于正軍

學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的掌握與理解，僅僅依賴于數(shù)量關(guān)系概念表象的清晰認(rèn)知，而不經(jīng)過對(duì)概念本質(zhì)“二次模糊”的“徹悟”過程，一般是不能真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量關(guān)系概念內(nèi)涵與外延的厘清與內(nèi)化的。因?yàn)閷W(xué)生在理解概念內(nèi)涵的過程中其內(nèi)在的思維與外顯的行為會(huì)在“斷裂”與“鏈接”中交替出現(xiàn)，即學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法和解決問題的行為方法會(huì)出現(xiàn)不一致的現(xiàn)象，需要在“二次模糊”的再認(rèn)知過程中走向再度清晰，繼而達(dá)到對(duì)數(shù)量關(guān)系含義的真正掌握和真實(shí)建構(gòu)。

筆者近日聽了蘇教版一年級(jí)下冊(cè)“求兩個(gè)數(shù)相差多少的實(shí)際問題”一課。

紅花片比藍(lán)花片到底多幾個(gè)？始終有學(xué)生用“8+5=13（個(gè)）”的算式進(jìn)行列式解答。不管教師怎么著急，怎么強(qiáng)化，甚至規(guī)定算法，還是有學(xué)生依然如故。學(xué)生為什么會(huì)如此“執(zhí)著”？筆者以為，數(shù)量關(guān)系的概念建構(gòu)需要適時(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“二次模糊”的認(rèn)知過程，使學(xué)生在“初次模糊”中走向概念感知，在“二次模糊”中走向知識(shí)建構(gòu)。

一、知識(shí)建構(gòu)，需在“初次模糊”中激發(fā)思考

在解決問題的過程中，由于低年級(jí)學(xué)生的思維方式以具體的形象思維為主，一旦所求問題中的已知信息過早地清晰化或直觀化，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生通過觀察直接“觸摸”所求問題的結(jié)果，使學(xué)生丟失了必要的數(shù)量關(guān)系分析的過程，阻礙了學(xué)生解決問題過程中的數(shù)學(xué)思考，抑制了學(xué)生應(yīng)有的解題技能的形成。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，當(dāng)學(xué)生初步感知數(shù)量的多少關(guān)系時(shí)，需要呈現(xiàn)給學(xué)生“模糊”的數(shù)學(xué)信息情境，學(xué)生無法直接“觸摸”所求問題的結(jié)果，從而激發(fā)學(xué)生自然地展開數(shù)學(xué)思考，主動(dòng)探究所求問題的思維路徑和解題方法。

課堂上，教師一旦如圖出示：

紅花片比藍(lán)花片多幾個(gè)？學(xué)生很可能會(huì)“無視”教師的“強(qiáng)調(diào)”與“強(qiáng)化”，毅然用“8+5=13（個(gè)）”進(jìn)行解題，并在集體交流時(shí)異口同聲回答“多5個(gè)”。究其原因：（1）學(xué)生用加法算式解答此問題，說明他們還未能體會(huì)到求“兩數(shù)相差問題”的數(shù)量關(guān)系中所蘊(yùn)含的減法意義，對(duì)減法意義的理解只僅僅停留在“去掉”的含義上。因而，此時(shí)學(xué)生對(duì)于兩數(shù)相差關(guān)系不能直接運(yùn)用減法算式進(jìn)行解答，符合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)。（2）學(xué)生在列出“8+5=13（個(gè)）”的基礎(chǔ)上，能異口同聲地回答“多5個(gè)”，是因?yàn)樗麄兺ㄟ^直觀觀察這些擺放整齊、清晰的花片后數(shù)出來的，此時(shí)學(xué)生的思維方式與所求的問題方法路徑是“斷裂”的。即在這一數(shù)學(xué)活動(dòng)中，得出的“多5個(gè)”與“8+5=13（個(gè)）”這個(gè)算式之間沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系，“多5個(gè)”是學(xué)生數(shù)出來的，“8+5=13（個(gè)）”是學(xué)生在得出“多5個(gè)”結(jié)果的基礎(chǔ)上列出的算式。由于此算式的結(jié)果與所求問題的結(jié)果并不對(duì)應(yīng)，學(xué)生的思維路徑和解題方法未能有效“鏈接”，這兩步思路之間沒有必然的因果聯(lián)系。因此，學(xué)生此時(shí)的思緒是無序的，思維是低效的。導(dǎo)致學(xué)生思維如此低效的原因恰恰是教師給予了學(xué)生清晰的花片個(gè)數(shù)，未能激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生有效的數(shù)學(xué)思考。

