于　濤，戚宗鋒，李志鵬

（電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽471003）

時(shí)域有限差分法常用吸收邊界的性能分析

于濤，戚宗鋒，李志鵬

（電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽471003）

文章對(duì)時(shí)域有限差分法常用吸收邊界的性能進(jìn)行了分析，包括Mur吸收邊界、PML（Perfectly Matched Layer）、UPML（Uniaxial PML）以及CPML（Convolution PML）。首先，簡(jiǎn)要介紹了幾種吸收邊界的理論基礎(chǔ)；然后，根據(jù)前面理論進(jìn)行Matlab仿真，通過采樣二維情況下的高斯源和正弦源激勵(lì)的電場(chǎng)值，分析比較4種吸收邊界的性能；最后，總結(jié)了各種吸收邊界的優(yōu)劣和特點(diǎn)。

Mur吸收邊界；PML；UPML；CPML；時(shí)域有限差分法

在電磁場(chǎng)計(jì)算中，時(shí)域有限差分法（FDTD）是一種常用的數(shù)值計(jì)算方法［1-3］，它由K.S.Yee于1966年首次提出，是求解麥克斯韋方程組的直接時(shí)域方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，F(xiàn)DTD已被廣泛應(yīng)用于電磁輻射、散射、微波器件研究以及電磁兼容等方面［4-6］。

在FDTD分析中，吸收邊界的設(shè)置是一項(xiàng)很重要的工作，因?yàn)橛?jì)算機(jī)容量的限制，F(xiàn)DTD計(jì)算只能在有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，在計(jì)算區(qū)域截?cái)嗵幵O(shè)置吸收邊界，就是為了模擬自由空間或有耗無限大區(qū)域。1981年，Mur［7］提出了在邊界處的一階和二階吸收邊界及其離散形式，Mur吸收邊界是一種有效的吸收邊界條件，并在后續(xù)發(fā)展中獲得廣泛應(yīng)用。1994年，Berenger等［8］將麥克斯韋方程擴(kuò)展成場(chǎng)分裂形式，構(gòu)成了完全匹配層PML，它是一種性能優(yōu)異的吸收邊界。1995年，Sacks等［9］提出了各向異性介質(zhì)的完全匹配層UPML，與Berenger提出的不同，它并不是將場(chǎng)分量進(jìn)行分裂，在吸收介質(zhì)中，波方程仍為完整的麥克斯韋方程。1994年，Chew等［10］引入了坐標(biāo)伸縮中PML方程；文獻(xiàn)［11］給出了一種具有嚴(yán)格因果關(guān)系的復(fù)頻移PML（Complex Frequency-Shift，CFS）。2000年，Roden等［12］采用卷積形式有效執(zhí)行CFS的方法，稱為CPML方法。吸收邊界問題一直是時(shí)域有限差分法研究的一個(gè)熱點(diǎn)［13-15］。

采用FDTD分析電磁輻射、散射問題時(shí)，計(jì)算區(qū)域大多為自由空間的情況，在此基礎(chǔ)上，本文就常用的FDTD吸收邊界，包括Mur、PML、UPML、CPML吸收邊界展開性能分析，經(jīng)過原理分析，Matlab編程，分別以高斯源、正弦源在自由空間內(nèi)激勵(lì)起的二維波為例，通過與在自由空間的波比較，考察各種邊界的吸收效果，為選用各種吸收邊界時(shí)提供參考。

1　吸收邊界理論基礎(chǔ)

FDTD吸收邊界是為了截取有限計(jì)算空間模擬無限大區(qū)域而人為限定的計(jì)算邊界。在二維情況下，計(jì)算區(qū)域一般為矩形區(qū)域；三維情況下，一般為立方體區(qū)域。為了簡(jiǎn)單起見，本文以二維情況為例進(jìn)行說明。下面，簡(jiǎn)單介紹一下幾種吸收邊界的原理，具體推導(dǎo)可以參見文獻(xiàn)［16］。

1.1Mur吸收邊界

Mur吸收邊界是一種較為簡(jiǎn)單的吸收邊界，參見圖1。

圖1　Mur吸收邊界Fig.1 Mur absorbing boundary

Mur吸收邊界是對(duì)Engquist-Majda吸收邊界條件進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，形成一階、二階Mur吸收邊界，在矩形4個(gè)邊界上的二階Mur吸收邊界為（以TM波為例）：

