楊少塵，胡昌華，李紅增

（火箭軍工程大學(xué)控制工程系，陜西 西安 710025）

基于Wiener過程的GPS校準(zhǔn)晶振型頻率源守頻方法

楊少塵，胡昌華，李紅增

（火箭軍工程大學(xué)控制工程系，陜西 西安 710025）

GPS校準(zhǔn)晶振型頻率源系統(tǒng)接收不到GPS信號時，僅能依靠晶振自身保持較高頻率標(biāo)準(zhǔn)輸出。該文針對短期GPS信號丟失后晶振輸出頻率漂移問題，提出一種基于Wiener過程的頻率漂移校正補償方法。該方法通過建立晶振輸出頻率的老化特性退化模型，將溫度作為加速應(yīng)力引入模型參數(shù)。利用GPS信號丟失前的系統(tǒng)歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，采用極大似然估計法估計模型擴散參數(shù)，采用Kalman濾波方法估計模型漂移參數(shù)，進而預(yù)測晶振失鎖后的頻率漂移量，完成對系統(tǒng)輸出頻率的補償校正。將該方法應(yīng)用到某GPS校準(zhǔn)晶振型頻率源系統(tǒng)中，結(jié)果表明在GPS信號丟失后的短期內(nèi)，系統(tǒng)的輸出頻率準(zhǔn)確度能夠保持在9.7×10-11，滿足短期內(nèi)的計量需求。

GPS校頻；晶振；頻率漂移；Wiener過程

0　引　言

隨著航空航天測控技術(shù)的不斷發(fā)展，對頻率測試設(shè)備的計量需要更高準(zhǔn)確度的時頻標(biāo)準(zhǔn)。目前高準(zhǔn)確度頻率標(biāo)準(zhǔn)源主要有銣鐘、銫鐘等原子鐘及高準(zhǔn)確度晶振。其中氫、銫等原子鐘的頻率準(zhǔn)確度可達10-12～10-15量級，長期穩(wěn)定度好，但其使用條件嚴格，價格昂貴。晶振的頻率準(zhǔn)確度一般為10-7～10-9量級，短期穩(wěn)定性好，價格低廉，但其精度易受溫度、老化等因素影響，長期穩(wěn)定性較差。

GPS系統(tǒng)每顆衛(wèi)星上都攜帶有原子鐘，因此GPS信號具有原子頻標(biāo)的長期穩(wěn)定度。利用GPS信號校準(zhǔn)地面晶振的方法可獲得短期和長期穩(wěn)定度都很高的頻率標(biāo)準(zhǔn)源，性價比高，實用性強［1-2］。但在地鐵、隧道等場所使用時，GPS接收機短期內(nèi)可能接收不到GPS信號。此時系統(tǒng)只能依靠晶振自身實現(xiàn)高精度頻率輸出。但晶振頻率準(zhǔn)確度易受各種因素的影響，其中溫度變化和自身元器件老化是主要的影響因素。為了使系統(tǒng)在丟失GPS信號后繼續(xù)保持相對較高的頻率準(zhǔn)確度，需要對晶振輸出頻率的漂移量進行實時補償。對完成航空航天設(shè)備在復(fù)雜環(huán)境下的便捷高效伴隨計量具有重要意義。

研究晶振頻率漂移預(yù)測補償?shù)乃悸肥峭ㄟ^建立晶振性能退化模型，利用GPS信號正常時系統(tǒng)的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)得到晶振的性能退化數(shù)據(jù)，估計出模型相關(guān)參數(shù)，預(yù)測晶振輸出頻率的漂移量，從而對系統(tǒng)進行補償校正，保證系統(tǒng)輸出頻率的精度，直至GPS信號恢復(fù)后重新鎖定晶振。

建立退化預(yù)測模型時，文獻［3］提出采用多項式法表示晶振相位偏差，利用歷史數(shù)據(jù)計算出多項式參數(shù)進行預(yù)測，該方法簡單但短期內(nèi)精度不高；文獻［4］提出采用Kalman濾波算法進行預(yù)測，但是僅考慮了老化因素對頻率漂移的影響，沒有考慮溫度變化的影響；文獻［5］提出通過數(shù)字濾波器分離出溫度、老化對頻率漂移的影響，而后采用Kalman濾波算法分別對溫度和老化的影響進行預(yù)測后再相加，該方法參數(shù)選擇復(fù)雜，模型噪聲難確定，效果不太明顯；文獻［6］提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進行建模，該方法收斂速度較慢，效率較低，不能很好地滿足實時性要求。

