鄉(xiāng)碧云

(順德職業(yè)技術學院，廣東 順德 528300)

齒輪齒條直線運動的線性測量與分析

鄉(xiāng)碧云

(順德職業(yè)技術學院，廣東 順德 528300)

在齒輪傳動機構(gòu)的直線運動研究中，為了測量直線誤差，設計了齒輪齒條的測量平臺；采用伺服電機直接驅(qū)動齒輪在齒條上運動，并以基于運動控制點位運動模式來實現(xiàn)測量間距和待機等控制要求；在齒輪齒條傳動機構(gòu)直線運動的過程中，用激光干涉儀對與齒輪同軸運動的工作臺實際運動位置測量，獲得測量數(shù)據(jù)；用最小二乘法求解線性矛盾方程的方法來構(gòu)造擬合函數(shù)，并將其推廣至任意次和任意多個變量的擬合函數(shù)，使用MATLAB編程求解，獲得與設計數(shù)據(jù)曲線對應的實際數(shù)據(jù)曲線，得出齒輪齒條的線性定位精度和重復精度；這項技術可以推廣到對大多數(shù)的直線運動機構(gòu)來進行線性測量及數(shù)據(jù)分析；也能成為直線運動控制中線性參數(shù)自動補償算法的依據(jù)。

線性測量;激光干涉儀；運動控制器；最小二乘法；擬合函數(shù)

0 引言

在工業(yè)領域中，齒輪齒條傳動機構(gòu)的應用范圍很廣。在一些需要重負荷、高精度、高剛性、高速度、長行程運動控制的機械設備中，常常采用齒輪齒條傳動機構(gòu)應用于快速、精確定位。齒輪齒條傳動機構(gòu)是工業(yè)應用的重要零部件之一。

當前，在大多數(shù)廠家特別小型加工廠，齒輪齒條生產(chǎn)后的產(chǎn)品測量工藝流程里，常見的測量方法是測量人員普測儀器進行打表讀數(shù)，或者做些成型卡規(guī)量度。這樣做法測量精度有限，采用這樣的齒輪齒條的機器運動精度也難保證。為了改善對齒輪齒條的測量方法我們嘗試創(chuàng)新一種齒輪齒條直線運動線性測量及數(shù)據(jù)分析形式。

1 設計測量及分析系統(tǒng)

測量系統(tǒng)設計由測量平臺、運動控制系統(tǒng)[1]、激光干涉儀[2]測量系統(tǒng)組成，如圖1所示。對齒輪齒條的數(shù)據(jù)分析方面，一方面采用Matlab及其仿真軟件對齒輪齒條理想數(shù)據(jù)分析擬合[3]，另一方面，采用激光干涉儀測量并分析實測結(jié)果，最后擬合理想與實測結(jié)果，提出對齒輪齒條運動參數(shù)補償?shù)恼{(diào)整方式。

圖1 測量系統(tǒng)

1.1 測量平臺的搭建

測量平臺由齒輪齒條運動副以及控制齒輪齒條運動的機構(gòu)組成，主要的機械結(jié)構(gòu)[4]如圖2所示。

(1)伺服電機，(2)電機法蘭，(3)連接角鐵， (4) 滑塊墊板，(5)滑塊，(6) 運動機構(gòu)(7)被測齒條，(8)被測齒輪，(9)軸套，(10)帶座軸承，(11)直線導軌(12)聯(lián)軸器，(13)齒輪軸圖2 機械結(jié)構(gòu)

1.2 齒輪齒條節(jié)點數(shù)據(jù)的采集

本次試驗選取的是模數(shù)為1.5，齒數(shù)為30的標準的直齒圓柱齒輪，齒條的模數(shù)也為1.5。如圖3所示為齒輪齒條的節(jié)點數(shù)據(jù)圖，其中A、B、C、D點為齒輪與齒條嚙合運動中的一些節(jié)點。

圖3 齒輪齒條的節(jié)點數(shù)據(jù)圖

齒輪齒條的設計數(shù)據(jù)：

齒距p=4.712 mm，(a為測量點間所取的間距)

(n=1,2,3...)(n<被測齒條的齒數(shù)/a)

An=A+n·(a·p);

Bn=B+n·(a·p);

Cn=C+n·(a·p);

Dn=D+n·(a·p);

以運動控制器控制伺服電機通過傳動軸帶動齒輪在齒條上運動，用激光干涉儀做線性測量，得到齒輪運動的實際數(shù)據(jù)。齒輪運動到A點，停頓，用激光干涉儀測量采集A數(shù)據(jù)；再控制齒輪運動到A1點，停頓，用激光干涉儀測量采集A1數(shù)據(jù)；再到A2點……依此類推，直到測完整條齒條。此為An組的數(shù)據(jù)。

以此方法測量Bn組，Cn組和Dn組的數(shù)據(jù)。選取4節(jié)點測量采集4組實測數(shù)據(jù)。

1.3 激光干涉儀測量軟件數(shù)據(jù)采集與分析操作流程

被測齒輪齒條如圖1安裝在平臺上，調(diào)整時盡可能將齒輪齒條嚙合在理想的分度圓點上，然后架設激光干涉儀，選定幾個齒之間的移動距離作為測量間距，對齒輪齒條的嚙合精度進行線性測量，采集實測數(shù)據(jù)分析可對齒輪齒條進行更高的精度調(diào)試。測量流程圖如圖4所示。