式（1）分別對(duì)應(yīng)著左、右、上、下4個(gè)邊界條件，c為電波傳播速度，上面吸收邊界條件的FDTD更新方程為（以左邊界為例）：

對(duì)于四個(gè)角點(diǎn)處，需要單獨(dú)處理，以左下角點(diǎn)為例，它的FDTD更新方程為：

同樣，其他邊和角點(diǎn)的更新方程也可以得到。

1.2PML吸收邊界

PML吸收邊界是在FDTD計(jì)算區(qū)域截?cái)噙吔缣幵O(shè)置幾層特殊介質(zhì)層，通過阻抗匹配條件，使得入射波無反射地進(jìn)入介質(zhì)層，介質(zhì)層為有耗媒質(zhì)，使得透射波將迅速衰減，達(dá)到介質(zhì)的吸波功能。

圖2　PML邊界參數(shù)設(shè)置Fig.2 Parameter setting of PML boundary

在實(shí)際編程中，通常取得 σ1x=σ2x=σ1y=σ2y，

σ1mx=σ2mx=σ1my=σ2my，注意只是數(shù)值上相等。各取值可以參考相關(guān)文獻(xiàn)。PML層為有限厚度，最外層為理想導(dǎo)體。TM波在PML中的FDTD更新方程為：

1.3UPML吸收邊界

UPML吸收邊界由Sack等人提出，它與PML類似，需要設(shè)置幾層介質(zhì)，這些介質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)膯屋S各向異性介質(zhì)的本構(gòu)參數(shù)，二維情況如圖3所示。

圖3　UPML邊界參數(shù)設(shè)置Fig.3 Parameter setting of UPML boundary

若UPML表面垂直于x軸，相對(duì)本構(gòu)參數(shù)為：

同樣，若UPML表面垂直于y軸，參數(shù)為：

對(duì)于sx，y的取值，一般取作

κx，y、σx，y取值可參考文獻(xiàn)［16］，對(duì)于UPML內(nèi)的更新方程，需要引入中間變量D、B，對(duì)于二維TM波來說，其更新方程為：

可以看出，電場(chǎng)更新方程的推進(jìn)步驟為Hx，Hy→Dz，Dz→Ez。同樣，

磁場(chǎng)分量按照Ez→Bx，ByBx，By→Hx，Hy的步驟推進(jìn)，注意在更新過程中，κx、κy、σx、σy在UPML不同的位置上取值不同，并不是保持不變的。

1.4CPML吸收邊界

CPML吸收邊界是基于坐標(biāo)伸縮麥克斯韋方程導(dǎo)出平面波在分界面的無反射條件，坐標(biāo)伸縮麥克斯韋方程是將原算子?定義成?s，即：

經(jīng)過復(fù)雜推導(dǎo)可知，以二維情況為例，如果分界面一側(cè)為常規(guī)介質(zhì)，參數(shù)為ε1、μ1，另一側(cè)為坐標(biāo)伸縮介質(zhì)，參數(shù)為ε2、μ2、s2x、s2y。當(dāng)分界面垂直于x軸時(shí)，只需ε2=ε1、μ2=μ1、s2y=1，同樣，當(dāng)分界面垂直于y軸時(shí)，只需ε2=ε1、μ2=μ1、s2x=1，波在分界面不會(huì)發(fā)生反射。對(duì)于沒有限制的參數(shù)，一般取作：

可以看出，sw的選擇與UPML參數(shù)相似，只是分母多了個(gè)aw，主要是為了改善對(duì)倏逝波和低頻波的吸收。對(duì)于κw、σw、aw的數(shù)值選擇，可以參考文獻(xiàn)［16］。

由于sw選用了式（19）結(jié)構(gòu)，伸縮坐標(biāo)麥克斯韋旋度方程的時(shí)域形式會(huì)出現(xiàn)卷積運(yùn)算，以二維TM波為例，波分量分別為：

將式（20）第1式卷積項(xiàng)記為：

通過遞歸卷積技術(shù)對(duì)式（21）卷積進(jìn)行處理，使之具有迭代特性，為：

因此，TM波在伸縮坐標(biāo)介質(zhì)中的FDTD更新方程為：

式（23）中：

可見，與自由空間相鄰的CPML中的步進(jìn)步驟為E→ψHwv，E、ψHwv→H，H→ψEwv，H、ψEwv→E。

至此，已經(jīng)簡(jiǎn)單介紹了4種吸收邊界的原理，并給出了二維情況下TM波的FDTD更新方程。對(duì)于TE波，可以通過對(duì)偶原理得到，不再詳述。

2　編程分析

本文采用Matlab平臺(tái)，對(duì)這4種吸收邊界進(jìn)行了編程分析，分別就高斯源和正弦源2種情況，討論4種吸收邊界的性能。

本文的算例為一自由空間，由80×80個(gè)網(wǎng)格構(gòu)成，單元網(wǎng)格為邊長(zhǎng)為1mm的正方向網(wǎng)格。在自由空間的中心放置z方向的外加電流源，定義取樣z向電場(chǎng)，位于源中心右上角20個(gè)網(wǎng)格處，示意圖如圖4所示。運(yùn)行時(shí)間為1 800時(shí)間步。

