蔡 晨，李朝榮，李英姿，王 選

（北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191）

電熱法測(cè)量熱功當(dāng)量實(shí)驗(yàn)的新探究

蔡 晨，李朝榮，李英姿，王 選

（北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191）

提出一種新的實(shí)驗(yàn)方案來處理電熱法測(cè)量熱功當(dāng)量實(shí)驗(yàn)中裝置的散熱問題.采用積分法計(jì)算熱功當(dāng)量，求得的熱功當(dāng)量數(shù)值更加接近理論值，并且一元線性擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)得到的線性關(guān)系非常強(qiáng)烈.

熱功當(dāng)量；散熱系數(shù)；線性回歸；相關(guān)系數(shù)

電熱法測(cè)量熱功當(dāng)量實(shí)驗(yàn)的散熱速率與系統(tǒng)和環(huán)境的溫差有關(guān)，是一個(gè)變化量.目前不同版本的《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》中對(duì)此的處理方法基本都用到了短時(shí)間內(nèi)“差分代替微分近似求得散熱量”的方法［1-5］，這一方法引起的誤差沒有量化估計(jì)，無法得知其對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性影響程度.另一方面，按照我校的做法得到的線性相關(guān)系數(shù)比較低，與大家慣常的認(rèn)識(shí)不相符合，我們的研究正是從改善線性相關(guān)系數(shù)起步的.新方案從實(shí)驗(yàn)原理出發(fā)，采用積分法代替微分法，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中泰勒展開的方法對(duì)公式進(jìn)行近似，由此帶來的誤差可以計(jì)算并控制其在允許范圍內(nèi)，最終獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不僅準(zhǔn)確度高，而且具有理想的線性相關(guān)度.

1 實(shí)驗(yàn)原理與方案

1.1 基本原理

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.給電阻R兩端加上電壓V，在通電t秒時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力作功W=V2t/R.系統(tǒng)吸收的熱量為

式（1）中：c0、c1、c2分別是水、量熱裝置及加熱器的比熱容；m0、m1、m2分別是其相應(yīng)的質(zhì)量；Cm=c0m0+c1m1+c2m2是系統(tǒng)的總熱容；θ0為系統(tǒng)初溫.于是可得熱功當(dāng)量：

若把系統(tǒng)看成是理想絕熱的，即只考慮系統(tǒng)由于通電而升溫，則由式（2）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可以得到溫度變化率所滿足的關(guān)系式為

圖1 熱功當(dāng)量實(shí)驗(yàn)裝置

考慮到通電時(shí)系統(tǒng)吸熱的同時(shí)也向環(huán)境中放熱，根據(jù)牛頓冷卻定律，由于放熱引起的溫度變化率為

式（4）中K為系統(tǒng)的散熱系數(shù).綜合式（3）和式（4），系統(tǒng)溫度的實(shí)際變化率為［5］

求解此一階線性常微分方程，得

另一方面，根據(jù)牛頓冷卻定律dθ/dt= -K（θ-θ環(huán)）測(cè)定散熱系數(shù)K.對(duì)牛頓冷卻定律積分得到

令y=ln（θ-θ環(huán)），x=t，并設(shè)y=a1+b1x，即可通過一元線性擬合計(jì)算出斜率b1，進(jìn)一步得到散熱系數(shù)K=b1.

經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，散熱系數(shù)K的數(shù)值約為10-5數(shù)量級(jí)（參見2.1計(jì)算結(jié)果）.由于K的數(shù)值很小，在一定時(shí)間范圍內(nèi)可以對(duì)式（7）中指數(shù)函數(shù)項(xiàng)e-Kt進(jìn)行泰勒展開并保留前兩項(xiàng)，得

將式（9）代入式（7），并化簡(jiǎn)可得

向?qū)嶒?yàn)裝置中加入一定量的水，并通電加熱，測(cè)量一段時(shí)間內(nèi)溫度θ與時(shí)間t的關(guān)系（注意實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)與環(huán)境的溫差始終保持在牛頓冷卻定律適用范圍內(nèi)）.對(duì)θ與t進(jìn)行一元線性回歸，得到斜率b2=，截距a2=θ0.則有

1.2 誤差分析

下面討論實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)主要的誤差，并控制其在合理范圍內(nèi).

1）泰勒展開帶來的誤差.顯然，總時(shí)間越長(zhǎng)，展開帶來的誤差越大，如圖2，令l1為實(shí)際的θ-t關(guān)系，則近似之后得到的直線為l2，其中，Δθ是時(shí)間為t時(shí)近似帶來的誤差，θ為t時(shí)間內(nèi)溫度的變化.則

圖2 θ-t關(guān)系

假設(shè)l1為一條直線（實(shí)際是弧度極小的曲線），斜率為k，則b2的相對(duì)誤差為

對(duì)式（11）兩邊取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)得

上式中，可由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明K（θ0-θ環(huán)）約為b2的1%，這里僅為近似計(jì)算誤差，所以可以忽略.于是得到

2）溫度計(jì)示值誤差.本實(shí)驗(yàn)使用金屬鉑電阻溫度計(jì)，示值誤差約為0.2℃.t時(shí)刻讀取溫度的相對(duì)誤差為

顯然，σ是一個(gè)關(guān)于t的減函數(shù)，只需令t=0時(shí)，σ＜1%，即可保證任何時(shí)刻溫度讀數(shù)的相對(duì)誤差小于1%.計(jì)算得θ0＞20℃，所以實(shí)驗(yàn)的起始溫度需要在20℃以上.

