于宏毅 程 標 胡赟鵬 沈智翔

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基于空域稀疏性的自適應頻譜檢測算法

于宏毅 程 標*胡赟鵬 沈智翔

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院 鄭州 450002)

現(xiàn)有的頻譜檢測算法沒有充分利用信號在角度維的稀疏性質。該文根據(jù)角度維的稀疏特性建立信號模型，通過稀疏貝葉斯學習(Sparse Bayesian Learning, SBL)算法解決稀疏信號的重構問題，并在迭代過程中引入二元假設檢驗思想，推導出一種自適應門限的選取策略，把傳統(tǒng)的重構算法轉化為一個針對不同來波方向的信號檢測問題。該算法能夠在恒虛警概率下對多信號進行全盲檢測，同時實現(xiàn)信號來波方向的精確估計。實驗結果證明，自適應判決方法能夠有效地提高稀疏重構算法的重構精度，降低運算復雜度，參數(shù)估計精度和信號檢測性能相比于現(xiàn)有算法得到明顯的提升。

頻譜檢測；稀疏貝葉斯學習；恒虛警概率；自適應門限

1 引言

隨著電子通信設備的廣泛應用，頻譜資源變得愈發(fā)緊張和擁擠。特別是在復雜電磁環(huán)境下，由于環(huán)境噪聲和干擾信號的存在，接收機通常會接收到多個信號資源，這些信號在時域和頻域上相互重疊難以區(qū)分，給后續(xù)的參數(shù)估計和調制識別等信號分析工作帶來困難。頻譜檢測技術能夠針對一段頻譜范圍內的信號進行檢測，感知頻譜范圍內的無線電資源和電磁環(huán)境變化態(tài)勢，在軍事和民用領域均有著非常重要的研究意義和廣闊的應用前景。

傳統(tǒng)的頻譜檢測算法包括能量檢測法[1]、循環(huán)平穩(wěn)檢測法[2]和匹配濾波器檢測法[3]等。傳統(tǒng)方法通過提取信號在時間或頻率等維度的信息進行頻譜檢測，但是存在一定的缺陷，比如能量檢測法不能擺脫噪聲不確定度的影響，循環(huán)平穩(wěn)檢測法計算量較大，匹配濾波器檢測法需要已知信號或噪聲功率信息等。近年來，部分學者在陣列天線的基礎上，將角度維信息引入到頻譜檢測算法中，不僅實現(xiàn)了頻譜的全盲檢測，還提供了信號的空間方位信息，為角度維的頻譜接入提供了重要參數(shù)[4]。文獻[5]利用陣列天線技術，根據(jù)協(xié)方差矩陣構建檢測統(tǒng)計量，提高了頻譜檢測算法的檢測性能。文獻[6]將非線性后置處理思想引入到空間能量譜估計中，通過判斷陣列噪聲頻譜在頻段間的幅度起伏和目標信號頻譜幅度起伏的大小完成信號檢測。文獻[7]根據(jù)信號在空間譜上呈現(xiàn)出的幅度特征，提出了兩種判決統(tǒng)計量的構造方法，并分別推導了合適的檢測門限。但是上述算法只是利用空間譜的起伏特征，沒有考慮到信號在角度域的稀疏特性。

對此，本文根據(jù)信號在角度域的稀疏特性構建稀疏模型，在稀疏重構算法的基礎上推導頻譜檢測方法。稀疏重構算法作為信號處理領域的一項重要技術，在信號檢測問題中得到越來越廣泛地研究。文獻[8]根據(jù)信道的稀疏特性，分別在已知和未知信道狀態(tài)信息的條件下推導了分布式頻譜檢測算法。文獻[9]假設信號在空間坐標上是稀疏的，利用重構結果估計地理譜特征(Geographical-Spectral Pattern, GSP)，能夠檢測信號個數(shù)并實現(xiàn)目標定位。文獻[10]在NeymanPearson準則下引入一種基于Lasso估計的稀疏信號檢測算法，降低了運算復雜度，提高了在低信噪比條件下的檢測性能。文獻[11]在貝葉斯框架下求解非平穩(wěn)信號的稀疏表示形式，根據(jù)系數(shù)狀態(tài)序列進行信號檢測和分類。文獻[12]提出一類基于最大后驗估計的稀疏表示算法，通過固定門限和重構系數(shù)的大小關系完成信號檢測。