針對上述問題，本文提出采用基于Wiener過程的可靠性建模方法，將短期內(nèi)的晶振退化問題近似為線性問題，建立晶振老化與頻率漂移之間的線性模型，并將溫度變化作為系統(tǒng)的加速應(yīng)力融合到模型參數(shù)中。首先利用極大似然估計和Kalman濾波算法分別對模型的擴散參數(shù)和漂移參數(shù)進行估計，然后實時預(yù)測晶振的頻率漂移量，對系統(tǒng)輸出頻率進行補償，確保系統(tǒng)保持高精度頻率輸出。

1　問題描述

GPS信號校準(zhǔn)晶振型頻率源的基本原理如圖1所示。當(dāng)GPS信號正常時，系統(tǒng)將GPS接收機輸出的秒信號與地面晶振分頻后的信號進行比對，獲得相對頻差，再將頻差轉(zhuǎn)換成控制修正電壓，不斷調(diào)節(jié)晶振的振蕩頻率，最終實現(xiàn)晶振高準(zhǔn)確度頻率輸出。當(dāng)GPS信號丟失后，系統(tǒng)通過晶振頻率漂移預(yù)測模塊實時預(yù)測晶振輸出頻率的漂移量，再將其轉(zhuǎn)換成控制修正電壓對晶振進行校正補償，實現(xiàn)相對高準(zhǔn)確度的頻率輸出［7］。

圖1　地面晶振馴服保持技術(shù)原理圖

其中，晶振頻率漂移預(yù)測模塊的工作原理如圖2所示。首先建立晶振基于溫度、老化特性的頻率漂移模型，然后利用壓控電壓值將GPS信號正常時的頻差信號量等效轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的晶振頻率漂移量，利用對應(yīng)的溫度值和時刻值估計模型參數(shù)。當(dāng)GPS信號丟失后利用該模型，通過當(dāng)前時刻值和溫度值預(yù)測出相應(yīng)的晶振輸出頻率漂移量。

圖2　頻率漂移預(yù)測模塊原理圖

1.1晶振老化預(yù)測模型

一般情況下，晶振的老化模型是非線性的，頻率溫度變化模型是線性的。但老化率的非線性是對于較長時間而言的，如一月或者一年。在較短時間內(nèi)，老化率可以認為是線性的，如一天。由于GPS信號丟失的時間一般都很短，并且頻率源系統(tǒng)要求的精度保持時間基本都是一天。因此在保證精度的前提下，晶振的老化模型可以簡化為線性，從而大大簡化了算法處理。

基于Wiener過程的退化模型是一類典型的描述設(shè)備隨機退化過程的線性隨機模型。到目前為止，這類模型已經(jīng)在設(shè)備腐蝕、機械振動、液晶顯示器劣化等退化中得到了廣泛應(yīng)用［8］。本文將短期內(nèi)的晶振退化過程描述為一元Wiener過程：

式中：X（t）——t時刻的退化量；

μ、σ——漂移參數(shù)和擴散參數(shù)；

B（t）——標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，且有B（t）～N（0，t）。

由于一元Wiener過程是齊次馬爾科夫過程，則其均值和方差分別為

可以看出X（t）的均值和方差隨時間線性增加。其變異系數(shù)為

1.2基于溫度應(yīng)力下的晶振老化預(yù)測模型

在某些Wiener過程的可靠性建模中，為了提高產(chǎn)品的性能退化過程，以便在短期內(nèi)獲得較多性能退化數(shù)據(jù)，通常需要提高試驗應(yīng)力加快其退化過程，如改變溫度、壓力、濕度等。若設(shè)某應(yīng)力變化量為L，在不同應(yīng)力下一元Wiener過程的參數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)，即：

其中θμ是未知參數(shù)向量。

若考慮將溫度看作加速應(yīng)力作用于晶振的退化過程，由于頻率溫度變化模型可近似為線性［9］，那么基于溫度應(yīng)力下的退化模型為

其中a、b為模型未知參數(shù)。

由于本文所研究的GPS校準(zhǔn)晶振型頻率源系統(tǒng)使用的是恒溫晶振，其頻率漂移受外界溫度變化影響較小，在研究中可忽略不計。下面重點討論晶振的老化對頻率漂移的影響。

2　基于Wiener過程的GPS信號校準(zhǔn)晶振型頻率源守頻方法

2.1模型參數(shù)估計

2.1.1估計擴散參數(shù)σ2

利用前文所述頻率源系統(tǒng)，設(shè)頻率源在測量時刻t1，t2，…，tn的頻率漂移量分別為x1，x2，…，xn，令0＜i＜n，其中t0=0，n≥1，x0=0。Δxi=xi-xi-1是時刻ti-1，ti之間的性能退化量。由Wiener過程的性質(zhì)［10-11］得