圖4　算例示意圖Fig.4 Schematic diagram of calculation example

對(duì)于Mur吸收邊界，不需要在自由空間外圍添加介質(zhì)層，對(duì)其他3種邊界需要添加介質(zhì)層，本文添加了10個(gè)網(wǎng)格作為介質(zhì)層，因而總的網(wǎng)格數(shù)為100×100。

為了確定各邊界的吸收性能，本文給出了一個(gè)參考例子，該參考例子與算例相同，只是自由空間由1 200×1 200網(wǎng)格構(gòu)成，并且四周為PEC邊界，由于自由空間較大，反射波在1 800個(gè)時(shí)間步后不能達(dá)到取樣點(diǎn)，故取樣點(diǎn)的電場(chǎng)可作為自由空間內(nèi)的參考場(chǎng)。

1）高斯源激勵(lì)。首先，采用高斯電流源激勵(lì)，由于電流為z向，因而激勵(lì)起TM波向外傳播，通過構(gòu)造高斯源，使之頻帶范圍為20 MHz～20 GHz。在參考例子中，得到取樣點(diǎn)的電場(chǎng)隨時(shí)間的變化，如圖5所示。

圖5　參考例子取樣點(diǎn)電場(chǎng)Fig.5 Field of sample point in reference example

分別采用4種吸收邊界，在取樣點(diǎn)得到的電場(chǎng)如圖6所示。從圖6中可以看出，PML、UPML以及CPML的電場(chǎng)線條幾乎重合在一起，通過放大圖可以看到Mur吸收邊界與其他3種邊界稍有不同，為了明顯表示出4種邊界與參考例子的結(jié)果的差異，引入誤差函數(shù)：

Error的時(shí)間函數(shù)如圖7所示。

圖6　4種吸收邊界下取樣點(diǎn)電場(chǎng)Fig.6 Field of sample point of four absorbing boundaries

圖7　誤差函數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.7 Change of Error function versus time

從圖7中可以看出，在波形變化最劇烈的時(shí)間段里，吸收性能強(qiáng)弱依次為CPML、UPML、PML、Mur。在本例中，取樣點(diǎn)離邊界比較遠(yuǎn)，CPML、UPML、PML這3種吸收邊界性能相差不是很大，但依然要比Mur吸收邊界要好的多。這里繼續(xù)考察誤差函數(shù)在頻域中的變化，即

式（31）中，F(xiàn)（·）表示傅里葉變化。

Errorf圖如圖8所示。

圖8　誤差函數(shù)隨頻率的變化Fig.8 Change of Error function versus frequency

從圖8可以看出，CPML在整個(gè)頻域內(nèi)都表現(xiàn)出很好的吸收性能，UPML在整個(gè)頻域內(nèi)表現(xiàn)出了吸收的穩(wěn)定性，而PML同樣具有較好的吸收效果，但是在低頻時(shí)性能要差于CPML和UPML。對(duì)于Mur吸收邊界，依舊是這4種吸收邊界最差的1種吸收邊界。但從消耗內(nèi)存和時(shí)間方面來講，Mur吸收邊界由于不需要額外介質(zhì)層，建模時(shí)網(wǎng)格數(shù)要少，并且邊界處理簡(jiǎn)單，因而是消耗內(nèi)存和時(shí)間最少的1種吸收邊界。表1展示了4種邊界計(jì)算時(shí)耗費(fèi)的時(shí)間。從中可以看出，PML、UPML、CPML消耗時(shí)間相差無幾。

表1　4種邊界計(jì)算時(shí)間Tab.1 Computation time of four boundaries

2）正弦源激勵(lì)。將上個(gè)算例中的高斯源換成正弦源，頻率為15 GHz，同樣，在取樣點(diǎn)采樣電場(chǎng)分量，在自由空間內(nèi)波形如圖9所示。

圖9　參考例子取樣點(diǎn)電場(chǎng)Fig.9 Field of sample point in reference example

4種吸收邊界取樣點(diǎn)誤差函數(shù)如圖10所示。從圖10可以看出，當(dāng)激勵(lì)源為正弦波形時(shí)，誤差函數(shù)呈現(xiàn)出周期變化的形式，而且每一種吸收邊界相對(duì)于高斯波形，吸收性能都有所下降，例如CPML在高斯波形時(shí)誤差函數(shù)在-100dB之下，在正弦波形中，誤差函數(shù)在-60dB左右，其他3種也出現(xiàn)相同的特點(diǎn)，Mur吸收邊界從-50dB下降到-20dB左右。究其原因，本文認(rèn)為相比高斯信號(hào)，周期信號(hào)變化劇烈，誤差累積較大引起的。而且PML、UPML、CPML這3種吸收邊界對(duì)正弦波信號(hào)的吸收沒有太大差別。

