張佳康+陳家璧+魏葉飛+項(xiàng)華中+朱天鳳

摘要：

針對(duì)內(nèi)漸進(jìn)鏡片在加工過程中出現(xiàn)過切的情況，提出一種判斷方法。該方法使用雙三次樣條曲面參數(shù)方程計(jì)算自由曲面各點(diǎn)曲率半徑最小值，通過三維軟件對(duì)曲面曲率半徑進(jìn)行計(jì)算，研究鏡片在機(jī)床上實(shí)現(xiàn)加工的判據(jù)。由分析和計(jì)算表明，若曲面加工范圍內(nèi)存在某些點(diǎn)的曲率半徑小于給定的機(jī)床刀具半徑，則機(jī)床無法加工內(nèi)漸進(jìn)鏡片的曲面。

關(guān)鍵詞：

內(nèi)漸進(jìn)鏡片； 自由曲面； 加工； 過切； 曲面曲率半徑

中圖分類號(hào)： TH 741文獻(xiàn)標(biāo)志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2016.04.010

Abstract：

Some progressive addition lenses are over cut during the processing.This paper proposes a method.It obtains the least value of the surface curvature radius of the free surface by calculating the parametric equation of the double three spline surface.The least value of the surface curvature radius is calculated by a 3D software.We study the reason of lenses why it can be processed.The result indicates that if the surface curvature radius of some points is less than the radius of machine tool，the surface can not be processed.

Keywords：

interior progressive addition lenses； free-form surface； process； over-cutting； surface curvature radius

引言

由于漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片能兼顧遠(yuǎn)用和近用，為近視和遠(yuǎn)視人群提供了從視遠(yuǎn)到視近連續(xù)清晰的視覺體驗(yàn)，因而受到人們的歡迎。國內(nèi)外研究主要是集中在鏡片的設(shè)計(jì)、加工過程。Hsu等[1]介紹一種內(nèi)漸進(jìn)自由曲面的設(shè)計(jì)加工，包括B樣條的描述和它的優(yōu)化，通過注塑的方式加工漸近多焦點(diǎn)鏡片。Pope[2]介紹了漸進(jìn)片的歷史，設(shè)計(jì)，配戴者的舒適度以及發(fā)展趨勢。Raasch等[3]介紹了一種用澤尼克多項(xiàng)式來表征和比較鏡片的曲面方法，此方法相對(duì)于傳統(tǒng)的方法更為高效。Wang等[4]介紹了使用一種特殊的樣條函數(shù)計(jì)算方法，來選擇漸進(jìn)片曲面的平滑性。Allione [5]介紹了一種漸進(jìn)片加工過程中計(jì)算定制漸進(jìn)片曲面的方法。Kong等[6]具體介紹了一種加工漸進(jìn)鏡片的加工方法，包括加工過程、加工路徑、加工刀具等。Wang等[7]對(duì)復(fù)雜光學(xué)曲面加工過程中刀具路徑的問題進(jìn)行了探討。秦琳玲等[8]介紹了內(nèi)漸進(jìn)片的加工工序及分析了加工結(jié)果。目前，針對(duì)內(nèi)漸進(jìn)片加工過程中，一些鏡片為何不能加工的問題還缺乏相關(guān)研究。本文利用MATLAB和三維軟件對(duì)可以加工的自由曲面以及不可加工的自由曲面進(jìn)行分析比較，從過切的角度解釋這些鏡片不能被機(jī)床加工的原因。

1內(nèi)漸進(jìn)片過切現(xiàn)象產(chǎn)生的原因

過切[9]現(xiàn)象是指在加工過程中出現(xiàn)的一種過量切削現(xiàn)象，通常是由刀具軌跡處理不當(dāng)或者工藝編制不當(dāng)?shù)仍蛞?，造成過切的原因一般有以下幾種：

（1）加工的圓弧半徑小于刀具的半徑時(shí)產(chǎn)生的過切。如圖1（a）所示，在加工內(nèi)輪廓圓弧時(shí)，因圓弧的半徑小于刀具半徑使工件產(chǎn)生過切。

（2）在棱角處加工產(chǎn)生過切。如圖1（b）所示，在數(shù)控加工過程中，若工件上有棱角出現(xiàn)，此時(shí)若沒有考慮刀具半徑和走刀路徑的匹配關(guān)系，就會(huì)導(dǎo)致過切（圖中陰影部分）。

（3）加工的溝槽寬度小于刀具直徑時(shí)引起的過切。如圖2所示，被加工的凹槽底部寬度小于刀具直徑時(shí)，在啟動(dòng)刀具半徑補(bǔ)償功能時(shí)，刀具中心軌跡為ABCD，在B、C處會(huì)出現(xiàn)過切區(qū)域（圖2中陰影部分）。