其中，Δti=ti-ti-1，i=1，2，…，n。由式（8）得到似然函數(shù)為

那么利用極大似然估計方法可求得σ2的估計值為

2.1.2估計漂移參數(shù)μ

對于參數(shù)μ的估計，若采用極大似然估計法有：

由式（11）可知，若采用極大似然估計方法估計參數(shù)μ時，使用的狀態(tài)值為當(dāng)前時刻值和初始時刻值的差值。如果當(dāng)前時刻值存在較大噪聲，就會對μ的估計值產(chǎn)生較大影響。因此，為了降低噪聲因素的影響，充分利用先前的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，提高μ的估計準(zhǔn)確度，本文采用Kalman濾波算法對μ進行預(yù)測估計。

Kalman濾波適合解決最優(yōu)線性濾波和估計問題，它以最小均方誤差為準(zhǔn)則，根據(jù)前一次估計值和最近一次觀測數(shù)據(jù)估計信號的當(dāng)前值，適用于實時處理［12］。通過之前建立的Wiener過程模型推導(dǎo)，可得關(guān)于參數(shù)μ的狀態(tài)方程和觀測方程為

其中，yk=Δxk=xk-xk-1，Δtk=tk-tk-1，k=1，2，…，n；Wk為系統(tǒng)噪聲，具有零均值和已知協(xié)方差陣Qk；Vk為觀測噪聲，且服從N（0，σ2）。

Kalman濾波過程如下：

1）由公式Pk-=APk-1AT+Qk，計算向前推算誤差協(xié)方差Pk-。

2）根據(jù) Kk=Pk-HkT（HkPk-HkT+Rk）-1，計算 Kalman增益Kk。

5）由Pk=（I-KkHk）Pk-，更新誤差協(xié)方差Pk。

其中，A=1，Hk=Δtk，k-為 k時刻的先驗狀態(tài)估計為k-1時刻的后驗狀態(tài)估計，Pk-為k時刻的先驗估計誤差的協(xié)方差。

實際中，需給定初值μ0估計誤差協(xié)方差矩陣初值P0。模型噪聲協(xié)方差陣Qk采用經(jīng)驗估計，按照使濾波效果最優(yōu)的原則由實驗確定。觀測噪聲協(xié)方差矩陣

2.2頻率漂移量預(yù)測

由于一元Wiener過程是齊次馬爾科夫過程，根據(jù)性質(zhì)可知其狀態(tài)增量是平穩(wěn)相互獨立的。當(dāng)x1，x2，…，xn已知時，設(shè)t＞n，對于t時刻的晶振輸出頻率漂移量X（t），有：

由上式可得晶振輸出頻率漂移X（t）的預(yù)測值為

2.3頻率輸出校正補償

預(yù)測出晶振的頻率漂移量后，將其轉(zhuǎn)換成壓控電壓，實時輸入晶振來調(diào)節(jié)輸出頻率漂移，從而完成晶振的自校正補償，使系統(tǒng)在GPS信號丟失的短期內(nèi)保持相對高精度的頻率輸出，如圖3所示。

圖3　頻漂校正補償原理圖

晶振的性能退化是連續(xù)的，頻漂預(yù)測校正補償是負反饋環(huán)節(jié)，具有一定的延遲。但是由于晶振在相鄰兩時刻的頻漂量之差，與頻漂預(yù)測值相差幾個數(shù)量級，可以直接將前一時刻的頻漂預(yù)測值作為當(dāng)前時刻的頻率漂移值用于校正補償。

綜上所述，解決GPS信號丟失后晶振輸出頻率漂移預(yù)測補償問題的步驟如下：

1）分析老化、溫度等因素對晶振頻率漂移的影響關(guān)系，建立頻率漂移預(yù)測的一元Wiener過程模型。

2）根據(jù)頻率漂移預(yù)測模型推導(dǎo)出狀態(tài)似然函數(shù)和狀態(tài)方程，利用極大似然估計方法估計擴散參數(shù)σ2，利用Kalman濾波算法估計漂移參數(shù)μ。

3）根據(jù)推導(dǎo)出的頻率漂移量預(yù)測公式，計算在GPS信號丟失情況下的晶振輸出頻率漂移量。

4）將預(yù)測出的晶振輸出頻率漂移量輸入D/A轉(zhuǎn)換模塊轉(zhuǎn)換為控制電壓，實時調(diào)節(jié)晶振輸出頻率，實現(xiàn)系統(tǒng)高精度頻率輸出。

3　實例驗證

針對某GPS校準(zhǔn)晶振型頻率源系統(tǒng)，在GPS信號正常鎖定晶振的情況下，設(shè)置40s為采樣周期，采集頻差信號值及對應(yīng)的晶振壓控端輸入電壓。在具體測試驗證中，使用的晶振為恒溫晶振，性能如表1所示［13］。其中采集的頻差信號值反映了系統(tǒng)的頻率輸出準(zhǔn)確度，如圖4所示。

