鄧援超， 劉　放

(湖北工業(yè)大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

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包裝袋M邊成型過程曲面研究

鄧援超， 劉放

(湖北工業(yè)大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

分析塑編袋M邊成形過程中的曲線和曲面,建立塑編袋在成型過程中的空間曲線及空間曲面的數(shù)學模型。對包裝袋連續(xù)式成形過程進行分析，并得出成型漸變角的變化規(guī)律，從而為M邊成型器的生產(chǎn)制造提供必要的數(shù)學依據(jù)。

M邊成型器；M邊曲面；漸變角；數(shù)學模型

內(nèi)置式插邊成型器廣泛應用于食品、日化、醫(yī)藥、農(nóng)副產(chǎn)品等包裝袋，它是實現(xiàn)帶M邊的包裝袋成型的重要器件。成型器的傳統(tǒng)制造方法是根據(jù)袋子的寬度和折入深度以及一些經(jīng)驗制造出來，沒有統(tǒng)一的理論為基礎。本文通過建立內(nèi)置式成型器的三維數(shù)學模型，并將其應用到數(shù)字化制造中，給出塑編袋連續(xù)式漸變成型數(shù)學模型的計算公式。

1　包裝袋M邊成型器的基本原理

包裝袋插邊成型器如圖1所示。從圖中可見，筒狀包裝袋經(jīng)過內(nèi)置式導向桿由AB邊引至成型器CD邊，沿內(nèi)置式支撐板表面往前輸送，在成型器兩側(cè)邊有插邊輪，支撐板將袋子撐開成四方形，并由插邊輪將方形袋子左右兩側(cè)面沿中間線折入，使左右兩側(cè)折成M字形。成形過程如圖2所示。袋子的成型包括導向段4個空間平面、成型段2個空間平面和4個空間曲面，一共10個面組成。10個面在相應空間上有10條相交曲線。

圖 1　內(nèi)置式M邊成型器模型圖

圖 2　塑編袋成型示意圖

建立如圖3所示的空間坐標系，以ZOY為分界面，將模型分為導向部分和成型部分。Y方向為塑編袋寬度方向，X方向為袋子長度方向，Z軸為袋子的高度方向，由于袋子關于XOZ面對稱，為了節(jié)約分析量，只選取Y≥0的部分進行研究。

圖 3　塑編袋成型模型

2　塑編袋導向段曲面的數(shù)學模型

以Y軸為分界線,在X≤0為袋子成型前的導向部分，主要將筒狀袋子撐開成四方形。如圖4為導向段模型圖，在該區(qū)域內(nèi)共有3個面，即導向上表面CDVU(Σ1)、導向側(cè)面DD′V(Σ2)、導向下表面C′D′UV(Σ3)和2段直線DV(I1)、D′V(I2)，設塑編袋卷料的寬度為L，DD′的高度為a，這兩個參數(shù)由袋子規(guī)格確定，導向段長度為L1。由于袋子在成型過程中，縱向和橫向都不發(fā)生伸長和縮短，所以CD=(L-a)/2。

2.1線段I1、I2的空間方程

圖 4　袋成型導向部分參數(shù)設置圖

DM=λDV(λ∈[0,1])

即

所以線段的

(1)

I2與I1關于XOY面對稱，所以其方程式為：

(2)

2.2空間平面Σ1、Σ2、Σ3的方程

在平面上任取一點T(x,y,z)，由于CT，DC，DV共面，所以

此即

即可以得出平面Σ1的方程：

(3)

平面Σ1與Σ3關于XOY對稱，則其方程式為：

(4)

同理，可求得平面的空間方程式：

(5)

3　成型段曲面的數(shù)學模型

塑編袋成型部分的空間立體圖及所設定的各個參數(shù)見圖5。該區(qū)域內(nèi)包括兩條空間直線DI(I3)、D′I(I4)，一條空間曲線GL(I5)，2個平面成型上表面CDIH(Σ4)、成型下表面C′D′HI(Σ7)，和2個曲面DJLI(Σ5)、D′JLI(Σ6)。其中兩個曲面Σ5、Σ6是成型的關鍵部分，也是本文的主要研究對象。設成型段的長度為L2，HI為成型的終止線，由于袋子在成型過程中在各個方向均不發(fā)生變形，所以塑編袋撐開的高度DG與M邊折入的深度LI相等，即DG=LI， 在DI上任取一點S，并過點S作平面STS′R′R//ZOY，ST與XOY面之間的夾角為α。I點坐標為(L2，(L-a)/2，0)，L點坐標為(L2，(L-a)/2，0)。

圖 5　成型段參數(shù)設置圖

3.1空間直線I3、I4的方程

設點S的坐標(x,y,z),DS與DI共線，因此

DS=λDI(λ∈[0,1])

即

所以的

(6)

I4與I3關于XOY面對稱，即方程為：

(7)

3.2空間平面Σ4、Σ7的方程

由C,D,H三點可以確定平面的方程式，設平面任意一點為M(X,Y,Z)，則有：

此即

所以Σ4的平面方程為

(8)

Σ7與Σ4關于XOY平面對稱，Σ7的平面方程式為

(9)