故而，教師教學(xué)時(shí)，需要呈現(xiàn)給學(xué)生模糊的信息圖，可以不出現(xiàn)具體數(shù)量的花片圖，如下圖。通過觀察，激發(fā)學(xué)生展開有序思考。（1）你能看出是紅花片多還是藍(lán)花片多？是怎么看出來的？（引導(dǎo)學(xué)生說出是比出來的）（2）進(jìn)一步追問：紅花片比藍(lán)花片多多少？（課堂上學(xué)生此時(shí)無語，知道多但無法用語言表達(dá)）（3）進(jìn)一步引導(dǎo)：你能指出多的部分嗎？學(xué)生上黑板指出多的部分后，教師順勢(shì)引導(dǎo)：你能給大家指得明白一點(diǎn)嗎？從哪兒到哪兒是多的部分？為什么這部分就是多的呢？（引導(dǎo)學(xué)生說出另一部分是和藍(lán)花片同樣多的）（4）教師緊接追問：這部分是多的，那另一部分就是……生：和藍(lán)花片同樣多的部分。師：也就是誰的個(gè)數(shù)？生：藍(lán)花片的個(gè)數(shù)。（5）教師趁勢(shì)點(diǎn)撥：要算出紅花片比藍(lán)花片多幾個(gè)，可以從紅花片中把哪一部分去掉？生：左邊部分去掉。師：這部分的個(gè)數(shù)也就是誰的個(gè)數(shù)？生：藍(lán)花片的個(gè)數(shù)。（6）教師引導(dǎo)學(xué)生共同得出結(jié)論：求“紅花片比藍(lán)花片多幾個(gè)”，就是要從紅花片個(gè)數(shù)里去掉藍(lán)花片的個(gè)數(shù)。這樣教師只呈現(xiàn)給學(xué)生模糊的圖形信息，學(xué)生根本無法用具體的數(shù)列出無效算式，而是在教師的引導(dǎo)下展開有效的、積極的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)一步探索“兩數(shù)相差關(guān)系”的數(shù)量概念含義，形成解決此類問題初步的方法模型。

二、知識(shí)建構(gòu)，需在“一度清晰”中引發(fā)認(rèn)知

在知識(shí)建構(gòu)的過程中，學(xué)生的求知欲望將在建立數(shù)量關(guān)系概念表象的基礎(chǔ)上被自然激發(fā)，迫切產(chǎn)生從概念表象走向知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)知渴望。此時(shí)，對(duì)兩數(shù)相差數(shù)量關(guān)系的理解需要從“初次模糊”走向“一度清晰”，讓學(xué)生在清晰的數(shù)量信息中直接感知數(shù)量之間的大小關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相差數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的把握和內(nèi)涵的理解。

學(xué)生在通過自己的觀察和思考后，已經(jīng)初步感知了兩數(shù)相差多少的數(shù)量關(guān)系的含義，關(guān)于兩數(shù)相差多少的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型在他們的腦海里初步建立了，其數(shù)學(xué)概念也得到初步表征。所以，此時(shí)學(xué)生急需知道具體的紅花片和藍(lán)花片的個(gè)數(shù)，以便得到清晰的兩數(shù)相差的結(jié)果，滿足自身的學(xué)習(xí)需求。課堂上，當(dāng)教師順勢(shì)在課件上引出紅花片和藍(lán)花片的清晰實(shí)物圖后，學(xué)生集體興奮起來，爭(zhēng)先恐后搶著列式解答。為了滿足他們的學(xué)習(xí)需求，促進(jìn)全體學(xué)生理解兩數(shù)相差關(guān)系中所蘊(yùn)含的減法的意義，并掌握利用減法算式解決兩數(shù)相差關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，教師通過課件的展示，不斷變化紅花片和藍(lán)花片的個(gè)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行搶答。此時(shí)學(xué)生都是用紅花片的個(gè)數(shù)直接減去藍(lán)花片的個(gè)數(shù)，再?zèng)]有學(xué)生用加法算式列式解答了。這樣從相差關(guān)系的模糊概念中抽象出具體的數(shù)的大小關(guān)系，既順應(yīng)了低年級(jí)學(xué)生“數(shù)數(shù)”的認(rèn)知特點(diǎn)，也符合他們的生理和心理特征，有效促使他們對(duì)兩數(shù)相差關(guān)系的理解由感知走向感悟，在清晰的具體的數(shù)量關(guān)系情境中，感悟到減法算式的結(jié)果所表示的“紅花片比藍(lán)花片多幾個(gè)”的實(shí)際含義，引發(fā)學(xué)生從認(rèn)知模糊走向認(rèn)知清晰，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與學(xué)習(xí)行為的有效統(tǒng)一。

