張小霞

中考“連連看”概率“消消樂”

張小霞

初中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”部分中“概率”內(nèi)容雖然很少，但也是重要知識點，是中考的必考內(nèi)容之一.中考中關(guān)于概率試題通常背景新穎，貼近生活，讓人感到真實親切，體現(xiàn)了概率的應(yīng)用性和趣味性.近幾年來，中考考題中比較密集的題型有如下這些.

一、計算概率

例1（2015·山東泰安）如圖，在方格紙中，隨機(jī)選擇標(biāo)有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的概率是（）

A.1B.2C.3D.4 5555

【分析】隨機(jī)選擇標(biāo)有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，共有5種等可能的結(jié)果，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的有3種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】選C.

例2（2015·安徽）A、B、C三人玩籃球傳球游戲，游戲規(guī)則是：第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B、C兩人中的某一人，以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.

（1）求兩次傳球后，球恰在B手中的概率；

（2）求三次傳球后，球恰在A手中的概率.

【分析】要想準(zhǔn)確地解答本題，我們首先要仔細(xì)地審題，反復(fù)推敲文字表達(dá)的意思，解決以下兩個問題：（1）游戲分幾步完成；（2）類比“摸球”問題，分清每次游戲是“放回”還是“不放回”.若第一次出現(xiàn)的結(jié)果在第二次仍可出現(xiàn)則是“放回”的.若第一次出現(xiàn)的結(jié)果在第二次不能再出現(xiàn)則是“不放回”的.注意本題中的文字信息“每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人”，即意味著“不放回”.··傳球后，球恰在B手中的概率，即游戲分兩步完成，所以既可以用樹狀圖法又可以用列表法分析解決.

方法一：樹狀圖法

【解答】（1）本題求兩次

方法二：列表法

第一次第二次（C，A）（C，B）/ B C A B C（B，A）/（B，C）

兩種方法均可得到4種等可能結(jié)果，而恰好落在B手中只有1種情況，故答案為.

（2）本題求三次傳球后，球恰在B手中的概率，即游戲分三步完成，所以只可以用樹狀圖法解決.

畫樹狀圖得：

∵共有8種等可能的結(jié)果，三次傳球后，球恰在A手中有2種情況，∴三次傳球后，球恰在A手中的概率為

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，解題時要注意分清此題是放回試驗還是不放回試驗，并注意概率為所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、利用概率判斷游戲的公平性并設(shè)計相應(yīng)的游戲規(guī)則

例3（2015·云南）現(xiàn)有一個六面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6且質(zhì)地均勻的正方形骰子，另有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的卡片（卡片除數(shù)字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，記下骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字，然后由小王從三張背面朝上放置在桌面上的卡片中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)字.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法，求出骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的概率；

（2）小明和小王做游戲，約定游戲規(guī)則如下：若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7，則小明贏；若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7，則小王贏.你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，請你修改游戲規(guī)則，使之公平.

【分析】列舉出所有情況，看向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的情況占總情況的多少即可.

【解答】（1）由樹狀圖或列表法分析可得：

共18種情況，數(shù)字之積為6的情況數(shù)有3種，∴P（數(shù)字之積為6）

（2）該游戲所有可能的結(jié)果共18種，其中骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7的有7種，骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7的有11種，所以小明贏的概率=，小王贏的概率=，故小王贏的可能性更大，游戲不公平.

修改規(guī)則的方法不唯一，只要使得游戲雙方獲勝的概率相等即可.例如：若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為2，則小明贏，若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為3，則小王贏，否則視為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負(fù)為止.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性與否就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平.這也為制定公平的游戲規(guī)則提供了一種思路和方法.

三、統(tǒng)計與概率知識的綜合運(yùn)用

例4（2015·湖北咸寧）某校九年級兩個班，各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽寫”大賽預(yù)賽.各參賽選手的成績?nèi)缦拢?/p>

九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100

九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99

通過整理，得到數(shù)據(jù)分析表如下：

班級九（1）班九（2）班平均分m 95最高分100 99中位數(shù)93 n眾數(shù)93 93方差12 8.4

（1）直接寫出表中m、n的值；

（2）依據(jù)數(shù)據(jù)分析表，有人說：“最高分在（1）班，（1）班的成績比（2）班好”，但也有人說（2）班的成績要好，請給出兩條支持九（2）班成績好的理由；

（3）若從兩班的參賽選手中選四名同學(xué)參加決賽，其中兩個班的第一名直接進(jìn)入決賽，另外兩個名額在四個“98分”的學(xué)生中任選二個，試求另外兩個決賽名額落在同一個班的概率.

【分析】（3）畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出另外兩個決賽名額落在同一個班的情況數(shù)，即可求出所求的概率.注意：可以用A1，B1表示九（1）班兩名98分的同學(xué)，C2，D2表示九（2）班兩名98分的同學(xué)，可使樹狀圖較為簡潔.

【解答】（1）m=94，n=95.5（求中位數(shù)需先排序）；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成績比九（1）班穩(wěn)定；③九（2）班的成績集中在中上游，故支持九（2）班成績好（任意選兩個即可）；（3）所有等可能的情況有12種，其中另外兩個決賽名額落在同一個班的情況有4種，則P（另外兩個決賽名額落在同一個班）

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識是概率為所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、概率與多個知識的整體考核

例5（2015·四川）甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1， 2，；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字-1，-2，0.現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機(jī)抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點M坐標(biāo)為（x，y）.

（1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標(biāo)；

（2）求點M（x，y）在函數(shù)y=-x+1的圖像上的概率；

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是2，求過點M（x，y）能作⊙O的切線的概率.

【分析】（1）用樹狀圖法（列表法）展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)；

（2）根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，從9個點中找出滿足條件的點，然后用概率公式計算；

（3）利用點與圓的位置關(guān)系找出圓上的點和圓外的點，由于過這些點可作⊙O的切線，則可計算出過點M（x，y）能作⊙O的切線的概率.

【解答】（1）共九種等可能結(jié)果（樹狀圖略）.

（2）共有9種等可能結(jié)果，其中在函數(shù)y=-x+1圖像上的點有2種，故概率為.

（3）在⊙O上的點有（0，-2），（2，0），在⊙O外的點有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以過點M（x，y）能作⊙O的切線的點有5個，所以過點M（x，y）能作⊙O的切線的概率=.

【點評】本題的亮點在于將概率與函數(shù)、圓的知識結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的相互交融，要想順利地解決此類問題需要對各個知識點掌握扎實，才能運(yùn)用自如.

概率是中考命題的重點之一，經(jīng)常與統(tǒng)計、函數(shù)、幾何圖形等知識綜合在一起考查，我們需牢固掌握樹狀圖（列表）法，利用概率公式解決此類問題.題目千變?nèi)f化，需要我們養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，善于總結(jié)歸納，力爭讓自己不斷進(jìn)步.

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學(xué)）