函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學概念，是變量數(shù)學的基礎，與數(shù)學的其他知識之間有著廣泛而又密切的聯(lián)系，揭示并認識這種內(nèi)在聯(lián)系，對提高分析問題的能力具有重要的意義.所以函數(shù)思想滲透到數(shù)學的各個領域.函數(shù)思想是用運動和變化的觀點，去分析和研究數(shù)學問題的數(shù)量關系.用函數(shù)思想解題，具體表現(xiàn)在兩個方面：一是借助函數(shù)一些性質(zhì)，解有關求值、解（證）不等式、解方程等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構(gòu)造輔助函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關性質(zhì)討論，以達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、以函數(shù)為依托，強化函數(shù)思想在集合問題中的運用

集合與函數(shù)都是數(shù)學中最基本、最重要的概念，它們既有區(qū)別，又有聯(lián)系.用函數(shù)思想解集合問題，不僅能加強知識間的橫向聯(lián)系，還能培養(yǎng)解題能力，提高解題效率.

例1已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，且BA，求實數(shù)a的取值范圍.

解：當B=時，即方程x2-2ax+a+2=0的判別式Δ<0，所以4（a2-a-2）<0，解得-1

當B≠時，設f（x）=x2-2ax+a+2，因為A={x|1≤x≤4}，所以f（x）=0的兩根在區(qū)間[1，4]之間，如圖所示，有：

f（1）=1-2a+a+2≥0，f（4）=16-8a+a+2≥0，Δ=4a2-4（a+2）≥0，1≤--2a2≤4.2≤a≤187.②

綜合①、②得a的取值范圍為-1

例2設A={x|1

解：設f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，

g（x）=x2-2bx+5=（x-b）2+5-b2.

要使AB，則必須使f（x），g（x）在[1，3]上的函數(shù)圖象落在x軸下方，即：

f（1）≤0，f（3）≤0.a-1≤0，a+3≤0.a≤-3，

且g（1）≤0，g（3）≤0.-2b+6≤0，14-6b≤0.b≥3.

∴滿足條件的a、b取值范圍為a≤-3且b≥3.

評析：在理解集合符號的基礎上，準確地將集合語言轉(zhuǎn)化為初中已學過的數(shù)學問題，然后用函數(shù)知識和方法把問題解決.這種轉(zhuǎn)化可以把抽象知識用簡潔、準確的數(shù)學語言表達出來.運用函數(shù)思想來研究集合中有關參數(shù)取值范圍的問題，就是將集合之間的關系直觀地解釋成數(shù)軸上的區(qū)間覆蓋關系，從而借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象，達到直觀、簡捷的解題目的.

二、以函數(shù)為工具，強化函數(shù)思想在方程問題中的運用

函數(shù)與方程有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以說方程是函數(shù)的一個局部，而函數(shù)則包括方程的全部內(nèi)涵，因此用函數(shù)的思想方法來解決方程問題往往是一種很有效的方法.

例3設x、y為實數(shù)，且滿足關系式：（x-1）3+2013（x-1）=-1，（y-1）3+2013（y-1）=1.求x+y的值.

解：令f（t）=t3+2013t，易知f（t）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，

∴由已知條件得：f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y），

當注意到f（t）是單調(diào)函數(shù)時，有x-1=1-y，即x+y=2.

例4已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，求x+y的值.

解：已知方程化為：（x+2y）5+（x+2y）=-（x5+x）.（1）

由（1）式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)f（t）=t5+t，顯然，f（t）是奇函數(shù)，且在R上的單調(diào)遞增.

由于（1）式可寫成：f（x+2y）=-f（x）=f（-x），所以有x+2y=-x，即x+y=0.

評析：函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數(shù)若有解析表達式，那么這個表達式就可看作一個方程，這樣，許多函數(shù)的問題可以用方程的方法來解決.也就是說，對于函數(shù)y=f（x），當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0；反之，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y-f（x）=0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關系十分重要.

三、以函數(shù)為橋梁，強化函數(shù)思想在不等式問題中的應用

由于函數(shù)反映變量之間的相互關系，由它的整體性，自然可反映變量間的不等式情況，因此，不等式問題可看成函數(shù)問題的另一局部，利用函數(shù)思想方法能更深入了解不等式問題的本質(zhì).

例5設0≤a、b、c≤2，求證：4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.

證明：視a為自變量，構(gòu)造一次函數(shù)

f（a）=4a+b2+c2+abc-2ab-2bc-2ca=（bc-2b-2c+4）a+（b2+c2-2bc），

由0≤a≤2，知f（a）表示一條線段.

又f（0）=b2+c2-2bc=（b-c）2≥0，

f（2）=b2+c2-4b-4c+8=（b-2）2+（c-2）2≥0，

可見上述線段在橫軸及其上方，∴f（a）≥0，

即4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.

例6已知a、b、c是△ABC的三邊，且m為正數(shù)，求證：am+a

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=xm+x，易證f（x）=xm+x=1-mm+x，當x>0時單調(diào)遞增.

