邱麗玉

福建省莆田第五中學(xué)　(351100)

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對(duì)一道高考解析幾何試題的探究

邱麗玉

福建省莆田第五中學(xué)(351100)

2015年全國高考四川卷(理)題20是：

圖1

這道試題內(nèi)涵豐富，值得探究，不應(yīng)解完即止，可作為探究性學(xué)習(xí)的素材，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，充分挖掘其豐富的內(nèi)涵和潛能.

一、縱向探究：由特殊到一般的探究

由以上探究過程易知，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)n滿足-b

二、橫向探究：由橢圓到雙曲線、拋物線的探究

類似地，容易得到關(guān)于雙曲線的類似性質(zhì)：

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)A和B處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OQA=∠OQB？說明理由.

三、逆向探究：由原命題到逆命題的探究

問題3結(jié)論1.1、2.1、3.1的逆命題是否成立？

易知P為定點(diǎn)(0,n)(0<|n|

類似地，容易得到結(jié)論2.1、3.1的逆命題：

以上引導(dǎo)學(xué)生從縱向、橫向、逆向三個(gè)方面對(duì)上述高考試題進(jìn)行探究，把隱藏在題目背后的問題本質(zhì)進(jìn)行挖掘與拓展，得到了一系列對(duì)學(xué)生來說是全新的結(jié)論.正如著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞所倡導(dǎo)的：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使其通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”.通過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，以及創(chuàng)造性思維能力得到了鍛煉和提高，這正是素質(zhì)教育所要追求的.