，得到基波與諧波的幅值，為合理的選擇節(jié)距降低線圈的諧波含量提供依據(jù)。以2極、4極的電動(dòng)機(jī)為例進(jìn)行仿真與試驗(yàn)，仿真結(jié)果表明文中方法適用于電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)應(yīng)用。

線圈；磁動(dòng)勢(shì)；諧波分析

繞組是電動(dòng)機(jī)的主要部件，感應(yīng)于繞組中的電動(dòng)勢(shì)以及通過繞組中的電流產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，傳遞電磁功率，在電能與機(jī)械能的轉(zhuǎn)化過程，通過繞組來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量的轉(zhuǎn)換。在一定的導(dǎo)體數(shù)下，繞組的合成電動(dòng)勢(shì)和磁動(dòng)勢(shì)在波形上力求接近正弦形，從而獲得較大的基波電動(dòng)勢(shì)和磁動(dòng)勢(shì)，盡量使諧波含量最少，幅值最?。?］。

1　繞組研究方法

1.1繞組的基本分析方法

1）相帶劃分法

把整個(gè)電動(dòng)機(jī)鐵心圓周的槽數(shù)，劃分成若干個(gè)相帶，每個(gè)相帶的槽數(shù)為每極每相槽數(shù)，依次命名U、V、W，每對(duì)極重復(fù)一次，再按每相的正、負(fù)相帶電流方向和節(jié)距進(jìn)行端部連接和極間連接，構(gòu)成繞組。

2）合成磁動(dòng)勢(shì)圖法

合成磁動(dòng)勢(shì)圖用來(lái)分析繞組產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)，可以直觀地看出波形的好壞。三相繞組的合成磁動(dòng)勢(shì)包括基波磁動(dòng)勢(shì)和所有諧波磁動(dòng)勢(shì)。一些電動(dòng)機(jī)制造廠家常要求設(shè)計(jì)者把所排列繞組的合成磁動(dòng)勢(shì)畫出。合成磁動(dòng)勢(shì)圖是根據(jù)槽電流的分布情況，利用全電流定律把磁動(dòng)勢(shì)的波形曲線一次畫出。

3）矢量圖法

每個(gè)線圈通過電流時(shí)在線圈周圍的空間產(chǎn)生一個(gè)磁動(dòng)勢(shì)，可以作為一個(gè)向量，矢量圖可用來(lái)劃分相帶，排列繞組，分析繞組的對(duì)稱性，計(jì)算繞組系數(shù)。每個(gè)相帶，矢量越集中，占有的電角度，就越小；繞組的分布系數(shù)就越大。由于電角度，隨不同的諧波次數(shù)而變化，不同次的諧波，相鄰兩槽間的矢量差也不同，因此在計(jì)算不同的諧波繞組系數(shù)時(shí)需畫出不同的槽矢量圖。

4）諧波分析法

繞組的諧波分析通常有兩種方式。先對(duì)各個(gè)線圈的矩形磁動(dòng)勢(shì)波采用傅里葉級(jí)數(shù)分析得出基波和各次諧波，稱為諧波分析，然后分別把基波和各次諧波逐點(diǎn)相加，便可得到基波和各次諧波的合成磁動(dòng)勢(shì)?；蛘甙丫€圈產(chǎn)生的矩形磁動(dòng)勢(shì)波逐點(diǎn)相加，所得合成磁動(dòng)勢(shì)乃是一個(gè)階梯形波，然后進(jìn)行諧波分析。此外還有槽號(hào)相位圖法和復(fù)數(shù)解析法［2］。

