蔡 威，趙新科

(1.空軍第一航空學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南信陽464000；2.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)編輯部，新疆烏魯木齊830046)

Tao在[1]中證明了一些有關(guān)矩陣的奇異值不等式.Nelson在文獻(xiàn)[2]中建立了可測(cè)算子和可測(cè)算子拓?fù)涞母拍畈⒆C明了可測(cè)算子集合依此拓?fù)錁?gòu)成完備的拓?fù)??代數(shù).Fack和Kosaki在文獻(xiàn)[3]中系統(tǒng)的研究了可測(cè)算子廣義奇異值并給出了可測(cè)算子廣義奇異值的一些重要性質(zhì).本文將利用這些廣義奇異值的性質(zhì)把文獻(xiàn)[1]中有關(guān)矩陣奇異值的不等式推廣到了可測(cè)算子的情形.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

在本文中,我們以M來表示希爾伯特空間H上的半有限von Neumann代數(shù),τ為M上正規(guī)的忠實(shí)的半有限跡.以B(M)表示希爾伯特空間H上所有的有界線性算子組成的集合,設(shè)T為H上閉稠定線性算子,定義域記為D(T),稱T是附屬于M的,若對(duì)M0={A∈B(H):AB=BA,?B∈M}中的每一個(gè)酉算子U,有等式U?TU=T成立.設(shè)T是重屬于M的,稱T為可測(cè)算子,如果對(duì)于?ε>0,存在M中的投影算子E使得E(H)?D(T),且τ(1?E)≤ε.我們用L0(M)表示所有可測(cè)算子組成的集合.L0(M)中的和與積定義為代數(shù)和與積的閉包.對(duì)任意的ε,δ>0,令

以集族{N(ε,δ);ε,δ>0}為0點(diǎn)的基,L0(M)成為Hausdorff拓?fù)淇臻g,并且是一個(gè)完備的拓?fù)??代數(shù)(見[2,4]).設(shè)T是可測(cè)算子,定義T的分布函數(shù)為:λt(T)=τ(E(t,∞)(|T|)),t≥0,其中E(t,∞)(|T|)是|T|在區(qū)間(t,∞)上的譜投影.

定義1設(shè)T是可測(cè)算子,t≥0,我們定義T的廣義奇異值μt(T)為

當(dāng)T為正可測(cè)算子時(shí),μt(T)有下面的描述

更多的有關(guān)可測(cè)算子的廣義奇異值的結(jié)論參見文獻(xiàn)[3].

設(shè)M為H上的半有限von Neumann代數(shù),τ是M上正規(guī)的忠實(shí)的半有限跡.以M2(M)表示,由形如

的元素組成的線性空間.令H2=HLH,并在H2上定義內(nèi)積如下

則H2為希爾伯特空間且M2(M)?B(H2),進(jìn)而有M2(M)是H2上的一個(gè)von Neumann代數(shù).設(shè)A∈M2(M),則τ2為M2(M)上正規(guī)的忠實(shí)的半有限跡.我們以L0(M2(M))來表示所有與M2(M)對(duì)應(yīng)的可測(cè)算子組成的集合,以Xi表示H2上以Xi為對(duì)角線元素的對(duì)角型算子.

2 主要結(jié)論

命題1設(shè)K∈L(M),

證明

因此

從而

另一方面,

同樣的討論可得

因此,由文獻(xiàn)[5]中的命題3可得

引理1令A(yù),B,K∈L0(M).如果H⊕H上的算子

證明

令N=N+?N?為N的Jordan分解.由文獻(xiàn)[6]中的引理6可得

再應(yīng)用文獻(xiàn)[7]中的定理6可知μt(N)=μt(N+?N?)≤μt(N+⊕N?),t>0.進(jìn)而,由文獻(xiàn)[8]中的命題2.5可得

故,應(yīng)用命題1可得

推論1設(shè)A,B∈L0(M)+,則

證明

另外,我們注意到,

應(yīng)用引理1可知結(jié)論成立.

定理1設(shè)A,B∈L0(M)+,則

證明

應(yīng)用引理1可得

由(A?B)2≥0,可知(A+B)2≤2(A2+B2).因此

引理2設(shè)Ai∈L0(M),i=1,2,3,4,則

證明

再應(yīng)用文獻(xiàn)[9]中的命題1(vi)可得

又因?yàn)?/p>

所以

故結(jié)論成立.

定理2設(shè)A,B∈L0(M)+且f,g是[0,∞)上滿足f(t)g(t)=t的非負(fù)連續(xù)函數(shù),則對(duì)于t>0有

證明在引理2中取A1=f(A),A2=g(A),A3=g(B),A4=f(B)可得

因此

注意到,若K是自伴算子,則±K≤|K|.應(yīng)用此結(jié)論可得

再結(jié)合不等式(1)可知結(jié)論成立.

引理3設(shè)A,B∈L0(M)+且非負(fù)函數(shù)f是[0,∞)上的算子單調(diào)函數(shù),則

證明由于f是[0,∞)上的算子單調(diào)函數(shù),因此f是[0,∞)上的算子凹函數(shù).進(jìn)而是算子凸函數(shù).因此

應(yīng)用f的凹性可得再結(jié)合上面的不等式可得

由引理3可以得到下面的命題.

命題2設(shè)A,B∈L0(M)+且f是[0,∞)上的算子單調(diào)函數(shù),則

定理3設(shè)A,B∈S(M)+={A∈M+:τ(|A|)<∞},則μt(AsB1?s+A1?sBs)≤μt(A+B),t>0,0≤s≤1.

證明令f(t)=tr,0≤r≤1,則f為[0,∞)上的算子單調(diào)函數(shù).由A,B∈S(M)+及命題2可再應(yīng)用文獻(xiàn)[10]中的引理2和文獻(xiàn)[8]中的命題2.5可得