圖4 測量操作流程圖

1.4 運動控制流程

在進行實驗的數(shù)據(jù)測量中，我們需要通過運動控制器做到的控制要求是：通過伺服電機控制齒輪運動到第一個測量點，然后停下，3 s后；電機再啟動，控制齒輪運動到第二個測量點，然后停下，3 s后……依次循環(huán)，直到完成對所有測量點測量。

圖5 運動控制流程圖

2 數(shù)據(jù)分析模型的建立

2.1 解矛盾方程法擬合多變量函數(shù)

采集數(shù)據(jù)完成以后，根據(jù)數(shù)據(jù)擬合運動位置曲線，分析位置誤差。我們通過求解均方誤差極小意義下矛盾方程的解來獲取擬合曲線。

由數(shù)學推導可以證明：方程組AT·AX=ATY的解就是矛盾方程組AX=Y在最小二乘法意義下的解。

(1)

如果擬合函數(shù)有n個自變量并進行一次擬合，則其擬合函數(shù)為：

通過m(m>>n)次試驗，測量得到了m組(yi,x1i,x2i,...,xki,...,x(n-1)i,xni)的實驗數(shù)據(jù)，則可得到上面n個自變量擬合函數(shù)的法方程：

(2)

只要對法方程稍加修改，就可以得到有n個自變量的任意次方的擬合函數(shù)的法方程，通過法方程的求解，就可以得到擬合函數(shù)中的各項系數(shù)。

(3)

2.2 模型的仿真驗證

現(xiàn)利用解矛盾方程的方法，用一次函數(shù)擬合案例中齒輪齒條的理想坐標數(shù)據(jù)An=A+n·(a·p);且a取10，取7次數(shù)據(jù)采集(見圖3)見表1，推薦一種擬合方法。

表1 數(shù)據(jù)采集范例

設擬合函數(shù)曲線為f(x)=a0+a1x形成法方程：

而

ATY==

得到

解得到：a0=1.875，a1=0

f(x)=1.875

2.3 Matlab仿真擬合

在Matlab中運行并繪圖，得出運行結(jié)果與擬合曲線。

3 結(jié)束語

本設計系統(tǒng)對生產(chǎn)出來的直齒圓柱齒輪齒條嚙合運動設計一個測量平臺，用運動控制器控制伺服電機帶動齒輪在齒條上運動，再用激光干涉儀在已選定的一系列節(jié)點處測量齒輪運動的線性度，得到數(shù)據(jù)后再進行數(shù)據(jù)處理，得出齒輪齒條的線性定位精度和重復性，進一步研究可以提出對齒輪齒條運動參數(shù)自動補償?shù)目刂品椒ā?/p>

在這套設備上只要我們稍微修改一下測量平臺上的夾具和裝夾方式，就可以推廣到對大多數(shù)的直線運動機構(gòu)來進行線性測量及數(shù)據(jù)分析，有極大的應用及推廣范圍。

本系統(tǒng)使用了激光干涉儀測量技術，這種測量儀器屬于貴重精密儀器，是普通的企業(yè)不一定能擁有測量技術，因此，還需要進一步的改進。在系統(tǒng)設計方案當中，我們鋪設了一條技術暗線，運動路線放置了光柵尺。如果沒有激光干涉儀，或者不需要測量精度非常高的情況下，就用控制器讀取光柵尺的位置數(shù)據(jù)，取代激光干涉儀測量，這一部分相關技術，是項目實用性有待提高的一個方面。

[1] 固高科技.OtoStudio高級運動控制編程手冊[Z],2010.

[2]RENISHAW. 激光干涉儀原理及應用概述[Z]. 2004.

[3] 百度文庫.線性擬合方法[EB/OL].http://wenku.baidu.com/view/d31c8252b84ae45c3b358c4d.html.

[4] 中國機械工程學會，中國機械設計大典編委會.機械設計手冊[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2007.

Linear Measurement and Analysis of Linear Movement of Gear Rack

Xiang Biyun

(Shunde Polytechnic, Shunde 528300,China)

In the research of the linear motion of the gear drive mechanism, the measuring platform of the gear rack is designed in order to measure the linear error. using servo motor directly drives the gears on the rack. and is based on the motion control PT point mode to realize the measurement of the Measuring distance and standby control requirements etc.In the process of the linear motion of the gear and rack drive mechanism, the measuring data is obtained by using the laser interferometer to measure the position of the actual movement of the gear axis. Using the least square method to solve the linear equations of contradiction, and to extend it to any number of times and arbitrary number of fitting functions, using MATLAB programming to obtain the actual data curve corresponds with design data curve，and the linear positioning accuracy and repeatability of gear and rack。This technology can be extended to linear measurement and data analysis of the majority of linear motion mechanism. It can also be used as the basis for the automatic compensation algorithm of linear motion control.

linear measurement; laser interferometer; motion controller；least square method; fitting function

2015-10-02；

2016-02-24。

順德職業(yè)技術學院創(chuàng)新強校工程“自主創(chuàng)新能力提升”類項目(2015-KJZX051)。

鄉(xiāng)碧云(1964-)，女，廣東四會人，高級工程師，主要從事機電控制系統(tǒng)及自動化技術應用、數(shù)控技術應用方向的研究。

1671-4598(2016)07-0028-03

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.07.008

TP273 文獻標識碼：A