白亞軍

甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)　(737200)

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一道課本數(shù)列題解法的探究

白亞軍

甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)(737200)

人教A版《必修5》第二章數(shù)列復(fù)習(xí)參考題B組第6題如下:

已知數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),對于這個(gè)數(shù)列的遞推公式作一研究,能否寫出它的通項(xiàng)公式?

點(diǎn)評:遞推公式是給出數(shù)列的一種常用方法,由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,方法多樣,而本題解析過程是教師教學(xué)用書的解法,下面總結(jié)遞推公式an+2=pan+1+qan(其中p≠0,q≠0的常數(shù))求通項(xiàng)公式的方法,采用構(gòu)造法,轉(zhuǎn)化為新的等差或等比數(shù)列.

下面通過例題對這一問題進(jìn)行具體探究.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)記cn=nanbn(n=1,2,…),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

本文僅對數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的求解作一探討.

點(diǎn)評:轉(zhuǎn)化是求解遞推數(shù)列通項(xiàng)的通性通法,從近年來的高考題中時(shí)有出現(xiàn),因而在教學(xué)中注意對這類問題進(jìn)行歸類解析.

人教A版《必修5》第二章數(shù)列p32閱讀與思考中提到斐波那契數(shù)列,斐波那契數(shù)列是從動物的繁殖問題引出的,滿足的就是遞推公式an+2=pan+1+qan,下面從高等數(shù)學(xué)角度進(jìn)行探究,而構(gòu)造法不再贅述.

例2設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=1,an+1=an+an-1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

經(jīng)計(jì)算An-1=

點(diǎn)評：在日常的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,能夠用高等數(shù)學(xué)的思想和方法去處理的中學(xué)數(shù)學(xué)問題很多,張奠宙教授說過,作為一名數(shù)學(xué)老師,應(yīng)該具有居高臨下的意識,這樣才能真正發(fā)揮其對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用.