（4） 復(fù)雜曲面加工時(shí)刀具旋轉(zhuǎn)角度、刀軸矢量等設(shè)置不當(dāng)引起的過切。加工復(fù)雜曲面時(shí)，刀軸矢量設(shè)置不合理，導(dǎo)致刀具在加工時(shí)切削到已經(jīng)加工完成的曲面。

2內(nèi)漸進(jìn)片加工中過切判據(jù)的研究

本文所研究的自由曲面是由一些離散的點(diǎn)陣插值而成，目的為計(jì)算該自由曲面各點(diǎn)處的曲率半徑值，通過比較曲率半徑和刀具半徑找出過切的相關(guān)原因。當(dāng)加工自由曲面的機(jī)床走刀路徑和刀軸矢量固定時(shí)，自由曲面上各點(diǎn)處曲率半徑值小于刀具半徑值是產(chǎn)生過切的主要原因，需要計(jì)算插值而成的雙三次樣條曲面各點(diǎn)處的曲率。

2.1參數(shù)雙三次樣條曲面的構(gòu)造方法

離散點(diǎn)曲率的計(jì)算方法[10]主要分為兩種：（1）離散法，主要從曲面曲率定義出發(fā)直接用離散點(diǎn)近似計(jì)算出各點(diǎn)處的曲率；（2）擬合法，計(jì)算局部點(diǎn)云擬合曲面的函數(shù)，通過擬合所得的曲面表達(dá)式計(jì)算曲面上各點(diǎn)的主曲率。

本文采用的是擬合法，將給定的點(diǎn)陣分割為多個(gè)小的矩形曲面片，求得每個(gè)曲面片的曲面表達(dá)式，用曲面表達(dá)式計(jì)算出曲面上各點(diǎn)的主曲率。

用于曲面造型的最簡單數(shù)學(xué)元素是曲面片，它是構(gòu)造曲面的基本元素[11]，以u(píng)和w為參數(shù)，用P（u，w）表示矩形曲面片。其曲面的參數(shù)表達(dá)式為：

B矩陣為幾何系數(shù)矩陣，不同曲面其幾何系數(shù)矩陣不同，B矩陣包含了一個(gè)曲面片的基本信息[12]，其他的矩陣是相同的。

B矩陣左上角的四個(gè)矢量p00，p01，p10，p11代表曲面片的四個(gè)角點(diǎn)位置信息，右上角四個(gè)矢量pw00，pw01，pw10，pw11代表角點(diǎn)處關(guān)于w 的切矢或一階偏導(dǎo)，左下角四個(gè)矢量pu00，pu01，pu10，pu11代表角點(diǎn)處關(guān)于u的切矢或一階偏導(dǎo)，右下角四個(gè)矢量puw00，puw01，puw10，puw11代表角點(diǎn)處的扭矢或混合偏導(dǎo)數(shù)[13]。其中前三組信息完全決定了四條邊界曲線的位置和形狀（見圖3），第四組角點(diǎn)扭矢與邊界形狀無關(guān)，它反映了曲面的凹凸程度，幾何上則反映了角點(diǎn)附近w向切矢沿u向的變化率或u向切矢沿w向的變化率。

雙三次樣條曲面是上面曲面片的推廣，對(duì)給定呈矩形排列的點(diǎn)陣pij（i=0，1，…，m；j=0，1，…，n），ui（i=0，1，…，m）為pij的u向坐標(biāo)，wj（j=0，1，…，n）為pij的w向坐標(biāo)，其中u0

圖4列出的是一個(gè)m行n列的點(diǎn)陣，表中粗線方框內(nèi)為各個(gè)點(diǎn)的位置向量，表中四個(gè)角細(xì)線方框?yàn)辄c(diǎn)陣四個(gè)角點(diǎn)p00，p0npm0，pmn處的扭矢，其余為點(diǎn)陣四條邊界處點(diǎn)的切矢[14]。

對(duì)點(diǎn)陣作相應(yīng)的分割，生成沿兩個(gè)參數(shù)都達(dá)到C2連續(xù)的雙三次樣條曲面。分割后每張曲面片的表示方法與式（2）相同，可得到如下構(gòu)造步驟：

（1） 計(jì)算點(diǎn)陣內(nèi)部所有點(diǎn)關(guān)于u的切矢。沿表中各列，加上邊界條件pu0j，pumj（j=0，1，…，n），在u方向上構(gòu)造以u(píng)為參數(shù)的三次樣條曲線，求出所有u向網(wǎng)絡(luò)線上各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上的關(guān)于u的切矢puij。