表1　VCOCXO的老化率和頻率溫度系數(shù)

圖4　晶振鎖定后系統(tǒng)的頻率準(zhǔn)確度（采樣周期40s）

由圖4可以看出，GPS信號鎖定晶振信號后，系統(tǒng)輸出頻率值在晶振標(biāo)稱頻率上下起伏，頻率準(zhǔn)確度最大起伏約為8.7×10-11。通過計算，圖中所顯示的頻率平均準(zhǔn)確度可達2.17×10-11，相對于表1所示晶振的老化率約為5×10-10/d有明顯改進。由此可以說明利用GPS信號校準(zhǔn)晶振后，系統(tǒng)的輸出頻率準(zhǔn)確度有明顯提高，GPS衛(wèi)星時鐘的長期準(zhǔn)確度指標(biāo)在鎖定后的晶振上得到了復(fù)現(xiàn)，系統(tǒng)滿足大多數(shù)情況下的計量標(biāo)準(zhǔn)要求［14］。

根據(jù)控制電壓值將頻差信號進行等效轉(zhuǎn)換，得到晶振頻率漂移量，如圖5所示。

由圖可以看出，晶振的頻率準(zhǔn)確度隨時間不斷降低，即頻率漂移量越來越大，整體上可近似為以老化率為斜率的線性退化。圖4與圖5比較可知，正是由于GPS信號對晶振信號進行了校準(zhǔn)，才使得系統(tǒng)能夠保持較高的輸出精度。

當(dāng)晶振被GPS信號鎖定一段時間以后，斷開GPS校準(zhǔn)信號，系統(tǒng)進入晶振自校準(zhǔn)補償模式。圖6為使用保持方法后系統(tǒng)輸出頻率準(zhǔn)確度變化曲線。

圖6　使用保持方法后的頻率準(zhǔn)確度（采樣周期40s）

由圖可以看出，當(dāng)采用了保持方法之后，晶振的頻率漂移問題得到了很好的修正，輸出頻率準(zhǔn)確度在GPS信號丟失后的11h內(nèi)仍保持在4.0×10-10之上，保持期間的頻率平均準(zhǔn)確度為9.7×10-11。但從圖中的曲線波動趨勢發(fā)現(xiàn)，隨著時間的延長，系統(tǒng)的頻率準(zhǔn)確度呈下降趨勢，說明了該頻率保持方法可以使恒溫晶振在短期內(nèi)保持較高的輸出精度，但由于恒溫晶振的老化和系統(tǒng)計算時迭代誤差的影響，使得系統(tǒng)的輸出頻率準(zhǔn)確度不斷降低。總體來講，該方法能夠使系統(tǒng)在短期內(nèi)保持相對較高的頻率準(zhǔn)確度，滿足短期內(nèi)的計量需求。

4　結(jié)束語

本文研究了一種基于Wiener過程的頻率源守頻保持方法。首先建立了晶振性能退化的一元Wiener過程模型，利用極大似然估計和Kalman濾波算法估計出模型參數(shù)，計算得出晶振輸出頻率漂移量，當(dāng)GPS信號丟失后，實現(xiàn)晶振輸出頻率漂移的自校正補償。將該方法用于某GPS校準(zhǔn)晶振型頻率源系統(tǒng)，能夠滿足系統(tǒng)在GPS信號丟失的短期內(nèi)，仍保持高準(zhǔn)確度頻率輸出的要求。

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（編輯：徐柳）

Timekeeping method for frequency sources calibrated by GPS based on Wiener progress

YANG Shaochen，HU Changhua，LI Hongzeng
（Dept.of Control Engineering，the Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China）

The GPS calibrating crystal oscillator frequency source system can only rely on the crystal oscillator to keep the output at a high standard after GPS signals are lost.In this paper，an algorithm of maintaining frequency source punctuality based on Wiener process is proposed to correct and compensate for the output frequency drift of the crystal oscillator.Through analysis of historical calibrating data，an output frequency drift model was established with temperature and agingcharacteristics.Maximumlikelihoodestimationwasappliedtoestimatethediffusion parameters of the model and Kalman filtering method was used to estimate its drift parameters. Furthermore，the output frequency drift in real time was predicted and the frequency of the system was compensated.The proposed method was applied to a GPS calibrating crystal oscillator frequency source system，and the results show that it can maintain the output precision of frequency at a degree as high as 9.7×10-11after GPS signals are lost.

GPS calibrating frequency；crystal oscillator；frequency drift；Wiener process

A

1674-5124（2016）06-0014-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.06.004

2016-01-22；

2016-03-07

國家杰出青年基金（61025014）國家自然科學(xué)基金（61573365）

楊少塵（1991-），男，北京市人，碩士研究生，專業(yè)方向為故障診斷與預(yù)測。