盧成嫻

當(dāng)2016年的高考落下帷幕，浙江學(xué)子，將要迎來(lái)新一輪政策改革下的高考.今年，作為2009年新課改以來(lái)的最后一次出卷，其命題重點(diǎn)與方向?qū)酉聛?lái)的新高考還是有一定的導(dǎo)向作用的.總體上來(lái)說(shuō)，今年高考依舊保持原先“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的鮮明特色，在考查學(xué)生高中數(shù)學(xué)的基本技能上更加兼顧能力的區(qū)分，這也是順應(yīng)今后的高考命題趨勢(shì).這次高考之所以學(xué)生普遍反映難度加大，主要是因?yàn)轭}目越來(lái)越新穎，對(duì)于習(xí)慣題海戰(zhàn)術(shù)的學(xué)生感覺(jué)一下子難以入手.今年的數(shù)學(xué)高考，似乎與“絕對(duì)值”結(jié)下了“不解之緣”，特別是在區(qū)分學(xué)生能力的最后幾道題中，都能看到它的影子.像選擇最后一題，填空最后一題，大題中函數(shù)部分，數(shù)列部分都與絕對(duì)值相關(guān)，而且對(duì)絕對(duì)值的要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于平時(shí)課程中的要求，所以學(xué)生在高考時(shí)難免會(huì)有種措手不及，出現(xiàn)無(wú)從下手的情況.以下是筆者整理的2016年浙江高考試題，希望與大家一同探討.

1試題分析與解答

例1（2016年浙江高考理科第8題）：已知實(shí)數(shù)a，b，c

A. 若a2+b+c+a+b2+c≤1，則a2+b2+c2<100.

B. 若a2+b+c+a2+b-c≤1，則a2+b2+c2<100.

C. 若a+b+c2+a+b-c2≤1，則a2+b2+c2<100.

D. 若a2+b+c+a+b2-c≤1，則a2+b2+c2<100.

分析此題考查的是學(xué)生對(duì)變量的分析能力與估算能力.很多考生初讀題目后認(rèn)為此題與絕對(duì)值有關(guān)，絞盡腦汁想往絕對(duì)值計(jì)算方面靠，結(jié)果鉆進(jìn)了死胡同.其實(shí)仔細(xì)分析后不難發(fā)現(xiàn)，此題與絕對(duì)值沒(méi)有太大的關(guān)系.從題干中可以看出，a，b，c的取值及關(guān)系沒(méi)有任何明顯的限制條件，所以想要通過(guò)正面推導(dǎo)將兩個(gè)看似不相關(guān)的不等式結(jié)合在一起，其實(shí)是不可能的，這也違背了出題者的本意.既然是選擇題，那就應(yīng)該換種思路，可以利用排除法進(jìn)行篩選，根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中a，b，c的地位關(guān)系，給a，b，c賦予合適的值.此題作為選擇題的最后一題，有一定的迷惑性與靈活性，對(duì)考生的思維能力提出了較高的要求，有一定的區(qū)分度，實(shí)為一道好題！

解

A.取a=b=10，c=-110，則a2+b2+c2>100，排除此選項(xiàng)；

B.取a=10，b=-100，c=0，則a2+b2+c2>100，排除此選項(xiàng)；

C.取a=100，b=-100，c=0，則a2+b2+c2>100，排除此選項(xiàng)；

故本題答案選D.

例2（2016年浙江高考理科第15題）： 已知向量a，b，a=1，b=2，若對(duì)任意單位向量e，均有a·e+b·e≤6，則a·b的最大值是.

分析本題主要考查向量的計(jì)算與絕對(duì)值不等式的結(jié)合.考生首先要明確題中的絕對(duì)值并非真正意義上的絕對(duì)值，而是代表向量的模長(zhǎng)；其次，如何運(yùn)用題干中的不等式是本題的關(guān)鍵，從解題思路角度，其難點(diǎn)在于能否想到運(yùn)用絕對(duì)值不等式a+b≤a+b.值得注意的是，本題其實(shí)一題多解.此題的設(shè)置，不僅全方位考查了考生向量、不等式等內(nèi)容的掌握程度，從深層次上來(lái)說(shuō)，還鍛煉了考生思維的廣闊性與獨(dú)創(chuàng)性.考生亦可采用坐標(biāo)法，建立直角坐標(biāo)系，對(duì)a，b設(shè)置合適的坐標(biāo)，將向量模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為到原點(diǎn)的距離，進(jìn)行純代數(shù)計(jì)算解答，不過(guò)運(yùn)算量與幾何法相比較大.筆者下面介紹兩種幾何法的解題思路.