（2） 計(jì)算點(diǎn)陣內(nèi)部所有點(diǎn)關(guān)于w的切矢。沿表中各行，加上邊界條件pwi0，puin（i=0，1，…，m），在w上構(gòu)造以w為參數(shù)的三次樣條曲線，求出所有w向網(wǎng)絡(luò)線上各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上的關(guān)于u的切矢pwij。

（3） 計(jì)算兩條w邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的扭矢。u=u0，u=um即縱列邊界p0j，pmj（j=0，1…，n），各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為pu0j，pumj，以四角點(diǎn)處的扭矢為端點(diǎn)值構(gòu)造三次樣條曲線。

（4） 計(jì)算點(diǎn)陣內(nèi)部點(diǎn)的扭矢。令w=wj（0≤j≤n）即取點(diǎn)陣中某縱列的點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為pwij，端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為puw0j，puwmj，如步驟（3）中構(gòu)造三次樣條曲線，可計(jì)算出所有內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的扭矢。

（5）將以上步驟求得的切矢和扭矢代入到B矩陣及式（2）的P（u，w）中，可得到每張曲面片的表達(dá)式，即得到所要的三次樣條曲面。

2.2曲面曲率半徑的計(jì)算

由微分幾何[15]知，曲面上一點(diǎn)處有無數(shù)個(gè)包含該點(diǎn)法矢的平面，平面與曲面交線的曲率就是曲面在該點(diǎn)的法曲率，法曲率的極小值和極大值稱為主曲率（本文中所述曲率均指法曲率），此時(shí)平面的方向?yàn)橹鞣较?。記沿主方向的主曲率為KN，由歐拉公式得到的KN滿足如下方程：

式中：E、F、G為曲面的第一基本量；L、M、N為曲面的第二基本量。各量可分別表示為：E=pu·pu，F(xiàn)=pu·pw，G=pw·pw，L=puu·n，M=puw·n，N=pww·n，其中n=（pu×pw）/（|pu×pw|），pu表示點(diǎn)矢p對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)，pw表示p對(duì)w的偏導(dǎo)數(shù)，puu，puw，pww為二階偏導(dǎo)數(shù)。由擬合曲面的每張曲面片的表達(dá)式可求得E、F、G、L、M、N。解出二次方程式（3）即可得到主曲率KN，主曲率較小值即為該點(diǎn)處最小法曲率，最小法曲率半徑為最小法曲率的倒數(shù)。

3曲面曲率半徑的分析

內(nèi)漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片由于其光焦度具有自上而下漸變的特點(diǎn)，表面失去了回轉(zhuǎn)對(duì)稱性，因而是一個(gè)空間自由曲面。自由曲面需要在高精度的自由曲面數(shù)控機(jī)床上經(jīng)過銑磨（粗磨和精磨）或車削以及拋光工序加工而成。采用這種加工方法，鏡片性能不受模具精度和注塑工藝的影響，加工精度高，能滿足不同配戴者不同用途的配戴要求。本文的內(nèi)漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片的加工是在Schneider公司的HSC smart X機(jī)床（丹陽萬新光學(xué)集團(tuán)）上進(jìn)行的。

該機(jī)床的刀具分為粗加工刀具和精加工刀具，其粗加工的刀具半徑為33 mm。本文加工的鏡片毛坯直徑設(shè)定為70 mm，如圖5所示為設(shè)計(jì)的內(nèi)漸進(jìn)片的后表面，使用MATLAB編程得到數(shù)據(jù)并擬合出來的自由曲面。將每個(gè)點(diǎn)以（x，y，z）的形式輸出，保存在文本文件中，UG軟件的點(diǎn)數(shù)據(jù)文件是dat格式，將文本文件后綴名改為dat即可。運(yùn)行UG 6.0軟件，導(dǎo)入dat格式的點(diǎn)數(shù)據(jù)文件，即可得到如圖6（a）所示的點(diǎn)云，通過這些點(diǎn)插值出來的曲面如圖6（b）所示。

3.1對(duì)能加工的鏡片的曲面曲率半徑的分析

利用UG對(duì)曲面離散的點(diǎn)云建模后，運(yùn)用最小半徑命令可得圖7的結(jié)果。圖7所示的曲面是一塊可在機(jī)床上加工的鏡片A，圖中箭頭頭部所指的“+”處即為曲率半徑等于39.9 mm的點(diǎn)，說明在該曲面上其它點(diǎn)曲率半徑均大于39.9 mm，因機(jī)床刀具的曲率半徑為33 mm，所以不會(huì)產(chǎn)生過切，機(jī)床能加工出與設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)一致的曲面。