受上述啟發(fā)，本文將SBL算法引入頻譜檢測問題中，利用超參數(shù)幅度值判斷所有預設角度上信號是否存在。但是，現(xiàn)有的重構算法沒有給出合理判決門限的選取策略。對此，本文在重構迭代過程中引入一種自適應判決的處理方法，能夠在恒虛警概率下對重構結果中的超參數(shù)進行檢測判斷，實質上等效于對不同入射方向上的信號進行檢測判斷，較好地提高了算法的重構精度。同時由于刪除了無效方向對應的基向量，算法的運算復雜度大幅降低。

2 信號模型

一個陣元數(shù)目為的陣列接收個通信信號，信號與正北方向的夾角分別為，第個信號在第個陣元上的時域波形可以表示為

為了提高重構算法的準確度，進一步建立多觀測向量(Multiple Measurement Vector, MMV)模

型[14]。以相同觀測時長采集段樣本數(shù)據(jù)，每一段數(shù)據(jù)含有個樣本點，式(3)的信號模型可以變形為式(4)的MMV模型形式：

由于信號只是從空域上的個角度入射到陣列，因此稀疏矩陣只有與實際入射角度相對應的行向量是非零的，即稀疏矩陣中非零行對應字典矩陣中的角度代表著信號的入射角度。需要指出的是，式(5)中時延差僅跟和有關，因此，在已知陣元布設位置的條件下，即使陣型不滿足均勻線陣等標準結構，同樣能夠構造字典矩陣，說明本文算法適用于非標準結構的天線陣列。

3 稀疏重構算法

為了識別待檢測頻帶范圍內的信號分布情況，聯(lián)合考慮位于頻帶內的個頻點，推導多字典稀疏貝葉斯學習 (Multiple Dictionary SBL, MDSBL) 算法。為了簡便表示，用代替,表示的第列向量。根據(jù)不同頻點上信號的統(tǒng)計獨立特性，檢測頻帶內稀疏矩陣的似然函數(shù)可以表示為

超參數(shù)和噪聲功率的計算可以轉化為求解第2類似然函數(shù)問題，即求解邊緣似然函數(shù)的最大似然問題。下面使用EM算法求解最大似然解。在E步驟中，將看作完備數(shù)據(jù)集，對數(shù)似然函數(shù)可以表示為

計算完備數(shù)據(jù)集似然函數(shù)的條件期望，Q函數(shù)可以分成式(10)所示的兩個獨立的部分：

其中，

在步驟中，令Q函數(shù)的偏導數(shù)方程等于零，根據(jù)和計算得到：

4 自適應判決門限

本節(jié)引入一種自適應判決方法依次對超參數(shù)進行檢測。假設更新后的超參數(shù)和噪聲功率分別為和，以第個超參數(shù)為例，規(guī)定兩種假設分別為

通過式(23)發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計變量的概率密度函數(shù)只與已知參數(shù)有關，與信號能量和噪聲功率等隨機參量無關，因此算法可以在恒虛警概率的性質下完成信號檢測。假設恒虛警概率檢測條件下的門限為，虛警概率可以表示為

5 算法分析

經(jīng)典的SBL算法[17]利用固定門限值把小于門限的超參數(shù)置為零，這種方法能夠通過降低矩陣運算的維數(shù)提高運算速度，但是實際場合中無法準確地找到合理的門限值，從而影響參數(shù)估計的精度并導致算法的不穩(wěn)定；在實際的參數(shù)估計問題中，學者們的通常做法是不對超參數(shù)進行置零處理，但是這種不使用門限的方法[18](None-Threshold MDSBL, NTh-MDSBL)只能得到真實結果的近似表示，在低信噪比下參數(shù)估計的精度較差，而且運算復雜度非常高。本文提出的自適應判決門限方法(Adaptive- Threshold MDSBL, ATh-MDSBL)可以較好地解決以上問題，下面逐一分析。

5.1 統(tǒng)計判決量分析

5.2 運算復雜度分析

對比一次循環(huán)迭代中ATh-MDSBL方法和NTh-MDSBL方法的運算復雜度。文獻[18]推導NTh-MDSBL方法在一次循環(huán)迭代中的運算復雜度為。本文ATh-MDSBL方法的復雜度集中在式(16)、式(17)和式(26)，假設某一次循環(huán)迭代中有效超參數(shù)的個數(shù)為，當僅考慮乘法運算的次數(shù)時，式(16)的運算復雜度為。式(17)只需求矩陣的跡，其運算復雜度為。式(26)用于對更新后的有效超參數(shù)進行自適應判決，其運算復雜度為。因此，ATh-MDSBL方法進行一次循環(huán)迭代的總運算復雜度為。由于ATh-MDSBL方法通過式(26)的自適應判決可以準確地刪除無效超參數(shù)，即，使得一次循環(huán)迭代中的運算復雜度大幅地降低，較好地解決了傳統(tǒng)NTh-MDSBL方法運算復雜度較高的問題。

6 實驗仿真及分析

使用9元均勻直線陣接收2個QPSK信號，信號載波頻率均為100 Hz，帶寬為中心頻率的40%，入射方向分別為和。接收機噪聲為加性高斯白噪聲，陣元間距為中心頻率所對應信號波長的一半。由于最高頻率是帶寬的整數(shù)倍，采樣頻率設置為80 Hz，將空間角度區(qū)間等分為360個角度值，每次仿真的蒙特卡洛循環(huán)次數(shù)設置為1000次。

為了提高算法的穩(wěn)定性，在檢測判斷之前需要進行初始化，本文采取的方法是根據(jù)式(16)和式(17)進行15次EM迭代處理，將計算結果作為本文算法的初始值進行檢測判斷。此外，當每次迭代運算后的結果趨于穩(wěn)定，即滿足時算法停止迭代計算，收斂門限。

首先，通過對比重構效果圖驗證自適應判決方法的有效性。假設信號的信噪比分別為和5 dB，虛警概率設置為，樣本點總數(shù)為512點，其中每個數(shù)據(jù)段包含64個樣本點。圖1為算法收斂后所有超參數(shù)的幅度情況。如圖1(a)所示，當信號的信噪比相差較大時，NTh-MDSBL方法由于本身運算精度的問題，會在信噪比較大的真實信號對應超參數(shù)兩側出現(xiàn)較為明顯的干擾，而且幅度值大于信噪比較小的信號對應超參數(shù)的幅度值，此時僅根據(jù)幅度值無法區(qū)分信號和干擾。如圖1(b)所示，ATh- MDSBL方法能夠準確地抑制干擾的出現(xiàn)，重構結果與傳統(tǒng)方法相比更為稀疏，非常接近真實信號。

圖 1 兩種方法的重構效果圖

為了進一步展示ATh-MDSBL方法的中間過程，圖2統(tǒng)計了ATh-MDSBL方法在一次迭代過程中部分超參數(shù)幅度隨迭代次數(shù)的變化情況。其中，信號1和信號2分別表示有效超參數(shù)的幅度，干擾1和干擾2表示大信號兩側超參數(shù)的幅度。前15步為初始化過程，通過圖2可以看出在真實超參數(shù)的周圍會產(chǎn)生較為明顯的干擾。然而從第16步開始算法進入自適應判決階段，算法根據(jù)式(26)能夠準確地識別出代表實際信號來波方向的超參數(shù)，同時將無效的超參數(shù)置為零。進一步統(tǒng)計在第16步時超參數(shù)的判決統(tǒng)計量與門限的關系，在虛警概率為條件下判決門限等于1200，此時小信號的判決統(tǒng)計量為1965，大信號的判決統(tǒng)計量為2897，兩個干擾的判決統(tǒng)計量分別為592和654，可以看出信號和干擾的判決統(tǒng)計量之間具有明顯的區(qū)分度。

圖 2 本文算法迭代過程中超參數(shù)的變化曲線

此外，通過圖2可以發(fā)現(xiàn)ATh-MDSBL方法基本可以在30步內完成收斂，遠小于NTh-MDSBL方法收斂時的迭代步數(shù)。因此，從一次循環(huán)迭代計算量和總收斂步數(shù)兩個方面分析可知，ATh- MDSBL方法的總運算復雜度小于NTh-MDSBL方法，即自適應門限的引入能夠有效地降低已有算法的運算復雜度。

接下來，驗證本文算法與現(xiàn)有寬帶DOA估計算法的參數(shù)估計性能?，F(xiàn)有寬帶DOA估計算法可以分為兩類：(1)基于信號子空間的估計方法，包括投影子空間正交測試方法(Test of Orthogonality of Projected Subspaces, TOPS)、非相干信號子空間方法(Incoherent Signal Subspace Method, ISSM)和相干信號子空間方法(Coherent Signal Subspace Method, CSSM)；(2)基于稀疏性的估計方法，包括ATh-MDSBL方法、NTh-MDSBL方法[18]和WCMSR方法[19]。以上所有算法的空間范圍為到，等份成360個搜索格點，樣本點總數(shù)為320點，其中每個數(shù)據(jù)段包含64個樣本點，兩個信號的信噪比保持相同，均從變化到21 dB，本文算法的虛警概率為1%。圖3展示了DOA估計的均方根誤差(Root of Mean-Square-Error, RMSE)隨信噪比的變化情況。在低信噪比下，WCMSR方法的空間譜中出現(xiàn)雜亂的譜峰，使得該方法在低信噪比下幾乎失效，其它兩種基于稀疏性的方法的估計精度高于基于信號子空間的估計方法，其中由于ATh- MDSBL方法能夠利用自適應門限處理方法，抑制幅度較大的干擾信號，因此ATh-MDSBL方法的估計精度高于NTh-MDSBL方法。隨著信噪比的增大，WCMSR方法的估計性能大幅度地提升，但是由于基于范數(shù)的稀疏重構方法無法保證解的全局最優(yōu)性，最終的估計精度不如NTh-MDSBL方法和ATh- MDSBL方法。

圖 3 均方根誤差隨信噪比的變化曲線

圖 4 均方根誤差隨樣本點數(shù)的變化曲線

最后，驗證本文基于ATh-MDSBL方法、文獻[12]LRMAP方法和文獻[20]GLR方法的檢測性能。假設兩個信號信噪比均為，樣本點總數(shù)為320點，其中每個數(shù)據(jù)段包含64個樣本點。圖5展示了3種算法的ROC性能曲線。由于LRMAP檢測算法利用了信號的空域稀疏性，算法性能優(yōu)于GLR檢測算法。對比LRMAP和SBL性能曲線看出，本文檢測算法構造的判決統(tǒng)計量相比于文獻[12]具有更好的檢測性能。

圖 5 不同檢測算法的ROC性能曲線

保持虛警概率為1%，在相同的樣本點數(shù)條件下觀察信噪比對檢測概率的影響。如圖6所示，在低信噪比條件下GLR檢測算法的性能最差。對比LRMAP和本文檢測算法的性能曲線可以得出，后者能夠更好地適應于低信噪比條件，當信噪比大于時檢測概率能夠達到80%以上。

圖 6 不同算法的檢測概率隨信噪比的變化曲線

7 結束語

本文將信號的角度信息引入到頻譜檢測問題中，對于在時域和頻域上發(fā)生混疊的多信號具有較好的檢測和識別能力。根據(jù)信號在角度域的稀疏特性構造多字典稀疏模型，在利用傳統(tǒng)SBL算法解決稀疏重構問題的基礎上，引入一種自適應判決的處理方法。該方法在恒虛警概率條件下對每一個預設來波方向進行信號檢測，克服了傳統(tǒng)稀疏重構方法重構精度低和運算復雜度高的缺陷。通過與傳統(tǒng)的寬帶DOA估計算法比較發(fā)現(xiàn)，算法在低信噪比和小樣本條件下可以得到更加精確的角度估計值。此外，算法的整體檢測性能相比于現(xiàn)有方法具有較為明顯的增強，提高了頻譜檢測算法在低信噪比條件下的適應能力。

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Adaptive Spectrum Detection Algorithm Based on Spatial Sparsity

YU Hongyi CHENG Biao HU Yunpeng SHEN Zhixiang

(,,450002,)

The existing spectrum detection method can not take full advantage of angle dimension. To sense the spectrum more comprehensively, the signal model is established based on the sparsity of angle dimension. The reconstruction result can be derived by Sparse Bayesian Learning (SBL) algorithm. By integrating the binary probability hypothesis into iterative procedure of SBL, a decision test combined with adaptive threshold is derived. The proposed pruning step can accept the active components of the model, and transform the sparse recovery into a detection problem for signals from different angles. Therefore, the algorithm can sense the spectrum blindly with constant false-alarm rate as well as estimate the accurate angle of each incident signal. Numerical simulation results verify that adaptive threshold can improve reconstruction accuracy with low computing cost. Moreover, the proposed algorithm can achieve better estimation and detection performance than previous algorithms.

Spectrum detection; Sparse Bayesian Learning (SBL); Constant false-alarm rate; Adaptive threshold

TN911.7

A

1009-5896(2016)07-1703-07

10.11999/JEIT151030

2015-09-10；改回日期：2016-01-22；網(wǎng)絡出版：2016-03-29

程標 chengb_cn@163.com

國家自然科學基金(61501517)

The National Natural Science Foundation of China (61501517)

于宏毅： 男，1963年生，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為無線通信、無線傳感器網(wǎng)絡等.

程 標： 男，1990年生，碩士，主要研究方向為無線通信、通信信號處理.

胡赟鵬： 男，1978年生，博士，副教授，碩士生導師，主要研究方向為通信信號處理、無線傳感器網(wǎng)絡等.

沈智翔： 男，1985年生，博士，講師，主要研究方向為通信信號處理、多天線信號合成技術.