3.3空間曲線I5的方程

圖 6　M邊成型斷面圖

由于兩側(cè)成型面在空間上是扭曲面，其數(shù)學方程式無法直接求得，所以采用間接的方式。將空間直角坐標系Oxyz進行平移，沿Y軸正向移動(L-a)/2，得到新的坐標系O′x′y′z′,如圖6所示，坐標系的平移公式為：

通過在X軸方向上截面圖可以觀察到側(cè)邊逐漸由垂直漸變成水平，其漸變角度是本文所要討論的重要參數(shù)。截取若干個斷面圖將其重疊到一起(圖7)。

圖 7　漸變角斷面疊加圖

所以有

由此可得出

所以T點在直角坐標系OXYZ中的坐標為：

即T點的坐標關系式為

可以求出成型曲線I5的方程式：

(10)

曲線I5即為橢圓曲線。

3.4空間曲面Σ5、Σ6的方程

在線段ST上取一點P(X1，Y1，Z1)，SP與ST共線，因此

SP=λST

即

所以

(11)

此即為曲面Σ5上任意一點的坐標關系式，將式(11)化簡為曲面Σ5的方程式：

其中

(12)

Σ7與Σ5關于Oxy面對稱，所以Σ7的方程式為：

(13)

4　漸變角度參數(shù)變化關系研究

塑編袋M邊成型數(shù)學模型當中所包含的參數(shù)有：α、a、L1、L2、L。這些參數(shù)當中L、a參數(shù)是根據(jù)產(chǎn)品規(guī)格確定的，其余參數(shù)則要根據(jù)安裝要求在設計過程中確定。這些參數(shù)之間并非完全相互獨立的，其中最為關鍵的參數(shù)是漸變角度α與L2之間的關系。

根據(jù)式(11)的推導公式，可以得出漸變角度α與x之間的關系式：

(14)

(15)

(16)

(17)

在x=0處取得最小值，即為

由以上分析可得出在x=0處的角度變化率為-∞，袋子的成型速度最快，即此處存在著柔性沖擊；在x=0處的角加速度為-∞，袋子在此處存在著剛性沖擊。所以成型器在此處的結(jié)構(gòu)是存在問題的，應該加以優(yōu)化，解決方案是將位于x=0處的交接線用曲線進行代替，由于篇幅有限，優(yōu)化方案不在這里做詳細分析。理論上L2的值越大越好，但成型的長度過大又會導致成型器空間尺寸過大，插邊輪的個數(shù)增加，成型器的制作成本也相應提高。

5　進一步討論

由式(10)、(11)、(12)可以確定成型曲面及曲線在空間中的位置，進而可以得出內(nèi)置支撐板的調(diào)整方向和插邊輪的安裝位置，根據(jù)要求制作的袋子尺寸規(guī)格可以首先確定L和a的數(shù)值，對于不同的袋寬和M邊深度，成型器也要做出相應調(diào)整，所以成型器在設計上可以考慮內(nèi)置支撐板做成寬度和高度可調(diào)整型，插邊輪在Y方向上做成可調(diào)型以滿足M邊深度的變化。

其次，可以根據(jù)導向段的長度來確定插邊輪的個數(shù)，在不同位置的插邊輪直徑以及輪緣形狀。

6　結(jié)束語

1)塑編袋M邊成型數(shù)學模型共由10段不同的空間曲線組成，其中8段為空間直線；

2)塑編袋M邊成型的空間曲面共有10個空間曲面，分為導向段和成型段，其中導向段有4個空間平面；成型段有2個空間平面和4個空間扭曲面。

3)漸變角是M邊成型數(shù)學模型中的重要研究參數(shù)，漸變角的變化規(guī)律由導向段長度L2和x來確定，進而又能夠確定插邊輪的直徑和輪緣形狀。

4)M邊成型曲面、成型曲線都可以用準確的數(shù)學方程式表達，因而可以利用計算機建立其三維模型，進而用現(xiàn)代加工制造技術(shù)來制造。

[1]許林成，彭國勛. 包裝機械 [M] ：長沙：湖南大學出版社，1989.12.

[2]徐紅帥.翻領制袋成型器以直代曲的數(shù)學建模及成型工藝研究 [D].無錫：江南大學，2013.

[3]龔昇.簡明微積分[M].北京:高等教育出版社，2006.

[4]周一屆，蔡和平. 矩形翻領成型器曲面研究[J].包裝工程，2004,25(1)：18-19,26.

[5]朱鼎勛.空間解析幾何學[M].北京:北京師范大學出版社，1985.

[責任編校： 張眾]

Research of the Curved Surface of Packing Bags During M-Brim Forming

DENG Yuanchao, LIU Fang

(SchoolofMechanicalEngineering,HubeiUniversityofTechnology,Wuhan430068,China)

By analyzing the curve and the curved surface of packing bags in M-brim forming process, the mathematical models of the space carve and carve surface during the forming process of packaging bags were brought forward. On the basis of analyzing the continuous forming process of the packaging bags, the variety law of the forming gradient angle was obtained, which provided the mathematical evidence for manufacturing the M-brim shaper.

M-brim shaper; M-brim curved surface; gradient angle; mathematical models

2016-03-07

鄧援超(1963-)， 男， 湖北荊州人，湖北工業(yè)大學教授，研究方向為機械設計及理論

劉放(1991-)，女，湖北宜昌人，湖北工業(yè)大學碩士研究生，研究方向為機械設計及理論

1003-4684(2016)04-0001-04

TB43

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