解由絕對(duì)值不等式可知（a+b）·e=a·e+b·e≤a·e+b·e≤6，

所以a+b≤6.

法一： 兩邊平方：a2+b2+2a·b≤6.

即 a·b≤12.

所以本題答案為12.

法二：因?yàn)閍+b2+a-b2=2（a2+b2）=10.

所以a·b=14（a+b2-a-b2）=14（2a+b2-10）≤12.

例3（2016年浙江高考理科第18題第1小題）：

已知a≥3，函數(shù)F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p， p≤q，

qp≥q.

求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

分析此題是一道常規(guī)的含參二次函數(shù)的討論問(wèn)題，此題型學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練中較常遇到.考查的是學(xué)生對(duì)絕對(duì)值含義的理解，即去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)需討論絕對(duì)值內(nèi)部符號(hào)情況，此為解決絕對(duì)值問(wèn)題的常見方法.由于本題難度不是很大，思路也較簡(jiǎn)單，筆者就選擇第一小題進(jìn)行分析.第一小題是含有絕對(duì)值的函數(shù)自變量的取值問(wèn)題，因此考生要討論區(qū)間端點(diǎn)的取值情況.對(duì)于這種分類討論的題目，關(guān)鍵是不要遺漏討論的情況，另外考生最后總結(jié)答案的時(shí)候要注意集合的交與并運(yùn)算，只要細(xì)心解答，一般都能得出正確結(jié)果.從這道題可以看出，高考并非所有都是難題，平時(shí)應(yīng)打好基礎(chǔ)，掌握通法通解，這才是根本.

解要使F（x）=x2-2ax+4a-2，則x2-2ax+4a-2≤2|x-1|.

①當(dāng)x≥1時(shí)，此時(shí)不等式可化為x2-（2a+2）x+4a≤0，

即（x-2a）（x-2）≤0，又因?yàn)閍≥3，

所以2≤x≤2a.

②當(dāng)x<1時(shí)，此時(shí)可化為x2+（2-2a）x+4a-4≤0.

函數(shù)y=x2+（2-2a）x+4a-4的對(duì)稱軸為x=a-1>1，開口向上，y在x=1處取得最小值2a-1>0，所以方程無(wú)解.

綜上，x的取值范圍為[2，2a].

例4（2016年浙江高考理科第20題）：設(shè)數(shù)列{an}滿足an-an+12≤1，n∈N*.

（1）求證：|an|≥2n-1（a1-2），n∈N*；

（2）若|an|≤（32）n，n∈N*，證明：|an|≤2，n∈N*.

分析此題為絕對(duì)值與數(shù)列的結(jié)合，已知條件為一個(gè)不等式，要證明的兩個(gè)問(wèn)題也是不等式，整個(gè)問(wèn)題也沒(méi)有出現(xiàn)任何具體數(shù)值，因此考生在理解時(shí)會(huì)覺(jué)得比較抽象，一時(shí)無(wú)從下手也是正常的.對(duì)于這種抽象的數(shù)列難題，考生不妨先按照題意列舉前面幾項(xiàng)，試著去尋找各項(xiàng)之間的關(guān)系；也可觀察條件與需要證明的結(jié)論之間的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論之間的橋梁，嘗試推導(dǎo).像本題，如果單獨(dú)羅列數(shù)列的前幾項(xiàng)，很難找到他們之間的關(guān)系.觀察結(jié)論中出現(xiàn)的2n-1，可以先對(duì)已知條件做個(gè)簡(jiǎn)單的變形，再利用上面的思路將前幾項(xiàng)展開，累加后運(yùn)用絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮即可.本題難度較大，主要是為了拉開考生之間的差距，因此對(duì)考生的綜合運(yùn)用能力提出了較高的要求.

證明（1）由題目，可得

an+12n+1-an2n≤12n，n=1，2，3，…

累加后利用絕對(duì)值不等式an2n-a12≤1-12n-1，n=1，2，3，…

再利用絕對(duì)值不等式可得a12-|an|2n≤1-12n-1，

即|an|≥2n-1（a1-2），n∈N*.

（2）由（1）可得m>n，均有an2n-am2m≤12n-1，

故an≤（12n-1+am2m）·2n≤12n-1+12m（32）m·2n=2+（34）m·2n

由m的任意性可知|an|≤2，n∈N*.