1.2繞組的計(jì)算機(jī)分析方法

以上所述的方法來(lái)分析繞組需要大量的計(jì)算，應(yīng)用計(jì)算機(jī)可以節(jié)省大量人力，提高效率和準(zhǔn)確性。常用的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言有Fortran和C，但是對(duì)于矩陣運(yùn)算或畫圖時(shí)，編程極其復(fù)雜。已有的繞組分析程序多采用數(shù)值計(jì)算的方法，輸出結(jié)果往往是大量的數(shù)據(jù)，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行再次分析。Matlab的M語(yǔ)言具有簡(jiǎn)潔高效、豐富的科學(xué)運(yùn)算和繪圖功能，一條語(yǔ)句可以代替數(shù)條C程序，可以將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果用圖形顯示出來(lái)，適用于計(jì)算及分析。本文在分析繞組磁動(dòng)勢(shì)原理的基礎(chǔ)上，提出基于Matlab的合成磁動(dòng)勢(shì)波和傅立葉變換的諧波分析方法，比傳統(tǒng)合成磁動(dòng)勢(shì)圖法和諧波分析法計(jì)算簡(jiǎn)單直觀。

2　繞組磁動(dòng)勢(shì)原理

2.1繞組系數(shù)

對(duì)整數(shù)槽繞組，每極每相下具有相等的槽數(shù)，每對(duì)極可構(gòu)成一個(gè)單元電動(dòng)機(jī)，磁動(dòng)勢(shì)為一階梯形波，含有基波和一系列諧波。基波起主要作用，也稱主波，整數(shù)槽繞組只存在非2倍和非3倍次的諧波，即5、7、11、13、17等高次諧波。其中7、13、19、次諧波的相與相之間，仍差120。，保持原來(lái)的相序；而5、11、17、…次諧波相與相之間，差?120°，改變了原來(lái)的相序。整數(shù)槽繞組存在 v=6k+1次諧波，k為任意整數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，v=1次波為主波，k為正值時(shí)，v為正值，即正序諧波，k為負(fù)值時(shí)，v為負(fù)值，即負(fù)序諧波。

主波的分布系數(shù) kd1、節(jié)距系數(shù)kp1如式（1）、式（2）所示。繞組系數(shù)kw等于兩者相乘。y1和τ分別為節(jié)距和極距，α相鄰兩槽的電角度，q為每極每相槽數(shù)。v次諧波的分布系數(shù)、節(jié)距系數(shù)及繞組系數(shù)分別為式（4）、式（5）、式（6）所示。

2.2單相繞組的磁動(dòng)勢(shì)

整距線圈的磁動(dòng)勢(shì)，對(duì)于Nc匝的2極的整距線圈，通有正弦電流時(shí)，電流ic從線圈邊A流出。從X流入，由于對(duì)稱關(guān)系，產(chǎn)生兩極磁場(chǎng)，由于鐵心的磁位降可以忽略不計(jì)，所以線圈的磁動(dòng)勢(shì) Ncic將全部消耗在兩個(gè)氣隙內(nèi)，若氣隙為均勻，則氣隙各處的磁動(dòng)勢(shì)值均應(yīng)等于Ncic/2，再考慮到磁場(chǎng)的極性時(shí)，一個(gè)極下的磁動(dòng)勢(shì)fc。

整距線圈在氣隙內(nèi)形成一個(gè)一正一負(fù)矩形分布的磁動(dòng)勢(shì)波，矩形的幅值等于Ncic/2，若槽內(nèi)電流為集中，則磁動(dòng)勢(shì)波在經(jīng)過再流線圈邊時(shí)，將發(fā)生Ncic的躍變。把整距線圈所產(chǎn)生的周期性矩形磁動(dòng)勢(shì)波分解為基波和一系列奇次的空間諧波，基波幅值應(yīng)為矩形波幅值的4/π，基波磁動(dòng)勢(shì)可以寫成式（8）。

2.3短距分布式繞組的磁動(dòng)勢(shì)

每個(gè)線圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)波，逐點(diǎn)相加，可得到極相組的合成磁動(dòng)勢(shì)。每個(gè)線圈匝數(shù)相等，通過電流相同，各個(gè)線圈具有相同的磁動(dòng)勢(shì)幅值，相加得到階梯型波。每相的串聯(lián)總匝數(shù)為 N，利用矢量運(yùn)算，分布線圈基波磁動(dòng)勢(shì)引入分布因數(shù)kd1節(jié)距因數(shù)kp1來(lái)計(jì)算線圈分布的影響。

線圈所產(chǎn)生的矩形磁動(dòng)勢(shì)波中，除基波磁動(dòng)勢(shì)外，還有高次諧波磁動(dòng)勢(shì)。諧波磁動(dòng)勢(shì)幅值與主波磁動(dòng)勢(shì)幅值之比如式（11）所示。

3　繞組合成磁動(dòng)勢(shì)的仿真

3.1整距線圈磁動(dòng)勢(shì)仿真

整距線圈的磁動(dòng)勢(shì)為一周期性矩形波，運(yùn)用Matlab的ones函數(shù)或square函數(shù)模擬出整距線圈在電動(dòng)機(jī)鐵心圓周氣隙內(nèi)形成一個(gè)一正一負(fù)矩形分布的磁動(dòng)勢(shì)波的標(biāo)幺值［3］。如圖1所示。運(yùn)用傅里葉函數(shù)對(duì)磁動(dòng)勢(shì)波進(jìn)行頻域變換。得到如圖2所示的基波與高次諧波的分布。高次諧波相對(duì)基波的幅值比較明顯。方波磁動(dòng)勢(shì)中含有大量奇次諧波，這將影響鐵心的損耗，產(chǎn)生諧波轉(zhuǎn)矩和噪聲。因此在電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)中常采用短距、分布式繞組和斜槽等措施來(lái)改善磁勢(shì)波形，減小諧波分量［4］。

圖1　整距線圈的磁動(dòng)勢(shì)波

圖2　整距線圈的磁動(dòng)勢(shì)波頻譜

3.2短距分布線圈磁動(dòng)勢(shì)仿真

由于各對(duì)極下磁勢(shì)和磁阻組成一個(gè)對(duì)稱的分支磁路，所以一相繞組的磁動(dòng)勢(shì)等于一個(gè)極相組的磁勢(shì)。由于每個(gè)線圈在空間相差相鄰槽的α電角度，線圈為串聯(lián)，各個(gè)線圈的匝數(shù)相同，且通過同一的電流，所以各個(gè)線圈的脈振磁勢(shì)及其幅值均為相同，且在時(shí)間上具有同一變化規(guī)律。把每極下的線圈磁動(dòng)勢(shì)逐點(diǎn)相加，即可得到一個(gè)合成的階梯形分布的磁勢(shì)波，通過Linspace數(shù)組函數(shù)實(shí)現(xiàn)磁勢(shì)的矢量運(yùn)算。Matlab的M語(yǔ)言合成磁動(dòng)勢(shì)算法流程圖如圖3所示。

圖3　合成磁動(dòng)勢(shì)波算法程序流程圖

短距分布的每個(gè)線圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)是一個(gè)階梯形波，根據(jù)每個(gè)線圈在鐵心圓周的位置，將一相繞組的所有線圈磁動(dòng)勢(shì)合成為近似正弦波。圖4為一臺(tái)4極，定子48槽，節(jié)距為10的電動(dòng)機(jī)的一相繞組的合成磁動(dòng)勢(shì)。從圖中可以看出磁動(dòng)勢(shì)波接近正弦，通過傅里葉變換得到圖5中的基波與諧波分布，高次諧波幅值相對(duì)圖2明顯減小，可以看出較好的抑制了高次諧波。提高電動(dòng)機(jī)的性能。

