時(shí)統(tǒng)業(yè),王斌

(1.海軍指揮學(xué)院 信息系，江蘇 南京 211800；2.海軍蚌埠士官學(xué)校 航海系，安徽 蚌埠 233012)

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與AM凸函數(shù)有關(guān)的積分不等式和單調(diào)函數(shù)

時(shí)統(tǒng)業(yè)1,王斌2

(1.海軍指揮學(xué)院 信息系，江蘇 南京 211800；2.海軍蚌埠士官學(xué)校 航海系，安徽 蚌埠 233012)

利用凸函數(shù)與AM凸函數(shù)的關(guān)系，證明了AM凸函數(shù)存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)，并通過(guò)不等式建立了AM凸函數(shù)與其單側(cè)導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系．在此基礎(chǔ)上，用普通數(shù)學(xué)分析的方法獲得了若干AM凸函數(shù)的不等式和單調(diào)函數(shù)．

AM凸函數(shù)；積分不等式；單調(diào)性

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)在I上稱為是凸(凹)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有

引理1[2]設(shè)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)I內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù)(從而處處連續(xù))，且對(duì)x，y∈(a，b)，x

引理2[3]設(shè)f(x)為[a，b]上的凸(凹)函數(shù)，則對(duì)任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

定義2[4]設(shè)I(0,+∞)，f：I→(0,+∞)，若對(duì)任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，存在r∈R，使得

則稱f(x)是區(qū)間I上的AM凸(凹)函數(shù)，其中，當(dāng)r>0時(shí)，稱f(x)是I上的AMr+-凸(凹)函數(shù)，當(dāng)r<0時(shí)，稱f(x)是I上的AMr--凸(凹)函數(shù)．

引理3[4]設(shè)I(0，+∞)，f(x)是定義在I上的正值函數(shù)，則

(i) f在(a，b)內(nèi)各點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在；

(ii)對(duì)任意x，y∈(a，b)，x

(1)

(iii)對(duì)任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

(2)

由此得

(iii)因g是[a，b]上的凸函數(shù)，由引理2可證得式(2)．

注2若f是AMr--凸(凹)函數(shù)，則引理4之(ii)中的不等式不變，而引理4之(iii)中的不等式反向．

引理5[5]設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)凸函數(shù)，g在[a，b]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)且至多只有有限個(gè)零點(diǎn)，則有

引理6[4]設(shè)I(0,+∞)，f(x)是定義在I上的正的二階可導(dǎo)函數(shù)，則

(i)f(x)為I上的AMr+-凸(凹)函數(shù)的充要條件是

2　主要結(jié)果

則有

(3)

證由引理4，對(duì)任意x∈[a，b]，有

(4)

(5)

在式(4)和式(5)中對(duì)x分別在[a，y]和[y，b]上積分后相加，則式(3)得證．

則有

(6)

(7)

則當(dāng)r<1且r≠-1(r>1)時(shí)有

(8)

(9)

(10)

證由引理4及Young不等式有

(11)

因?yàn)?

(12)

對(duì)式(11)中的x，y在[a，b]×[a，b]上積分得

(13)

由式(12)、(13)，定理2得證．

證只對(duì)f是單調(diào)增加的AM-凸函數(shù)的情形證明，當(dāng)f是單調(diào)增加的AM-凹函數(shù)時(shí)同理可證．對(duì)任意x∈(a，b)，有

那么

i)當(dāng)r>0或r<-1時(shí)，u(x)在(a，b)上單調(diào)增加(減少)；

ii)當(dāng)-1

證對(duì)任意x∈(a，b)，有

推論3設(shè)條件同定理4，則

那么

i)當(dāng)r>-1時(shí)，Ψ(x)在(a，b)上單調(diào)增加(減少)；

ii)當(dāng)r<-1時(shí)，Ψ(x)在(a，b)上單調(diào)減少(增加)．

證對(duì)任意x∈(a，b)，有

其中

由引理4，當(dāng)r>0時(shí)，p(x)≥(≤)0；當(dāng)r<0時(shí)，p(x)≤(≥)0．

推論4在定理5中，若又假設(shè)f在[a，b]上連續(xù)，則

i)當(dāng)r>-1時(shí)，有

(14)

ii)當(dāng)r<-1時(shí)，有

(15)

那么

i)當(dāng)f是AMr+-凸(凹)函數(shù)時(shí)，θ(x)在(a，b)上單調(diào)減少(增加)；

ii)當(dāng) f是AMr--凸(凹)函數(shù)時(shí)，θ(x)在(a，b)上單調(diào)增加(減少)．

其中

i)當(dāng)f是AMr+-凸(凹)函數(shù)時(shí)，有

ii)當(dāng) f是AMr--凸(凹)函數(shù)時(shí)，有

[1]裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006： 268．

[2]劉三陽(yáng)，李廣民．?dāng)?shù)學(xué)分析十講[M]．北京：科學(xué)出版社，2011：89．

[3]時(shí)統(tǒng)業(yè)，李照順，夏琦．與MH凸函數(shù)有關(guān)的積分不等式和單調(diào)函數(shù)[J]．廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，36(3)：23-29．

[4]宋振云．AM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]．淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，36(1)：1-7．

[5]王良成．凸函數(shù)的兩個(gè)積分性質(zhì)[J]．達(dá)縣師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，14(2)：12-13．

[6]楊軍．用單側(cè)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性[J]．四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2000，21(1)：108-109．

[7]李丹衡，鄧遠(yuǎn)北．函數(shù)的左、右導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學(xué)研究，1999，2(3)：26-28．

Integral inequalities and monotone functions related to AM-convex functions

SHI Tongye,WANG Bin

(1.Department of Information，PLA Naval Command College，Nanjing 211800，China；2.Department of Navigation，PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy，Bengbu 233012，China)

With the aid of relationship between convex functions and AM-convex functions，the existence of unilateral derivatives of AM-convex functions is proved，and the relation between AM-convex function and its unilateral derivative is established through inequalities. Based on this groundwork，integral inequalities and monotone functions for AM-convex functions are obtained by using mathematical analysis．

AM-convex function;integral inequality;monotonicity

2015-10-24;

2016-04-27

時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963- )，男,河北張家口人，副教授，碩士，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究，E-mail:shtycity@sina.com．

O178

A

1671-9476(2016)05-0011-05

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.003