2解后總結(jié)及反思

浙江數(shù)學(xué)高考始終是“在平凡中見真奇，在樸實(shí)中考素養(yǎng)”，知識(shí)覆蓋廣，解題靈活，難度梯度遞進(jìn)，既考慮到大多數(shù)普通學(xué)生的知識(shí)水平，又能達(dá)到選拔人才的目的.

僅以本文中分析的“絕對(duì)值”這一知識(shí)點(diǎn)為例，像第18題就是考查絕對(duì)值的基本概念，考生根據(jù)平時(shí)解題經(jīng)驗(yàn)，去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)分類討論符號(hào)情況即可，屬于常規(guī)題；第20題則主要考查絕對(duì)值不等式的放縮方法，如何對(duì)已知不等式進(jìn)行放縮，一般不易構(gòu)造，因此難度大大增加.此外，同樣都涉及到絕對(duì)值不等式，但側(cè)重點(diǎn)不同，難度也不同.像填空第15題側(cè)重點(diǎn)是向量計(jì)算，加上題目有比較明顯的暗示，所以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生一般能解答出來(lái)；但第20題則側(cè)重抽象數(shù)列的證明，涉及到對(duì)本質(zhì)問(wèn)題的理解，所以此題讓多數(shù)考生手足無(wú)措.另外，為了考查學(xué)生思維的靈活性，很多題目都是“徒有虛表”，以選擇題第8題為例，就是披著絕對(duì)值“外衣”，實(shí)則求解過(guò)程中與絕對(duì)值無(wú)關(guān)，這就需要考生懂得靈活變通了.

結(jié)合上述分析及今年高考的命題情況，筆者認(rèn)為在今后的絕對(duì)值教學(xué)方面應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面.

2.1重視基礎(chǔ)，注重新舊知識(shí)的銜接

雖說(shuō)高考是選拔性考試，但大部分題目還是比較基礎(chǔ)的，所以，對(duì)于絕對(duì)值內(nèi)容部分，教師應(yīng)將絕對(duì)值的概念、幾何含義、絕對(duì)值不等式等基本知識(shí)作為教學(xué)重點(diǎn)，絕對(duì)值的應(yīng)用作為教學(xué)難點(diǎn).在新課備課時(shí)，教師可以從以下兩方面入手：一方面，從學(xué)生的認(rèn)知學(xué)習(xí)規(guī)律來(lái)講，可以從學(xué)生初中所學(xué)的絕對(duì)值內(nèi)容逐步過(guò)渡到高中的新內(nèi)容；另一方面，在講解時(shí)可以運(yùn)用函數(shù)、向量等其他方面的知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整連貫的知識(shí)體系.例如在介紹絕對(duì)值不等式時(shí)，教師可以從向量的模長(zhǎng)與構(gòu)成三角形條件的角度幫助學(xué)生理解.此外，絕對(duì)值新課內(nèi)容結(jié)束后，教師可以選擇一些模擬考經(jīng)典題型作為例題進(jìn)行講解，特別是絕對(duì)值與初等函數(shù)所構(gòu)成的綜合題，由于此類題綜合性較高且在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)，又涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論這些基本數(shù)學(xué)思想，因此教師應(yīng)將此類常規(guī)綜合題的訓(xùn)練作為重點(diǎn).對(duì)于練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)題，應(yīng)督促學(xué)生及時(shí)整理，可以在解題過(guò)程中注明解答思路與方法便于復(fù)習(xí)，確保大部分學(xué)生能夠掌握解題的通法通解.

2.2提升能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

由于“絕對(duì)值問(wèn)題”的綜合題在題型上越來(lái)越新穎，而且方法靈活多變，不易掌握，像絕對(duì)值不等式放縮等數(shù)學(xué)思想在理解上有一定的難度，筆者認(rèn)為教師應(yīng)當(dāng)將放縮法這些數(shù)學(xué)思想作為教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生了解這些數(shù)學(xué)方法即可，至于課后訓(xùn)練，教師可以針對(duì)自己班級(jí)學(xué)生情況，適當(dāng)安排題目練習(xí)，活躍學(xué)生的思維.高考數(shù)學(xué)難題，歸根結(jié)底是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查，除了絕對(duì)值這塊內(nèi)容，教師更應(yīng)在平時(shí)教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的思維，課后可以偶爾安排一些一題多解的題目，啟發(fā)學(xué)生思維，也可尋找一些靈活精妙的解題方法供學(xué)生“欣賞”，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣.