張坤

摘 要：隨機(jī)事件及其概率是概率論中最基本、最重要的內(nèi)容之一，在幾乎所有的教材或教學(xué)參考書(shū)中都會(huì)出現(xiàn)關(guān)于事件的關(guān)系及運(yùn)算、事件概率的性質(zhì)的引入與證明，在教學(xué)過(guò)程中老師雖然都能完整地講解并應(yīng)用舉例，但常會(huì)忽略其中知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和差異，從而導(dǎo)致學(xué)生混淆知識(shí)點(diǎn)并產(chǎn)生錯(cuò)解。通過(guò)對(duì)這幾個(gè)概念的實(shí)例分析和錯(cuò)解根源的追尋，提出了精準(zhǔn)把握隨機(jī)事件及其概率中易混淆的幾個(gè)概念的要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)事件；事件概率；概念；問(wèn)題舉例

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G642.45 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 B 【文章編號(hào)】 1671-8437（2016）01-0004-02

1 問(wèn)題舉例及分析

在隨機(jī)事件及其概率的學(xué)習(xí)中老師和學(xué)生常常會(huì)忽略知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系和差異，從而導(dǎo)致混淆及錯(cuò)解，下面舉例說(shuō)明。

例1 判斷對(duì)錯(cuò)：若P（A）=0，則A是不可能事件。（ ）

分析：雖這是一道判斷題，但在處理過(guò)程中特別容易出錯(cuò)而且還不自知。錯(cuò)誤做法是：若P（A）=0，則A=Φ，即A是不可能事件，此題正確。錯(cuò)誤原因：此題考查的是不可能事件與零概率事件的關(guān)系，學(xué)生將兩者混淆。題目的正確提法應(yīng)該是：由于A是不可能事件即A=Φ，則P（A）=0，也就是說(shuō)不可能事件是事件概率為0的充分非必要條件。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，師生都很難把握這一條性質(zhì)，想要證明以上性質(zhì)的正確性，充分性在概念的講解中已然明顯，但非必要性一定要通過(guò)舉反例進(jìn)行證明，這里給出一個(gè)反例：若X為[0，1]上的均勻分布，令B=″X(qián)在[0，1/2]之間取值則″，C=″X(qián)在[1/2，1]之間取值″，則A=B∩C={X=1/2}，由于均勻分布是連續(xù)型的分布，則隨機(jī)變量取某一個(gè)特定點(diǎn)處的概率恒為0，即P（A）=P{X=1/2}=0，但事件A并不是不可能事件，因?yàn)锳={X=1/2}。

例2 判斷對(duì)錯(cuò)：事件A、B互不相容，則事件A、B相互獨(dú)立。（ ）

分析：這也是一道判斷題，在處理過(guò)程中學(xué)生幾乎不知從何下手，錯(cuò)誤判斷為此題正確。錯(cuò)誤原因：些題考查的是互不相容（互斥）事件與相互獨(dú)立事件的關(guān)系，學(xué)生不能很好的區(qū)分兩者的概念點(diǎn)。題目的正確分析：首先要明確事件A、B互不相容是指A、B不能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=Φ；事件A、B相互獨(dú)立是指A、B的發(fā)生地彼此發(fā)生沒(méi)有影響，即P（AB）=P（A）P（B），從定義上可以看出兩個(gè)概念間彼此是沒(méi)有直接的導(dǎo)出關(guān)系的。如果非要說(shuō)明互不相容與獨(dú)立之間的聯(lián)系，那就是互不相容事件不一定是相互獨(dú)立事件，相互獨(dú)立事件也不一定是互不相容事件。我想可以從以下兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)明：第一，當(dāng)A、B中至少有一個(gè)是不可能事件時(shí)，則A、B互不相容與A、B相互獨(dú)立是等價(jià)的；第二，當(dāng)A、B都不是不可能事件時(shí)，若A、B互不相容，則事件A、B一定不是相互獨(dú)立事件（因?yàn)锳發(fā)生B就不發(fā)生，A對(duì)B的發(fā)生有影響），若A、B為相互獨(dú)立事件，則A、B一定不是互不相容事件（因?yàn)锳對(duì)B的發(fā)生或B對(duì)A的發(fā)生無(wú)影響，故A、B可以同時(shí)發(fā)生）。

2 錯(cuò)解及原因分析

以上是關(guān)于隨機(jī)事件及其概率這一部份的兩個(gè)例子，雖是客觀判斷題，但在實(shí)際教學(xué)中老師和學(xué)生都常常忽略客觀判斷題產(chǎn)生錯(cuò)誤，原因總結(jié)起來(lái)有三個(gè)方面：

第一，對(duì)隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算的概念，對(duì)隨機(jī)事件的概率的定義和性質(zhì)理解不準(zhǔn)確。一般地，隨機(jī)事件間的關(guān)系（類(lèi)比集合間的關(guān)系）有包含、相等和（并）、積（交）、差、互不相容（互斥）、對(duì)立、完備事件組，事件的運(yùn)算規(guī)律有交換律、結(jié)合律、分配律、自反律、對(duì)偶律（De Morgan定理），其中特別要注意差事件，互不相容事件和對(duì)立事件的定義理解。以上兩個(gè)例子都考查了對(duì)互不相容事件的理解，而隨機(jī)事件的概率的定義有兩種，一種是統(tǒng)計(jì)定義，一種是公理化定義，通過(guò)公理化的定義，我們能得到事件概率的幾條性質(zhì)，這些性質(zhì)是解決概率論問(wèn)題的基礎(chǔ)。另外事件的獨(dú)立性是對(duì)隨機(jī)事件中條件概率的一個(gè)有力補(bǔ)充，所以以上概念的精準(zhǔn)理解對(duì)于避免錯(cuò)解尤為重要。

第二，單獨(dú)理解隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算的概念，隨機(jī)事件的概率的定義和性質(zhì)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，要知道隨機(jī)事件及其概率是一個(gè)知識(shí)單元，當(dāng)中的知識(shí)點(diǎn)是有相關(guān)聯(lián)系和差異對(duì)比的，如何將它們進(jìn)行聯(lián)系和對(duì)比理解，這才是知識(shí)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。如以上兩個(gè)例子，我們不僅要做到解題正確，還要認(rèn)識(shí)到錯(cuò)解及問(wèn)題所在。聯(lián)系與對(duì)比理解這一學(xué)習(xí)方法是解決概率論中問(wèn)題的很好方法。

第三，在本專(zhuān)科的概率論學(xué)習(xí)中，大部份教學(xué)的重難點(diǎn)都側(cè)重在理論對(duì)于應(yīng)用的充分理解中，但對(duì)理論本身知識(shí)體系的理解不夠深刻。例如在以上兩個(gè)例子所涉獵的知識(shí)點(diǎn)的考查過(guò)程中，一般都會(huì)偏向?qū)τ诠诺涓判秃蜅l件概率的應(yīng)用（全概率與貝葉斯），所以回歸知識(shí)點(diǎn)本身，正確精準(zhǔn)理解概念和性質(zhì)，再將其應(yīng)用于實(shí)際，這才會(huì)減少錯(cuò)解。

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