朱　海，于化鵬，蔡　鵬

（海軍潛艇學(xué)院，山東　青島 266199）

一種基于隨機理論的尋北濾波噪聲影響分析方法

朱海，于化鵬，蔡鵬

（海軍潛艇學(xué)院，山東青島 266199）

以尋北系統(tǒng) Kalman 濾波器為研究對象，從濾波噪聲在尋北 Kalman 濾波器中傳播機理的角度對其影響進(jìn)行分析?；陔S機可控制性和隨機可觀測性得到了誤差協(xié)方差矩陣與噪聲統(tǒng)計特性之間的解析表達(dá)式，并利用單軸旋轉(zhuǎn)式尋北系統(tǒng)對所提出的基于隨機理論的解析分析方法進(jìn)行驗證。實驗結(jié)果表明，利用基于隨機理論的解析分析方法分析尋北系統(tǒng)有效而且適用，并且所得到的解析式能夠更全面地表示系統(tǒng)的性能。

隨機理論；噪聲特性；尋北濾波；旋轉(zhuǎn)

0　引　言

工程實際應(yīng)用中，高精度導(dǎo)航系統(tǒng)需要精準(zhǔn)的時空和方向基準(zhǔn)作保證，進(jìn)而對尋北裝置的尋北精度和快速性指標(biāo)提出了越來越高的要求［1-3］。捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（SINS）以其快速啟動和不可或缺的“自主性”優(yōu)勢，已在空天和航海等領(lǐng)域中廣泛使用［2-6］。

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)常采用 Kalman 濾波方法進(jìn)行尋北，因此，分析尋北 Kalman 濾波器的運行機制以及SINS 和系統(tǒng)運行環(huán)境中噪聲信號特性對濾波器運行的作用機理，得到關(guān)于濾波模型各狀態(tài)的全面信息是必要的，能夠為改進(jìn)尋北方案和誤差模型提供重要依據(jù)［4-7］。目前，已經(jīng)有許多研究人員對 Kalman 濾波器的運行機制進(jìn)行了深入研究［5-6］，而由于噪聲信號特性隨不同應(yīng)用具有特殊性，往往需要開展針對性研究。

文獻(xiàn)［8-11］指出，SINS 測量輸出信號中，隨機游走噪聲是影響其尋北精度的主要因素，使其成為縮短尋北時間的主要約束量。文獻(xiàn)［8］得出，在導(dǎo)彈方位自瞄準(zhǔn)中，降低角隨機游走噪聲系數(shù)或延長系統(tǒng)自瞄準(zhǔn)時間可以有效提高自瞄準(zhǔn)精度。文獻(xiàn)［12］根據(jù)實驗測試得出恒速偏頻激光陀螺尋北儀的尋北精度與激光陀螺的角隨機游走噪聲系數(shù)成正比，和總尋北時間的平方根成反比。系統(tǒng)運行環(huán)境中噪聲信號對 Kalman 濾波運行的作用主要體現(xiàn)為觀測噪聲［13-14］。文獻(xiàn)［15］研究了觀測噪聲對 Kalman 濾波估計精度的影響。

根據(jù)可查閱的公開文獻(xiàn)，隨機游走噪聲對系統(tǒng)尋北性能影響的結(jié)論，大都依據(jù)噪聲特性［8］或重復(fù)實驗測試［12］給出，尚未有從其在尋北 Kalman 濾波器中傳播機理角度進(jìn)行分析的研究成果發(fā)表；文獻(xiàn)［15］僅通過人工離散取值對觀測噪聲的選取進(jìn)行優(yōu)化。

為更全面地分析噪聲信號的影響，本文提出一種基于隨機理論計算得到噪聲特性與尋北 Kalman 濾波器估計差協(xié)方差矩陣之間解析式的方法，進(jìn)而提取誤差協(xié)方差矩陣對角線元素以表示濾波狀態(tài)誤差方差的濾波估計值與噪聲信號系數(shù)的解析關(guān)系，即可對噪聲信號對系統(tǒng)尋北精度和快速性的影響進(jìn)行分析。該方法的獨特優(yōu)點是僅需要 Kalman 濾波器模型，利于在Kalman 濾波器工程實現(xiàn)前進(jìn)行預(yù)先理論分析和優(yōu)化所設(shè)計的濾波模型［16-18］。然后，根據(jù)所采用的基于隨機理論的方法，利用旋轉(zhuǎn)式尋北系統(tǒng)進(jìn)行尋北精度和快速性的詳細(xì)計算，驗證所采用方法的有效性。

1　基于隨機理論的解析分析方法

為直觀地描述所關(guān)心 SINS 尋北濾波狀態(tài)的估計收斂特性，得到尋北誤差和相關(guān)變量之間的解析式是最有效的解決方案。考慮到誤差協(xié)方差矩陣真正反映了尋北濾波狀態(tài)的精度和快速性的量化值，利用誤差協(xié)方差矩陣的分析方法可以直觀地對尋北濾波狀態(tài)的這2 項指標(biāo)進(jìn)行分析［16-19］。

1.1誤差協(xié)方差矩陣的解析式

連續(xù)系統(tǒng) Kalman 濾波的矩陣 Riccati 方程表示為［18］：

式（1）是誤差協(xié)方差矩陣 P 的非線性方程；對于高階線性系統(tǒng)，一般難以通過求解上述矩陣 Riccati 方程得到 P 的顯式解析式。然而，在觀測噪聲 R 與系統(tǒng)噪聲 Q 不相關(guān)的假設(shè)下，可以單獨分析二者對系統(tǒng)尋北精度和快速性的影響。利用導(dǎo)航計算機實際工程實現(xiàn)的尋北 Kalman 濾波器為離散形式，令采樣計算周期為 ts，下面分別給出二者單獨作用下 P 的解析式。

在無觀測修正，不考慮 Kalman 濾波器的初始參數(shù)條件下，有離散化隨機可控制性（Stochastic Controllablity，SC）方程［18］：

式中：Φ（t，τ）為系統(tǒng)矩陣 F 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；該式表示系統(tǒng)噪聲激勵所引入的誤差。

在無系統(tǒng)噪聲和初始參數(shù)完全未知條件下，離散化隨機可觀測性（Stochastic Observablity，SO）方程［18］：

該式表示由觀測修正帶來的誤差抑制作用。

建立 Kalman 濾波模型后，若已知觀測噪聲 R 與系統(tǒng)噪聲 Q 的統(tǒng)計特性，即可根據(jù)式（2）和式（3）獲取噪聲信號激勵下的誤差協(xié)方差矩陣 P 的解析表達(dá)式。

1.2尋北 Kalman 濾波模型的建立

根據(jù)文獻(xiàn)［14］可建立以下導(dǎo)航系下 φ 形式靜基座尋北 Kalman 濾波器系統(tǒng)模型：

其中：狀態(tài)矩陣 F（t），系統(tǒng)噪聲傳播矩陣 G（t）詳見文獻(xiàn)［20］，且 Q 可寫成：

式中：ngrw和 ngbrw分別為陀螺測量輸出中角隨機游走噪聲系數(shù)和角速率隨機游走噪聲系數(shù)；na和 nabrw分別為加速度計測量輸出中相應(yīng)的隨機游走噪聲系數(shù)。

靜基座尋北 Kalman 濾波器觀測量確定為北向速度誤差和東向速度誤差，則觀測模型寫成：

在北向和東向速度觀測噪聲系數(shù)相等假設(shè)下，R可表示為：

1.3實現(xiàn)需考慮的問題

結(jié)合文獻(xiàn)［16-17］所采用分析方法的思路，利用其具有直觀線性代數(shù)特性、不需要單調(diào)繁重的仿真實驗的優(yōu)點，隨機可控制性和隨機可觀測性方程正是連接誤差協(xié)方差矩陣分析和所設(shè)計尋北 Kalman 濾波模型各狀態(tài)的收斂精度和快速性的有效途徑。

從尋北 Kalman 濾波實際實現(xiàn)的角度，以下 2 點需要考慮：

1）在 IMU 器件的零偏可觀情況下，一般尋北 Kalman濾波模型均將零偏狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)展，則不可避免地增加濾波模型的維數(shù)，意味著本文所研究的濾波模型是一個高階線性系統(tǒng)。當(dāng)尋北過程中 IMU 位置保持固定時，系統(tǒng)矩陣 F（t）是常值；然而，當(dāng)尋北過程中改變 IMU 位置以改善系統(tǒng)濾波狀態(tài)的可觀測度時，系統(tǒng)矩陣是時變的，導(dǎo)致基于隨機理論進(jìn)行誤差協(xié)方差矩陣分析時，計算量非常大；

2）基于隨機理論的誤差協(xié)方差矩陣分析方法在SINS 對準(zhǔn)中的成功應(yīng)用成果僅有文獻(xiàn)［16-17］（為得到解析表達(dá)式使用了簡化的三維或四維模型，降低了解析式的準(zhǔn)確度）。

因此，如何將隨機理論擴(kuò)展應(yīng)用到高階線性時變系統(tǒng)成為亟待解決的問題。

2　實驗結(jié)果及分析

為驗證所提出的基于隨機理論的解析分析方法的有效性，利用 1.2 節(jié)中給出的驗證模型進(jìn)行計算。本文中符號運算均采用 Mathematica 7.0 軟件來實現(xiàn)。

方位角誤差 φD的估計精度是尋北系統(tǒng)應(yīng)用中一個非常關(guān)鍵的狀態(tài)參數(shù)，誤差協(xié)方差矩陣 P 的第 3 個對角線元素 P（3，3）（t）可以用來表示其估計誤差方差［16-17］。

2.1系統(tǒng)噪聲影響分析

下面分析在不同轉(zhuǎn)動條件下，隨機游走噪聲對尋北系統(tǒng)性能的影響。為了區(qū)分，以 P 的上標(biāo)表示尋北系統(tǒng)采用的不同旋轉(zhuǎn)方案，則 P0表示轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速為 0，而 P1表示轉(zhuǎn)臺恒速轉(zhuǎn)動。不失一般性，假定尋北系統(tǒng)中。

根據(jù)式（2）進(jìn)行計算，令?1=ωiecosL，，?3=ωiesinL，t=kts，忽略小量的高階乘積，有

式中：ΩC為轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速；ωie為地球自轉(zhuǎn)角速率；L 為當(dāng)?shù)氐乩砭暥取?/p>

根據(jù)上述 2 式，可明顯看出：隨機游走噪聲是方位角誤差 φD估計精度的主要影響因素。

比較不同轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)方案下陀螺隨機游走噪聲對方位角誤差 φD影響隨時間的變化，可得出以下結(jié)論：

1）旋轉(zhuǎn)調(diào)制對陀螺角隨機游走噪聲對方位角誤差的影響沒有抑制效果；

2）旋轉(zhuǎn)調(diào)制對角速率隨機游走噪聲對方位角誤差的影響有抑制效果。

為更直觀地觀察旋轉(zhuǎn)調(diào)制對角速率隨機游走噪聲對方位角誤差影響的抑制效果，圖1 給出了轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動情況下陀螺角速率隨機游走噪聲對方位角誤差作用分量與轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速為 0 時其作用分量的比值。

圖1　旋轉(zhuǎn)調(diào)制對陀螺角速率隨機游走噪聲對方位角誤差作用分量的相對抑制比率Fig.1　Attenuation ratio of gyro angular rate random walk noise influence on azimuth error under different turntable rate（＞ 0）compared to zero turntable rate

