葉素動(dòng)量理論（BEM）實(shí)現(xiàn)方法討論

葉素動(dòng)量理論（BEM）是翼式流體機(jī)械葉片設(shè)計(jì)中廣泛采用的方法，它通過(guò)求解一組代數(shù)方程，獲得葉片結(jié)構(gòu)及性能參數(shù)。對(duì)水平軸風(fēng)力機(jī)來(lái)說(shuō)，空氣流過(guò)葉輪時(shí)一方面沿主流方向流動(dòng)，另一方面作與葉輪旋轉(zhuǎn)方向相反的圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)由于葉片附近剪切流的作用，在葉片后方形成疊加于螺旋形流線上的渦旋運(yùn)動(dòng)?？紤]到空氣流動(dòng)沿主流方向和切線方向的動(dòng)量損失，引入軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子來(lái)計(jì)算葉間和葉片尾部氣流軸向和切向速度。關(guān)于應(yīng)用葉素動(dòng)量理論進(jìn)行風(fēng)力機(jī)葉片設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟在許多文獻(xiàn)中均有所論述。葉片設(shè)計(jì)計(jì)算需要確定的參數(shù)包括葉片弦長(zhǎng)、葉片流動(dòng)角、葉片攻角、葉片扭轉(zhuǎn)角以及軸向和切向誘導(dǎo)因子等參數(shù)，它們?cè)谠O(shè)計(jì)之初都是未知的，且相互影響。與一般工程設(shè)計(jì)類似，在開(kāi)始設(shè)計(jì)時(shí)需要先假定一些幾何或結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過(guò)迭代或優(yōu)化的過(guò)程獲得滿足設(shè)計(jì)性能要求的幾何參數(shù)。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，關(guān)于如何確定葉片有關(guān)幾何參數(shù)的初始分布介紹較少，本文在分析葉素動(dòng)量理論實(shí)施步驟的基礎(chǔ)上上介紹幾種確定軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子的方法以及確定葉片弦長(zhǎng)的方法，進(jìn)一步明確葉素動(dòng)量理論的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

葉素動(dòng)量理論的基本模型

葉素動(dòng)量理論建立在葉素氣動(dòng)理論和動(dòng)量守恒原理的基礎(chǔ)上。葉素速度三角形和力矢量圖如圖1所示。

圖1中，D為阻力；L為升力；Fn為軸向力；Ft為切向力；V∞（1-a）為軸向速度；?r（1+b）為切向速度；V∞為風(fēng)輪上游遠(yuǎn)方風(fēng)速；?為風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)角速度；W 為風(fēng)輪處氣流相對(duì)速度；a 為軸向誘導(dǎo)因子；b 為切向誘導(dǎo)因子；α為攻角；β為扭轉(zhuǎn)角；φ為流動(dòng)角。根據(jù)文獻(xiàn)，軸向誘導(dǎo)因子a 、切向誘導(dǎo)因子

b 分別由式（1）和式（2）定義。

式中，V 為葉間氣流軸向速度分量；ω為葉間氣流角速度，其方向與葉輪（或風(fēng)輪）轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。

根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)量矩守恒原理，氣流作用于葉素的推力（軸向力）和力矩可通過(guò)式（3）和式（4）表示。

葉素單元效率ηr、當(dāng)?shù)仫L(fēng)能利用系數(shù)dCP可表示為：

軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子的關(guān)系式為：

圖1　典型葉素速度三角形和力矢量圖

式（8）和式（9）中，B為葉片個(gè)數(shù)；c為葉片弦長(zhǎng)。分別聯(lián)立式（3）與式（8）及（4）與式（9），得到軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子與葉片弦長(zhǎng)、翼型氣動(dòng)參數(shù)及流動(dòng)角的關(guān)系式：

或

由式（10）和式（11）可進(jìn)一步將軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子寫成顯式的形式。若不計(jì)空氣阻力，則軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子的關(guān)系式又可表示為：

式（3）—式（14）即為葉素動(dòng)量理論的基本關(guān)系式。

葉素動(dòng)量理論的實(shí)現(xiàn)方法

從式（10）—式（13）可知，葉素幾何參數(shù)、氣動(dòng)參數(shù)及誘導(dǎo)因子互為函數(shù)關(guān)系，給方程的求解帶來(lái)一定困難，但是分析式（10）—式（13）并結(jié)合葉素速度三角形可一發(fā)現(xiàn)，翼型氣動(dòng)參數(shù)是葉片設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，誘導(dǎo)因子是設(shè)計(jì)過(guò)程的中間參數(shù)，因此葉片設(shè)計(jì)可首先從翼型氣動(dòng)參數(shù)入手。

