張小霞

初中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”部分中“概率”內(nèi)容雖然很少，但也是重要知識(shí)點(diǎn)，是中考的必考內(nèi)容之一.中考中關(guān)于概率試題通常背景新穎，貼近生活，讓人感到真實(shí)親切，體現(xiàn)了概率的應(yīng)用性和趣味性.近幾年來(lái)，中考考題中比較密集的題型有如下這些.

一、計(jì)算概率

例1 （2015·山東泰安）如圖，在方格紙中，隨機(jī)選擇標(biāo)有序號(hào)①②③④⑤中的一個(gè)小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形的概率是（ ）

【分析】隨機(jī)選擇標(biāo)有序號(hào)①②③④⑤中的一個(gè)小正方形涂黑，共有5種等可能的結(jié)果，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形的有3種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】選C.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式P（A）=[mn]求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是要能分清一次試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些等可能的結(jié)果數(shù)n，以及使事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)m.

例2 （2015·安徽）A、B、C三人玩籃球傳球游戲，游戲規(guī)則是：第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B、C兩人中的某一人，以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.

（1）求兩次傳球后，球恰在B手中的概率；

（2）求三次傳球后，球恰在A手中的概率.

【分析】要想準(zhǔn)確地解答本題，我們首先要仔細(xì)地審題，反復(fù)推敲文字表達(dá)的意思，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）游戲分幾步完成；（2）類比“摸球”問(wèn)題，分清每次游戲是“放回”還是“不放回”.若第一次出現(xiàn)的結(jié)果在第二次仍可出現(xiàn)則是“放回”的.若第一次出現(xiàn)的結(jié)果在第二次不能再出現(xiàn)則是“不放回”的.注意本題中的文字信息“每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人”，即意味著“不放回”.

【解答】（1）本題求兩次傳球后，球恰在B手中的概率，即游戲分兩步完成，所以既可以用樹(shù)狀圖法又可以用列表法分析解決.

方法一：樹(shù)狀圖法

兩種方法均可得到4種等可能結(jié)果，而恰好落在B手中只有1種情況，故答案為[14].

（2）本題求三次傳球后，球恰在B手中的概率，即游戲分三步完成，所以只可以用樹(shù)狀圖法解決.

畫樹(shù)狀圖得：

∵共有8種等可能的結(jié)果，三次傳球后，球恰在A手中有2種情況，∴三次傳球后，球恰在A手中的概率為[28]=[14].

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.樹(shù)狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，解題時(shí)要注意分清此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)，并注意概率為所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、利用概率判斷游戲的公平性并設(shè)計(jì)相應(yīng)的游戲規(guī)則

例3 （2015·云南）現(xiàn)有一個(gè)六面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6且質(zhì)地均勻的正方形骰子，另有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的卡片（卡片除數(shù)字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，記下骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字，然后由小王從三張背面朝上放置在桌面上的卡片中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)字.

（1）請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求出骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的概率；

（2）小明和小王做游戲，約定游戲規(guī)則如下：若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7，則小明贏；若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7，則小王贏.你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則公平嗎？如果公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不公平，請(qǐng)你修改游戲規(guī)則，使之公平.

【分析】列舉出所有情況，看向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的情況占總情況的多少即可.

【解答】（1）由樹(shù)狀圖或列表法分析可得：

共18種情況，數(shù)字之積為6的情況數(shù)有3種，∴P（數(shù)字之積為6）=[318]=[16].

（2）該游戲所有可能的結(jié)果共18種，其中骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7的有7種，骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7的有11種，所以小明贏的概率=[718]，小王贏的概率=[1118]，故小王贏的可能性更大，游戲不公平.

修改規(guī)則的方法不唯一，只要使得游戲雙方獲勝的概率相等即可.例如：若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為2，則小明贏，若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為3，則小王贏，否則視為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負(fù)為止.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性與否就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平.這也為制定公平的游戲規(guī)則提供了一種思路和方法.

三、統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的綜合運(yùn)用

例4 （2015·湖北咸寧）某校九年級(jí)兩個(gè)班，各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽(tīng)寫”大賽預(yù)賽.各參賽選手的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100

九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99

通過(guò)整理，得到數(shù)據(jù)分析表如下：

（1）直接寫出表中m、n的值；

（2）依據(jù)數(shù)據(jù)分析表，有人說(shuō)：“最高分在（1）班，（1）班的成績(jī)比（2）班好”，但也有人說(shuō)（2）班的成績(jī)要好，請(qǐng)給出兩條支持九（2）班成績(jī)好的理由；

（3）若從兩班的參賽選手中選四名同學(xué)參加決賽，其中兩個(gè)班的第一名直接進(jìn)入決賽，另外兩個(gè)名額在四個(gè)“98分”的學(xué)生中任選二個(gè)，試求另外兩個(gè)決賽名額落在同一個(gè)班的概率.

【分析】（3）畫樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出另外兩個(gè)決賽名額落在同一個(gè)班的情況數(shù)，即可求出所求的概率.注意：可以用A1，B1表示九（1）班兩名98分的同學(xué)，C2，D2表示九（2）班兩名98分的同學(xué)，可使樹(shù)狀圖較為簡(jiǎn)潔.

【解答】（1）m=94，n=95.5（求中位數(shù)需先排序）；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成績(jī)比九（1）班穩(wěn)定；③九（2）班的成績(jī)集中在中上游，故支持九（2）班成績(jī)好（任意選兩個(gè)即可）；（3）所有等可能的情況有12種，其中另外兩個(gè)決賽名額落在同一個(gè)班的情況有4種，則P （另外兩個(gè)決賽名額落在同一個(gè)班）=[412]=[13].

【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)是概率為所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、概率與多個(gè)知識(shí)的整體考核

例5 （2015·四川）甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，；乙袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字-1，-2，0.現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再?gòu)囊掖须S機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）.

（1）用樹(shù)狀圖或列表法列舉點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y=-x+1的圖像上的概率；

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是2，求過(guò)點(diǎn)M（x，y）能作⊙O的切線的概率.

【分析】（1）用樹(shù)狀圖法（列表法）展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)；

（2）根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，從9個(gè)點(diǎn)中找出滿足條件的點(diǎn)，然后用概率公式計(jì)算；

（3）利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系找出圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，由于過(guò)這些點(diǎn)可作⊙O的切線，則可計(jì)算出過(guò)點(diǎn)M（x，y）能作⊙O的切線的概率.

【解答】（1）共九種等可能結(jié)果（樹(shù)狀圖略）.

（2）共有9種等可能結(jié)果，其中在函數(shù)y=-x+1圖像上的點(diǎn)有2種，故概率為[29].

（3）在⊙O上的點(diǎn)有（0，-2），（2，0），在⊙O外的點(diǎn)有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以過(guò)點(diǎn)M（x，y）能作⊙O的切線的點(diǎn)有5個(gè)，所以過(guò)點(diǎn)M（x，y）能作⊙O的切線的概率=[59].

【點(diǎn)評(píng)】 本題的亮點(diǎn)在于將概率與函數(shù)、圓的知識(shí)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的相互交融，要想順利地解決此類問(wèn)題需要對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握扎實(shí)，才能運(yùn)用自如.

概率是中考命題的重點(diǎn)之一，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、幾何圖形等知識(shí)綜合在一起考查，我們需牢固掌握樹(shù)狀圖（列表）法，利用概率公式解決此類問(wèn)題.題目千變?nèi)f化，需要我們養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，善于總結(jié)歸納，力爭(zhēng)讓自己不斷進(jìn)步.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市梅里中學(xué)）