高繼梅，梁艷艷

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

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混合效應(yīng)模型線性估計(jì)的可容許性

高繼梅，梁艷艷

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

以協(xié)方差矩陣和Kronecker乘積為基礎(chǔ)，建立混合效應(yīng)模型的線性可容許性的必要條件，簡化固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)的估計(jì).在平衡套分類模型場合簡化線性估計(jì)的容許性問題，給出其固定和隨機(jī)效應(yīng)線性估計(jì)可容許的充要條件.

Kronecker乘積；混合效應(yīng)模型；可容許

關(guān)于線性模型的可容許性問題，統(tǒng)計(jì)判決理論中已有很多經(jīng)典結(jié)果，1976年，Olsen，Seely和Birkes利用局部最優(yōu)估計(jì)來刻畫可容許的線性無偏估計(jì)[1]，1982年LaMotte發(fā)展了他的思想方法, 提出了一個(gè)研究線性模型中線性估計(jì)可容許性的一般理論方法，但是對于具體的線性模型，用那些方法刻畫具體的線性估計(jì)的可容許性也不是容易的[2].1988年，葉慈南針對具有兩個(gè)方差分量的模型, 研究了方差分量的非負(fù)二次同時(shí)估計(jì)的可容許性，在一定的條件下給出了一個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件,但是必要條件非?？量蹋P(guān)于可容許性估計(jì)的刻畫很不理想[3].筆者在這一點(diǎn)做出了突破，在沒有參數(shù)約束的情況下，給出了混合效應(yīng)模型，特別是平衡交叉分類模型的可容許性條件，推廣和發(fā)展了混合效應(yīng)模型參數(shù)估計(jì)的容許性條件.

1　混合效應(yīng)模型的預(yù)備知識

線性混合效應(yīng)模型是最重要的一種常見回歸模型，它的最一般形式為

y=Xβ+U1ξ1+U2ξ2+…+Ukξk+e

(1)

y為觀測向量，X為已知設(shè)計(jì)陣，β為非隨機(jī)的參數(shù)向量，稱為固定效應(yīng)，Ui為已知設(shè)計(jì)陣，ξi為隨機(jī)向量，稱為隨機(jī)效應(yīng)，ei為隨機(jī)誤差向量[4].一般假設(shè)

Y=Xβ+ZU+e

(2)

(3)

(4)

(5)

2　 混合效應(yīng)模型的改進(jìn)

由以上結(jié)果可知：

(6)

由上式可以得到LTY-KTXβ=LTY-θ

因此，可以把風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)LTY看作模型(6)中KTXβ的估計(jì)，此時(shí)LTY看起來只含固定效應(yīng)而不含隨機(jī)效應(yīng)了[7].

3　交叉分類模型的線性可容許性

引理1關(guān)于θ的一個(gè)線性估計(jì)LTY在模型(3)中是可容許的，當(dāng)且僅當(dāng)其相應(yīng)的KTXβ的估計(jì)LTY在模型(6)中是可容許的.

在這里,考慮K—平衡交叉分類隨機(jī)模型的線性可容許性，它們是模型(3)的特殊情況.通過研究得到模型(6)中KTXβ的可容許線性估計(jì)的明確公式，并且通過引理1，可以得到一個(gè)對于模型(3)的可容許線性估計(jì).

令Yi1i2...ik+1，K—平衡交叉分類隨機(jī)模型是一個(gè)具有下列結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量

Yi1i2...ik+1=β+u1i1+...+ukik+ei1i2...ik+1，

在這些假定下，將Yi1i2...ik+1按字典排序法排成一個(gè)n—維向量Y，這里n=n1,n2,...,nk+1.令X=In1?In2?...?Ink+1=In,Znk=In1?In2?...?Ik?1nk+1.這時(shí)，相對于模型(3)，此模型有[9]

(7)

?

?

即有

ML0=s0XXTK

(8)

ML*-AQ=0

(9)

由式(8)得：

L0=s0M-1XXTK

(10)

由式(9)得：

(11)

又因?yàn)槭荅i冪等正交陣，所以有

[1]A. Olsen, J. Seely, D. Birkes. Invariant quadratic unbiased estimation for two variance components[J]. Ann. Statist,1976,4:878-890.

[2]L. R. LaMotte. Admissibility in linear estimation[J]. Ann. Statist,1982,10: 245-255.

[3]葉慈南. 兩個(gè)方差分量同時(shí)估計(jì)的可容許性[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),1988,4(1):35-43.

[4]王松桂,史建紅,吳密霞，等,線性模型引論[M].北京:科學(xué)出版社,2003: 256-267

[5]莊東辰,茆詩松. 混合系數(shù)線性模型的參數(shù)估計(jì)[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),1996,11(1):81-87.

[6]薛蕊,郭大偉. 線性混合模型中參數(shù)估計(jì)的容許性[J]. 杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,9(1):26-29.

[7]段智力. 約束下線性混合模型參數(shù)估計(jì)的漸近解及其收斂性[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2012,42(4):186-194.

[8]陳長生,徐勇勇,王彤. 交叉設(shè)計(jì)資料的混合效應(yīng)模型分析[J]. 中國衛(wèi)生統(tǒng)計(jì),2005,22(4):214-217.

[9]徐宏武. 冪等矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用[J]. 宜春學(xué)院學(xué)報(bào),2004,26(6):22-22.

The admissibility of the linear estimate in mixed-effect model

GAO Jimei,LIANG Yanyan

(Mathematics and Statistical Institute, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001, China)

Based on covariance matrix and Kronecker product, necessary admissibility of mixed-effect model is established, and estimations of fixed effect and random effect are simplified. Furthermore, permissibility of linear estimation is simplified in balance set model, and permissibility of its fixed effect and random effect is given.

Kronecker product; mixed-effect model; permissibility

2016-05-03;

2016-05-20

高繼梅(1964- )，女，河南淮陽人，碩士，副教授，主要研究方向：概率統(tǒng)計(jì)及應(yīng)用.

F830

A

1671-9476(2016)05-0021-05

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.005