∵a

即am+a

故am+a

評析：在不等式問題中，應重視以函數(shù)為橋梁，根據(jù)實際問題建立函數(shù)觀念，用函數(shù)思想與函數(shù)方法分析、解決問題意義重大.解（證）不等式問題，從實質(zhì)上說，是研究相應函數(shù)的零點、正負值問題.所以，用函數(shù)思想來處理這類問題，不僅會優(yōu)化解題過程，而且會使我們迅速獲得解題的途徑.

四、以函數(shù)為媒介，強化函數(shù)思想在數(shù)列中的應用

數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)觀點把數(shù)列中的數(shù)量關系表示出來加以研究，這種利用函數(shù)思想合理轉(zhuǎn)化的手段是解決數(shù)列問題的重要策略.

例7已知項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列奇數(shù)項的和為44，偶數(shù)項的和為33，求這個數(shù)列的項數(shù)及中間項.

解：設這個數(shù)列共有2n+1項，由于f（n）=Snn是關于n的一次函數(shù)，則點（n+1，44n+1），（n，33n），（2n+1，772n+1）共線.

由斜率相等得：772n+1-33n2n+1-n=772n+1-44n+12n+1-（n+1）n=3.

所以該數(shù)列共有7項，中間項為11.

評析：在等差數(shù)列{an}中，其前n項和公式Sn可以變形為：Snn=d2n+（a1-d2），所以Snn是n的一次函數(shù)，且點（n，Snn）均在直線y=d2x+（a1-d2）上.因此，在解等差數(shù)列問題時，若能把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)來研究，就很方便快捷.

例8已知數(shù)列{an}中的通項公式an=（n+1）（1011）n（n∈N*）.試問該數(shù)列{an}有沒有最大項？

解：∵an+1-an=（n+2）（1011）n+1-（n+1）（1011）n=（1011）n·9-n11，

∴當n<9時，an+1-an>0，即an+1>an；

當n=9時，an+1-an=0，即an+1=an；

當n>9時，an+1-an<0，即an+1

故a1a11>a12>…，

∴數(shù)列{an}有最大項a9或a10，其值為10·（1011）9，其項數(shù)為9或10.

評析：由通項公式研究數(shù)列是常用的方法，此時要注意數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，本例是以數(shù)列為背景，借用函數(shù)思想研究數(shù)列的問題.

五、以函數(shù)為載體，強化函數(shù)思想在數(shù)列與函數(shù)交匯題中的應用

函數(shù)與數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容，它們二者相互聯(lián)系，相互補充，又可以相互滲透，相互轉(zhuǎn)化，共同構(gòu)成了高中數(shù)學知識網(wǎng)絡中的一個重要環(huán)節(jié).正由于它們地位的特殊性，以函數(shù)與數(shù)列的交匯處設計有關綜合性考題在高考試卷中占有較大比例，其中不乏有立意新穎，富有創(chuàng)意的試題.

例9已知函數(shù)f（x）=log2（x+1），當P（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上運動時，點M（x3，ny）（n∈N*）在函數(shù)y=gn（x）的圖象上運動.設Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）（n∈N*），x∈[1，+∞）.試問，當n和x分別為何值時，Sn（x）有最小值？并求出這個最小值.

解：∵當P（x，y）在函數(shù)y=log2（x+1）的圖象上，點M（x3，ny）在函數(shù)y=gn（x）的圖象上，

∴y=log2（x+1），ny=gn（x3）.gn（x）=nlog2（3x+1）.

∴Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）=（1+2+3+…+n）log2（3x+1）=n（n+1）2log2（3x+1）.

∵x∈[1，+∞），∴l(xiāng)og2（3x+1）>0，

又log2（3x+1）在∈[1，+∞）上是增函數(shù)，{n（n+1）2}是遞增數(shù)列，

∴當n=1且x=1時，Sn（x）取得最小值2.

評析：以函數(shù)為引入條件，綜合函數(shù)與數(shù)列交叉部分，密切注意到各部分知識在各自發(fā)展中的縱向聯(lián)系以及部分知識之間的橫向聯(lián)系構(gòu)筑試題.解此類問題應注意從題目的眾多條件和求解（求證）中提取相關信息，推動題目信息的延伸，歸結(jié)到某個確定的數(shù)學關系，從而形成一個解題的行動序列，有效地、靈活地解決問題，這就是解題方向.

例10已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈N*.

（1）設函數(shù)y=f（x）圖象頂點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{an}，求證數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

（2）設函數(shù)y=f（x）的圖象頂點到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列{dn}，求數(shù)列{dn}前n項的和Sn.

證明：（1）由已知an=3n-10，當n≥2時，an-an-1=3n-10-[3（n-1）-10]=3，

∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

解：（2）由題意得：dn=|an|=|3n-10|，

即dn=10-3n，（1≤n≤3）3n-10.（n≥4）

∴當1≤n≤3時，Sn=7+（10-3n）2×n=17n-3n22.