由圖1 可見，旋轉(zhuǎn)調(diào)制對陀螺角速率隨機游走噪聲對方位角誤差影響的抑制作用隨時間變化緩慢；在尋北快速性指標(biāo)的要求下，旋轉(zhuǎn)調(diào)制抑制陀螺角速率隨機游走噪聲對方位角估計精度的提高影響較小。

上述結(jié)論與已公開的研究成果一致［13-14，21］，說明基于隨機理論的解析方法的有效性，用于分析尋北系統(tǒng)的適用性。

2.2觀測噪聲影響分析

相對于系統(tǒng)噪聲影響分析，觀測噪聲影響分析計算量大大增加。為簡化驗證計算，不失一般性，式（3）中除觀測噪聲系數(shù)之外的其他影響變量都將賦予一個確定數(shù)值，見表1。

表1　影響變量數(shù)值設(shè)定Tab.1　Set values of the influencing variables

根據(jù)式（3），利用表1中參數(shù)取值，令 t=kts=600 s，可以得到采用 1.2 節(jié)給出的驗證模型時方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差與觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差之間關(guān)系的解析表達(dá)式為：

采用 1.2 節(jié)給出的驗證模型尋北結(jié)束時方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差與觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系曲線如圖2 所示。觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍為 0.000 1～1 m/s。

圖2　尋北結(jié)束時方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差與觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系曲線Fig.2　Standard deviation curve between azimuth error and measurement noise after north-filtering

由解析式（11）和圖2 可見，利用基于隨機理論的解析方法能夠得到所關(guān)心狀態(tài)與影響變量之間的簡潔解析表達(dá)式，有利于對系統(tǒng)性能進(jìn)行深入分析。同時，根據(jù)圖2，當(dāng)轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速確定時，采用 1.2 節(jié)給出的驗證模型尋北結(jié)束時方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差與觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差在理論上成正比。

3　結(jié)　語

Kalman 濾波在捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的初始對準(zhǔn)和標(biāo)定等各個環(huán)節(jié)廣泛應(yīng)用。為了能夠更全面地深入研究SINS 和系統(tǒng)運行環(huán)境中噪聲信號特性對濾波器運行的作用機理，得到關(guān)于濾波模型各狀態(tài)的全面信息，本文利用隨機可控制性和隨機可觀測性得到濾波噪聲在尋北 Kalman 濾波器影響作用的解析表達(dá)式，利用單軸旋轉(zhuǎn)式尋北系統(tǒng)對所提出的基于隨機理論的解析分析方法進(jìn)行了計算驗證。根據(jù)詳細(xì)驗證結(jié)果可見，基于隨機理論的解析分析方法適用于尋北系統(tǒng)，分析結(jié)論與已公開研究結(jié)論一致，并且利用該方法還能夠得到更全面的系統(tǒng)性能分析結(jié)果，具有較高的理論參考價值。

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Stochastic theory approach to analyzing noise influences on north-finding filtering

ZHU Hai，YU Hua-peng，CAI Peng
（Navy Submarine Academy，Qingdao 266199，China）

The north-finding Kalman filter is studied from the aspect of the propagation mechanism of filtering noises.Explicit analytic expressions of the state error covariance matrix with different noise statistical characteristics are derived based on the stochastic controllability and stochastic observablity theory，and the proposed analytic method is detailed demonstrated on the single-axis rotary inertial navigation system （INS）.The experimental results show that，the proposed analytic method is effective and applicable to analyzing the north-finding filter，and the analytic expressions can provide with us more information about the system performance.

stochastic theory；noise characteristics；north-finding filtering；rotary

U666.1

A

1672-7619（2016）06-0132-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.06.027

2015-10-19；

2015-12-14

國家“863計劃”資助項目（2014AAxxx4028E）

朱海（1965-），男，博士，教授，主要從事水下導(dǎo)航技術(shù)研究。