三、知識(shí)建構(gòu)，需在“二次模糊”中生發(fā)技能

學(xué)生的思維經(jīng)歷了從模糊走向清晰的認(rèn)知后，看似在課堂上能夠順利根據(jù)具體的情境信息進(jìn)行列式解答，然而此時(shí)還是有部分學(xué)生的學(xué)習(xí)更多地表現(xiàn)為一種課堂模仿，并未真正達(dá)到理解與內(nèi)化，更未形成相應(yīng)的解決問題的技能。因此，還需要教師再次引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)“二次模糊”的認(rèn)知過程中，深入地理解相差數(shù)量關(guān)系的概念內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生對(duì)兩數(shù)相差關(guān)系結(jié)構(gòu)模型的建構(gòu)，使他們?cè)凇岸文：敝姓媲懈形騼蓴?shù)相差數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征，形成解決此類問題的必要技能。

所以，在利用清晰的花片實(shí)物圖搶答的時(shí)候，為了使學(xué)生在解決問題的過程中，逐步建構(gòu)兩數(shù)相差關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，教師教學(xué)時(shí)要巧妙利用課件隱去具體的、可數(shù)的實(shí)物圖形，只留下一些諸如示意圖、數(shù)學(xué)符號(hào)或語言文字等“模糊信息”，引領(lǐng)學(xué)生在這些“二次模糊信息”中探尋數(shù)量關(guān)系的共性特征，掌握解決問題的基本技能。

例如：

（1）

（2）

（3）哥哥比弟弟大幾歲？

所有這些圖形、符號(hào)以及文字中所隱含的“多與少”“長(zhǎng)與短”“大與小”等相差關(guān)系，都呈現(xiàn)給學(xué)生模糊的信息，而不是具體清晰的數(shù)量個(gè)數(shù)，學(xué)生無法直接“數(shù)數(shù)”“觸摸”兩數(shù)比較的結(jié)果，必須通過列出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式才能得出結(jié)果。因而，學(xué)生在如此“模糊”的信息中，必須尋找題中共同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，探索同類的解題方法的規(guī)律。他們要通過探索明白：要知道“蘋果比梨多幾個(gè)”，就得用蘋果的個(gè)數(shù)減去梨的個(gè)數(shù)；要知道“紅彩帶比綠彩帶長(zhǎng)多少”，就用紅彩帶的長(zhǎng)度減去綠彩帶的長(zhǎng)度；要算出“哥哥比弟弟大幾歲”，就用哥哥的歲數(shù)減去弟弟的歲數(shù)。只有這樣，才能真正在主動(dòng)探索實(shí)際問題中理解相差數(shù)量關(guān)系的含義。教師要促使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)模型，助推學(xué)生解題技能的形成，比如可以引出一些思維的擴(kuò)散題：○比□多幾個(gè)，大數(shù)比小數(shù)大多少，可以怎樣直接列式解答？引導(dǎo)學(xué)生直接列出算式：○-□=（ ），大數(shù)-小數(shù)=（ ）。讓學(xué)生經(jīng)歷了“二次模糊”的探索過程，學(xué)生不僅對(duì)兩數(shù)相差多少的數(shù)量關(guān)系的思考方法以及解題思路有了切身的體驗(yàn)與深刻的理解，而且可以直接用減法算式來表示兩數(shù)相差關(guān)系的意義，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)逐漸從教師反復(fù)灌輸?shù)谋粍?dòng)接受轉(zhuǎn)為自主探索的主動(dòng)內(nèi)化，他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)就會(huì)經(jīng)歷從直觀圖形的感知到符號(hào)語言的抽象過程，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)認(rèn)知的“二次模糊”到數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)“徹悟”。

綜上所述，小學(xué)階段學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握和數(shù)量關(guān)系的理解，并不是在清晰中順利接受，也并非在模糊中被動(dòng)強(qiáng)化，而是需要我們讓數(shù)學(xué)概念在“模糊之模糊”中引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“二次模糊”的認(rèn)知過程。只有這樣，才會(huì)切合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理特征，促進(jìn)他們積極思考、主動(dòng)建構(gòu)，繼而實(shí)現(xiàn)真正的認(rèn)知清晰。endprint