1.3 誤差分析的驗(yàn)證

用上述實(shí)驗(yàn)中得到的數(shù)據(jù)分別選取不同總時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行一元線性擬合，并由式（11）求得不同總時(shí)長(zhǎng)下的熱功當(dāng)量值J，由此做出熱功當(dāng)量相對(duì)誤差與總測(cè)量時(shí)間的關(guān)系如圖3所示.

由圖3可見，當(dāng)總時(shí)長(zhǎng)小于300 s時(shí)，熱功當(dāng)量的測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值1的相對(duì)誤差較大，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)裝置本身的誤差（溫度計(jì)的示值誤差等）在總時(shí)間過小時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響不可忽略.當(dāng)總時(shí)長(zhǎng)大于500 s時(shí)，熱功當(dāng)量的測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值的誤差隨總時(shí)長(zhǎng)的增加而增加.這與“泰勒展開帶來的實(shí)驗(yàn)誤差隨總時(shí)間的增加而變大”的結(jié)論相一致.當(dāng)總時(shí)間在500 s時(shí)，熱功當(dāng)量的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與準(zhǔn)確值的相對(duì)誤差最小，是最適合在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用的總時(shí)長(zhǎng).由此，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果與理論分析完全一致，從而驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)原理與誤差分析的正確性.

圖3 熱功當(dāng)量測(cè)量值的相對(duì)誤差與總測(cè)量時(shí)間的關(guān)系

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 K值的測(cè)量

向?qū)嶒?yàn)裝置中加入高于環(huán)境溫度（不超過牛頓冷卻定律適用范圍）的一定量的水，在不加熱情況下測(cè)定50 min內(nèi)溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，每5 min記錄一次溫度，并且記錄實(shí)驗(yàn)前后環(huán)境溫度，取平均值作為真正的環(huán)境溫度θ環(huán)，測(cè)量數(shù)據(jù)及部分計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 K值的測(cè)量數(shù)據(jù)

令yi≡ln（θ1i-θ環(huán)）、，xi≡t，進(jìn)行一元線性擬合，得到斜率b1=-8.32×10-5s-1，u（b1）=-0.19×10-5s-1.即有K=-b1=8.32×10-5s-1，u（K）=0.19×10-5s-1.

2.2 熱功當(dāng)量J的測(cè)定

給定值電阻兩端加一定電壓使實(shí)驗(yàn)裝置加熱，每隔30 s記錄一次系統(tǒng)溫度，測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示.

始末環(huán)境溫度求得平均值θ環(huán)=26.898℃、負(fù)載電壓V=39.875 V、電阻阻值R=201.9 Ω、內(nèi)桶質(zhì)量m1=131.33 g、水質(zhì)量m0=218.13 g，內(nèi)桶比熱容c1= 0.389 J/（℃·g）、水比熱容c0=4.18 J/（℃·g）、加熱器熱容c2m2=64.38 J/℃，前已測(cè)得散熱系數(shù)K=8.32×10-5s-1.

表2 熱功當(dāng)量測(cè)量數(shù)據(jù)

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行一元線性回歸，擬合得到斜率b2=0.00742，u（b2）=0.00005；截距a2=29.777，u（a2）=0.015；相關(guān)系數(shù)r=0.9996.將b2、a2值代入式（11），可得熱功當(dāng)量值J=1.0011，相對(duì)誤差η=0.11%.

對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不確定度的分析和計(jì)算.由式（11）可得

其中V、R、Cm、θ環(huán)的誤差均可略，則

所以，熱功當(dāng)量的最終表述為J±u（J）=1.001±0.007.

3 結(jié)論

本文采用“積分法泰勒展開取近似”取代“差分代替微分近似”來修正系統(tǒng)散熱，解決了“差分代替微分是否合理”的爭(zhēng)議.上述方案中，近似帶來的實(shí)驗(yàn)誤差是可以計(jì)算的，并且通過控制總時(shí)間可以把誤差限制在合理范圍內(nèi).

通過泰勒展開可以得到溫度θ與時(shí)間t的線性關(guān)系.利用一元線性回歸擬合線性關(guān)系時(shí)用到多組數(shù)據(jù)，這樣計(jì)算熱功當(dāng)量的實(shí)驗(yàn)方案實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確度更高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加可靠.

［1］《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》編寫組.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008：126-128.

［2］張捷民，劉漢臣.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：科學(xué)出版社，2007：140-141.

［3］代偉，李駿，陳太紅，等.電熱法測(cè)熱功當(dāng)量實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)［J］.西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（1）：95-97.

［4］洪履燊，等.熱功當(dāng)量測(cè)量實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)方法［J］.福州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，35（z1）：106-108.

［5］李朝榮，徐平，等.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)（修訂版）［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010：117-118.

A new exploration in determination of mechanical equivalent of heat by electrothermal method

CAI Chen，LI Chao-rong，LI Ying-zi，WANG Xuan
（School of Physics and Nuclear Energy Engineering，Beihang University，Beijing 100191 China）

A new experimental method is proposed to resolve the heat dissipation problem of the device in determination of mechanical equivalent of heat by electrothermal method.Based on integral method，the result of mechanical equivalent of heat is more close to the theoretical value，and the data exhibits strong linear relationship through simple linear regression.

mechanical equivalent of heat；coefficient of heat transfer；linear regression；correlation coefficient

O 43

A

1000-0712（2016）05-0053-04

2015-10-07；

2015-11-18

蔡晨（1994—），男，河北涿州人，北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院2013級(jí)本科生.