圖4　相繞組的磁動(dòng)勢(shì)波

圖5　相繞組的磁動(dòng)勢(shì)波頻譜

4　繞組磁動(dòng)勢(shì)仿真結(jié)果驗(yàn)證

對(duì)另一臺(tái)2極的電動(dòng)機(jī)繞組，定子為42槽，不同的節(jié)距情況下，5、7、9次諧波相對(duì)基波的幅值進(jìn)行計(jì)算。作為對(duì)比，采用繞組系數(shù)計(jì)算的方法，根據(jù)式（11）計(jì)算諧波相對(duì)基波的幅值，見表1；用Matlab合成磁動(dòng)勢(shì)方法進(jìn)行仿真分析，見表2。對(duì)比可見兩種計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了文中提出方法的正確性。

表1　繞組系數(shù)計(jì)算的諧波幅值

表2　合成磁動(dòng)勢(shì)仿真計(jì)算諧波幅值

從表2可以看出在節(jié)距為17和18的時(shí)候諧波相對(duì)幅值明顯減小。線圈節(jié)距的大小影響鐵心磁密，鐵耗與鐵心磁密相關(guān)。此外定子繞組的磁勢(shì)諧波磁場(chǎng)在轉(zhuǎn)子繞組中感應(yīng)電流引起附加損耗，在鐵心表面引起表面損耗。運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)軟件計(jì)算不同節(jié)距下的空載鐵損和附加損耗的和進(jìn)行對(duì)比分析。從圖6可以看出在節(jié)距逐漸加大時(shí)損耗逐漸減小，與通過諧波幅值進(jìn)行的判斷基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖6　繞組的節(jié)距與空載損耗

5　結(jié)論

Matlab繪圖功能的強(qiáng)大，同時(shí)圖像可以更直觀形象的表現(xiàn)電機(jī)的一些性質(zhì)，有助于對(duì)電機(jī)的研究。本文總結(jié)了繞組研究?jī)?nèi)容和方法，提出基于Matlab合成磁動(dòng)勢(shì)波和諧波分析結(jié)合的繞組仿真分析方法，通過圖形直觀的顯示計(jì)算結(jié)果，而不是生成大量的計(jì)算數(shù)據(jù)。模擬了不同的定子槽數(shù)，不同節(jié)距和極數(shù)的情況下，合成磁動(dòng)勢(shì)波的分布情況。利用傅里葉變換，得到基波諧波的相對(duì)幅值，為繞組設(shè)計(jì)提供直接的判據(jù)。以2極和4極電動(dòng)機(jī)為例，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比證明，上述方法可以應(yīng)用于繞組設(shè)計(jì)。

［1］ Derya Ahmet Kocabas. Novel Winding and Core Design for Maximum Reduction of Harmonic Magnetomotive Force in AC Motors［J］. IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS，2009（2），VOL 45︰735-746.

［2］ 陳世元，黃士鵬. 交流電機(jī)的繞組理論［M］. 北京︰中國(guó)電力出版社，2007.

［3］ 張志涌. 精通Matlab R2011a［M］. 北京︰北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

［4］ 湯蘊(yùn)璆，羅應(yīng)立，梁艷萍. 電機(jī)學(xué)［M］. 3版. 北京︰機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

Simulation of Coil Magnetic Motive Force based on Matlab

Li Qianxiang
（Siemens Electrical Drives Ltd.，Tianjin300384）

To make the motor obtain the ideal performance，the design of each phase winding’s synthetic magnetic motive force should be as close as possible to the sine wave to suppress the harmonics and reduce the loss. The basic principle of synthesis of magnetic motive force and coil MMF harmonics analysis method based on the Matlab are proposed in this paper. Simulation of the force and FFT transform through Matlab are introduced. Get the amplitude of fundamental wave and harmonic wave. Provide the basis for reasonable selection of the pitch and reduce harmonic content of the coil. Taking 2 and 4 pole motor as an example，the simulation and experiment results show that the method is suitable for the design of motor.

coil；magnetic motive force；harmonics analysis

李謙祥（1981-），男，遼寧省丹東市人，碩士，工程師，主要從事電機(jī)電磁計(jì)算工作。