對(duì)該曲面的曲率半徑作進(jìn)一步分析，可得到如圖8所示的曲率半徑分布云圖。圖8中圓的直徑為70 mm，表示設(shè)定的加工直徑，圖中①區(qū)域表示曲率半徑大于40 mm，即表示加工范圍內(nèi)所有點(diǎn)的曲率半徑均大于40 mm，顯然大于機(jī)床刀具的曲率半徑33 mm。

對(duì)另外一塊可加工的鏡片B分析得到圖9，圖9（a）所示的曲面最小曲率半徑為26.2 mm（箭頭所指處），圖9（b）為該曲面曲率半徑分布云圖，圖中顯示最小曲率半徑小于33 mm的部分在直徑為70 mm的圓之外，而內(nèi)部點(diǎn)的最小曲率半徑均大于33 mm，即該面型數(shù)據(jù)導(dǎo)入機(jī)床時(shí)，在設(shè)定直徑為70 mm的加工范圍內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生過切，機(jī)床能接收并加工該鏡片。

3.2對(duì)不能加工的鏡片的曲面曲率半徑的分析

圖10顯示的是一塊不能被機(jī)床加工的鏡片C，其中（a）為原始圖，（b）、（c）是經(jīng)UG軟件優(yōu)化后得到的圖。比較各圖小圓部分的曲率半徑，發(fā)現(xiàn)其下限值在變小（箭頭所指處的曲率半徑值在變?。瑫r(shí)，小圓區(qū)域內(nèi)部最小曲率半徑小于33 mm的點(diǎn)也在變少，但這些最小曲率半徑小于33 mm的點(diǎn)仍在加工范圍以內(nèi)。

數(shù)控機(jī)床加工中刀具選取的一般原則是刀具的曲率半徑小于曲面的最小曲率半徑。表1為四塊鏡片能否加工對(duì)比表，對(duì)不能在機(jī)床上加工的曲面的曲率半徑分析知，曲面不可加工的原因是在設(shè)定的70 mm加工范圍內(nèi)存在某些點(diǎn)的曲率半徑小于刀具半徑。施耐德機(jī)床在加工時(shí)，判斷的依據(jù)是檢測曲面上在設(shè)定的加工范圍內(nèi)是否有曲率半徑小于刀具曲率半徑，施耐德屬于三軸數(shù)控機(jī)床，其加工路徑固定，故此種判斷過切的方法，對(duì)于漸進(jìn)片自由曲面的加工是一種簡單有效的判斷方法。設(shè)計(jì)的自由曲面不復(fù)雜，因此若設(shè)定加工范圍內(nèi)所有點(diǎn)的曲率半徑均大于刀具曲率半徑即不會(huì)發(fā)生過切。

4結(jié)論

本文通過計(jì)算雙三次曲面的曲面片方程求得曲面上各點(diǎn)的曲率，結(jié)合三維軟件對(duì)曲面進(jìn)行擬合，從過切的角度，對(duì)內(nèi)漸進(jìn)片加工過程中一些鏡片在機(jī)床上不能加工的問題進(jìn)行研究。

施耐德機(jī)床在檢測一個(gè)面型數(shù)據(jù)能否加工時(shí)，是檢測在設(shè)定的加工范圍內(nèi)所有點(diǎn)的最小曲率半徑是否小于刀具曲率半徑，如果存在某些點(diǎn)的最小曲率半徑小于刀具曲率半徑，那么機(jī)床就會(huì)顯示不能加工?？紤]到加工中毛坯的規(guī)格問題，優(yōu)先在鏡片的設(shè)計(jì)上做一些修改，減少設(shè)計(jì)的點(diǎn)矩陣使曲面更加光滑，或者更改設(shè)定的毛坯直徑，使最小曲率半徑值小于33 mm的點(diǎn)在設(shè)定的毛坯直徑之外。

目前對(duì)內(nèi)漸進(jìn)片的研究主要集中在鏡片的設(shè)計(jì)上，對(duì)加工方面的問題鮮有涉及，在實(shí)際加工中出現(xiàn)的鏡片不能加工的原因，從過切的角度進(jìn)行解釋，對(duì)漸進(jìn)片的設(shè)計(jì)有一定的借鑒。對(duì)于漸進(jìn)片的視遠(yuǎn)區(qū)、漸進(jìn)區(qū)、視近區(qū)、像散區(qū)的連接處，在設(shè)計(jì)中可以更改其過渡的方式，通過增大連接處的曲率半徑，使過渡更加平緩。對(duì)于光焦度較大的區(qū)域，可以在設(shè)計(jì)的離散點(diǎn)中剔除一些點(diǎn)，從而使設(shè)計(jì)的平面更加平滑。

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