攻角α的確定

葉素動(dòng)量理論假定沿葉片徑向葉素氣動(dòng)特性是獨(dú)立的，其氣動(dòng)特性用翼型的氣動(dòng)特性表示。翼型的氣動(dòng)特性根據(jù)翼型實(shí)驗(yàn)或計(jì)算獲得。升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD分別是攻角α和雷諾數(shù)Re的函數(shù)，即：

雷諾數(shù)Re根據(jù)相對(duì)速度W 和弦長(zhǎng)c 定義：

其中，ν為空氣運(yùn)動(dòng)粘度。

軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子的確定

在簡(jiǎn)化計(jì)算中，軸向誘導(dǎo)因子a 和切向誘導(dǎo)因子b可根據(jù)式（5）和式（7）或式（6）和式（14）來(lái)確定。

將式（5）和式（7）分別對(duì)切向誘導(dǎo)因子b求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：

以式（6）最大為目標(biāo)函數(shù)，以式（14）為約束條件，通過(guò)求解這一約束優(yōu)化優(yōu)化問(wèn)題便可得到軸向誘導(dǎo)因子a 和切向誘導(dǎo)因子b ，即：

以上兩種確定軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子的方法都有一定的局限性，前者僅考慮了動(dòng)量變化的因素，未考慮葉片氣動(dòng)效應(yīng)；后者優(yōu)化模型的約束條件根據(jù)假設(shè)氣動(dòng)阻力為零得出，因而兩者均不能保證同時(shí)滿足氣動(dòng)力平衡及動(dòng)量守恒的要求。

葉片初始幾何參數(shù)的確定

由圖1可知，流動(dòng)角φ與攻角α和扭轉(zhuǎn)角β的關(guān)系為：

由速度三角形可得：

若已知軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子，由式（22）可得流動(dòng)角φ，根據(jù)最佳攻角αopt由式（21）便可得到扭轉(zhuǎn)角β。但最佳攻角αopt是Re的函數(shù)，Re又與弦長(zhǎng)c有關(guān)。由此可知，如何確定弦長(zhǎng)或弦長(zhǎng)的分布成為需要解決的另一關(guān)鍵問(wèn)題。若把獲得葉輪最大風(fēng)能利用系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，弦長(zhǎng)c、葉尖速比λtip的變化范圍作為約束條件，建立優(yōu)化模型，即：

通過(guò)求解這一優(yōu)化問(wèn)題，便可獲得葉片的幾何參數(shù)及運(yùn)行參數(shù)。但由于優(yōu)化過(guò)程中，設(shè)計(jì)變量的取值是任意的，不能保證沿葉片展向弦長(zhǎng)和扭轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。

關(guān)于葉片弦長(zhǎng)和扭轉(zhuǎn)角沿葉片展向的變化，文獻(xiàn)以不同的計(jì)算模型進(jìn)行了介紹，文獻(xiàn) 將這些方法歸納為簡(jiǎn)化圓盤理論設(shè)計(jì)模型（Betz模型）、Schmitz 設(shè)計(jì)模型、Glauert 設(shè)計(jì)模型以及Wilson 設(shè)計(jì)模型，并給出前三種模型的計(jì)算公式，文獻(xiàn)將基于式（19）、（20）的計(jì)算方法稱為Wilson設(shè)計(jì)模型。除Betz模型外，其他三種模型均考慮了渦流的影響，但認(rèn)為翼型阻力對(duì)葉片結(jié)構(gòu)影響較小，在計(jì)算弦長(zhǎng)和扭轉(zhuǎn)角時(shí)略去了翼型阻力的影響。如文獻(xiàn)推導(dǎo)了不計(jì)翼型空氣阻力并假定軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子按式（18）計(jì)算的情況下，流動(dòng)角和葉片組合結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布的計(jì)算公式，由此可預(yù)測(cè)葉片弦長(zhǎng)的分布。以最大風(fēng)能利用系數(shù)為目標(biāo)設(shè)計(jì)出的葉片，根部弦長(zhǎng)往往很大，不易加工且增加葉片重量，因此需作修正，文獻(xiàn) 以采用NACA4412翼型設(shè)計(jì)出的葉片為例，認(rèn)為可在葉片展向70%和90%處連線延伸葉片獲得統(tǒng)一錐度的葉片設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)給出用線性和樣條函數(shù)修正葉片弦長(zhǎng)的方法。文獻(xiàn)也指出，理想葉片的弦長(zhǎng)和扭角沿展向呈非線性變化，葉根處的弦長(zhǎng)及扭角均較大，需要對(duì)弦長(zhǎng)和扭角進(jìn)行修正。應(yīng)用Schmitz 設(shè)計(jì)模型、Glauert 設(shè)計(jì)模型以及Wilson 設(shè)計(jì)模型計(jì)算葉片弦長(zhǎng)時(shí)仍然要用到升力系數(shù)，在葉片弦長(zhǎng)未知時(shí)，升力系數(shù)將無(wú)法確定，只能根據(jù)假設(shè)的雷諾數(shù)和攻角來(lái)確定，或采用理想流體繞流翼型時(shí)的升力系數(shù)。