當n≥4時，Sn=-an-a2-a3+a4+a5+…+an=a1+a2+a3+a4+…+an-2a1-2a2-2a3=-7+3n-102×n+2（7+4+1）=3n2-17n+482.

評析：這是一個以函數(shù)為載體，綜合函數(shù)與數(shù)列交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識網(wǎng)絡型代數(shù)推理題，這樣就把函數(shù)與數(shù)列有機地融合在一起，使得題型新穎、內(nèi)容綜合、解法靈活.

六、以借助函數(shù)的手段，強化函數(shù)思想在圓錐曲線中的應用

對于曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構(gòu)成函數(shù)關系，此時，用函數(shù)思想與函數(shù)方法處理起來十分方便.

例11直線m：y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點，直線l過P（-2，0）和AB線段的中點M，求l在y軸上的截距b的取值范圍.

解：由y=kx+1，x2-y2=1.（x≤-1）消去y得（k2-1）x2+2kx+2=0，由題意，有：

Δ=4k2+8（1-k2）>0，x1+x2=2k1-k2<0，x1x2=-21-k2>0.1

設M（x0，y0），則x0=x1+x22=k1-k2，y0=kx0+1=11-k2.

由P（-2，0）、M（k1-k2，11-k2）、Q（0，b）三點共線，可求得b=2-2k2+k+2.

設f（k）=-2k2+k+2，則f（k）在（1，2）上為減函數(shù).

∴f（2）

∴-（2-2）2.

評析：通過建立b與k的函數(shù)關系式，借用函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域以確定b的變化范圍.

例12已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），B為橢圓的下頂點，過B點作橢圓的弦BM，求弦長最大值.

解：設M（x，y），又B（0，-b），則有|BM|2=x2+（y+b）2，

由x2a2+y2b2=1得x2=a2b2（b2-y2），代入上式得：

|BM|2=a2-a2b2y2+y2+2by+b2=（1-a2b2）y2+2by+（a2+b2）（-b≤y≤b）.

∵a>b>0，∴1-a2b2<0，為開口向下的拋物線，則該拋物線頂點橫坐標為：

y=-2b2（1-a2b2）=b3a2-b2>0.

當0

|BM|2取得最大值a4a2-b2，此時|BM|取得最大值a2a2-b2.

當b3a2-b2>b，即a<2b，函數(shù)f（y）=（1-a2b2）y2+2by+（a2+b2）（-b≤y≤b）為增函數(shù)，所以y=b時，|BM|2取得最大值4b2，此時|BM|取得最大值2b.

評析：把圓錐曲線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)思想加以解決，在解決問題的過程中，還涉及到其他數(shù)學思想的運用，如消元、分類討論思想，多種數(shù)學思想方法的交叉運用是簡化解題的有效手段.

七、以借助函數(shù)的意識，強化函數(shù)思想在實際問題中的運用

函數(shù)的應用涉及的知識較多，與許多日常生活知識都有聯(lián)系，因此，從實際問題出發(fā)，通過分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等手段引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系式，再研究函數(shù)關系式的定義域，利用函數(shù)有關知識解答問題.

例13某家庭今年一月份，二月份，三月份煤氣用量支付費如下表所示：

該市煤氣收費的方法是：煤氣費=基本費+超額費+保險費.若每月用氣量不超過最低限定Am3，只付基本費3元和每戶每月的定額保險費C元；若用氣量超過Am3時，超過部分每立方米（m3）付B元.又知保險費不超過5元.根據(jù)上面的表格求A、B、C.

解：設每月煤氣用量為xm3，支付費用為y元，根據(jù)題設條件得：

y=3+C，（0≤x≤A）①3+B（x-A）+C.（x>A）②

由0

3+B（25-A）+C=14，3+B（35-A）+C=19.B=0.5，A=2C+3.

再分析一月份的煤氣用量是否超過最低限度，不妨設A<4，將x=4代入②，得：

3+0.5[4-（2C+3）]+C=4，并由此得3.5=4，矛盾.

所以A≥4，即一月份付費方式為①，∴3+C=4，即C=1.

從而A=5，B=0.5，C=1.

例14有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次是P萬元和Q萬元，它們與投入資金x萬元的關系式可由經(jīng)驗公式給出：P=15x，Q=35x.今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分配應是多少？共能獲得多大利潤？

解：若投入乙種商品的資金為x萬元，則投入甲種商品的資金為（3-x）萬元.

依題意，甲種商品可獲利：P=15（3-x）萬元，乙種商品可獲利：Q=35x萬元，甲、乙兩種商品

共獲利為：y=P+Q=15（3-x）+35x

=15（-x+3x+3）=15[-（x-32）2+214].

當x=32，即x=94時，ymax=2120，此時，3-x=34.

即甲種商品投入0.75萬元，乙種商品投入2.25萬元，可獲得最大利潤.

評析：在解此類問題時，首先需要在實際的情境中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無關的因素.處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為函數(shù)問題，然后應用函數(shù)相關知識加以綜合解答.

（作者：趙春祥，河北省中學數(shù)學特級教師）