從實(shí)用的角度出發(fā)，文獻(xiàn) 給出按指數(shù)規(guī)律分布的弦長(zhǎng)計(jì)算式：

給定葉片葉根和葉尖的弦長(zhǎng)后，根據(jù)式（25）可確定系數(shù)b1和指數(shù)b2。以Wilson 設(shè)計(jì)模型為基礎(chǔ)，考慮弦長(zhǎng)修正，確定葉片根部和尖部弦長(zhǎng)后根據(jù)式（25）可獲得具有較好性能的弦長(zhǎng)分布。

圖2　葉片弦長(zhǎng)分布

圖3　葉片扭轉(zhuǎn)角分布

圖4　葉素單元效率

計(jì)算實(shí)例

考慮一小型風(fēng)力機(jī)，風(fēng)力機(jī)功率為10kW，傳動(dòng)裝置效率η=0.8，葉片數(shù)B=3，設(shè)計(jì)風(fēng)速V∞=8m/s，初選風(fēng)能利用系數(shù)CP=0.4。風(fēng)輪直徑，風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速按式（25）、（26）計(jì)算。葉尖：

速比λtip=7，確定葉根弦長(zhǎng)、葉尖弦長(zhǎng)分別為croot=0.65m、ctip=0.25m。葉片斷面翼型選為SG6043翼型。主要計(jì)算步驟如下：

1）應(yīng)用式（25）計(jì)算葉片弦長(zhǎng)分布；

2）采用XFOIL軟件或其它軟件計(jì)算不同雷諾數(shù)、不同攻角下翼型升力系數(shù)和阻力系數(shù)，找出每一雷諾數(shù)下最大升阻比對(duì)應(yīng)的攻角，即αopt=fα（Re，εmax）；

3）應(yīng)用迭代計(jì)算法，初設(shè)軸向誘導(dǎo)因子aold=1/3、切向誘導(dǎo)因子bold=0.1；

4）根據(jù)式（22）、（21）計(jì)算流動(dòng)角和扭轉(zhuǎn)角；

5）根據(jù)式（10）、（11）得出更新的軸向誘導(dǎo)因子anew、切向誘導(dǎo)因子bnew；

6）計(jì)算軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子差值：?a，?b，并判斷差值的絕對(duì)值是否小于給定的誤差限，若滿足則執(zhí)行下一步，否則更新軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子，轉(zhuǎn)第4）步；

7）根據(jù)式（5）、（6）計(jì)算葉素單元效率ηr、當(dāng)?shù)仫L(fēng)能利用系數(shù)dCP，對(duì)dCP積分獲得風(fēng)力機(jī)葉輪的風(fēng)能利用系數(shù)CP。根據(jù)需要也可計(jì)算其他性能參數(shù)。

計(jì)算中，葉尖損失修正因子按文獻(xiàn)給出的公式計(jì)算。葉片弦長(zhǎng)、扭轉(zhuǎn)角、葉素單元效率計(jì)算結(jié)果如圖2-圖4所示。

圖2所示葉片根部位于半徑比r/ R =0.05處，葉片根部與輪轂連接采用圓柱形過(guò)渡。由圖4可以看出，葉素單元效率最大值位于半徑比r/ R =0.8附近，最大值為0.54。葉輪風(fēng)能利用系數(shù)為0.48，按此方法可使風(fēng)輪獲得較高的性能。

結(jié)束語(yǔ)

葉素動(dòng)量理論是風(fēng)力機(jī)葉片設(shè)計(jì)實(shí)用的工程方法。空氣繞流葉片的運(yùn)動(dòng)是具有渦旋的復(fù)雜流動(dòng)，通過(guò)引入軸向誘導(dǎo)因子和切向誘導(dǎo)因子反映氣流沿軸向和切向速度的變化，使基于動(dòng)量守恒原理和氣動(dòng)理論的分析方法成為可能。根據(jù)對(duì)渦流及誘導(dǎo)因子計(jì)算方法的不同形成不同的計(jì)算模型，在應(yīng)用葉素動(dòng)量理論設(shè)計(jì)葉片時(shí)，各種參數(shù)互相影響，但確定葉片各斷面合理的弦長(zhǎng)是設(shè)計(jì)過(guò)程的重要環(huán)節(jié)，考慮到對(duì)理性情況下弦長(zhǎng)的修正，采用多項(xiàng)式或指數(shù)規(guī)律變化的弦長(zhǎng)分布可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程并能獲得較高的風(fēng)能利用系數(shù)。

10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.18.029