圖10　誤差函數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.10 Change of error function versus time

對(duì)于正弦波激勵(lì)，還可以考察在整個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的等相位線。相比其他3種邊界，以吸收性能較差的Mur吸收邊界為例，如圖11所示，可以看到邊界處吸收性能良好，等相位線呈同心圓分布，而且其誤差函數(shù)呈現(xiàn)穩(wěn)定性能，可以迭代足夠長(zhǎng)的時(shí)間而不產(chǎn)生數(shù)值發(fā)散。由此可以看出，雖然各吸收邊界的性能相比有強(qiáng)有弱，但都是性能比較好的吸收邊界。

圖11　Mur吸收邊界正弦波等相位線Fig.11 Sine wave equal phase line of Mur absorbing boundary

3　總結(jié)

本文對(duì)FDTD常用的吸收邊界進(jìn)行了性能分析，首先簡(jiǎn)要介紹了幾種常用吸收邊界（Mur、PML、UPML、CPML）的基本原理，從中可以發(fā)現(xiàn)Mur吸收邊界原理最為簡(jiǎn)單，其他3種邊界理論較為復(fù)雜。采用Matlab編程，考察各吸收邊界的性能，通過對(duì)高斯型和正弦型信號(hào)傳播進(jìn)行分析，總體來說，Mur吸收邊界不如其他3種邊界吸收效果，PML吸收邊界在低頻段吸收性能變?nèi)?，UPML對(duì)各頻段電磁波的吸收具有比較好的穩(wěn)定性。CPML的吸收性能在各個(gè)頻段內(nèi)都具有比較好的吸收性能。對(duì)于正弦波信號(hào)，4種吸收邊界的性能都有所下降，但還是具有比較好的吸收效果，即便對(duì)于性能最差的Mur吸收邊界。采用FDTD分析電磁輻射或散射時(shí)，這4種邊界選擇可以是任意的，也可以根據(jù)實(shí)際情況加以選擇。如果對(duì)精度要求不高，要求又快又省內(nèi)存，可以考慮采用Mur吸收邊界。如果對(duì)精度要求較高，且波源是寬帶源時(shí)，可以考慮采用CPML吸收邊界。隨著算法深入研究，不同場(chǎng)合下的吸收邊界問題也被逐步研究，例如并行算法、非均勻網(wǎng)格下的吸收邊界問題［17-18］。

［1］THENG H G，ENG L T.Unconditionally stable fundamental LOD-FDTD method with second-Order temporal accuracy and complying divergence［J］.IEEE Transaction onAntennas and Propagation，2013，61（5）：2630-2638.

［2］ALOK K S，KUMAR V S.A three-dimensional unconditionally stable five-step LOD-FDTD method［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2014，62（3）：1321-1329.

［3］STANISLAV O，PAN G W.An updated review of general dispersion relation for conditionally and unconditionally stable FDTD algorithms［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，2008，56（8）：2572-2583.

［4］胡曉娟.復(fù)雜目標(biāo)電磁散射的FDTD及FDTD算法研究［D］.西安電子科技大學(xué)，2007. HU XIAOJUAN.Study of FDTD and FDTD algorithms for electromagnetic Scattering by complex targets［D］. Xidian University，2007.（in Chinese）

［5］常雷.超寬帶天線及陣列的大規(guī)模并行模擬與優(yōu)化研究［D］.成都：西南交通大學(xué)，2013. CHANG LEI.Study of large scale paralle numerical simulation and optimization for ultra-wideband antenna and array［D］.Chengdou：Southwest Jiaotong University，2013.（in Chinese）

［6］郭瀟菲.天線問題的FDTD研究［D］.西安：西安電子科技大學(xué)，2005. GUO XIAOFEI.Analysis of antenna by using FDTD［D］. Xi'an：Xidian University，2005.（in Chinese）

［7］MUR G.Absorbing boundary conditions for the finite dif-ference approximation of the time-domain electro-magnetic field equations［J］.IEEE Transaction Electromagnetic Compatibility，1981，23（4）：377-382.

［8］BERENGER J P.Perfectly matched layer for the FDTD solution of wave-structure interaction problem［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1996，44（1）：110-117.

［9］SACKS Z S，KINGSLAND D M，LEE J F.A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1995，43（12）：1460-1463.

［10］CHEW W C，WEEDON W H.A 3-D perfectly matched medium for modified Maxwell's equations with coordinates［J］.Microwave and Optical Technology Letters，1994，7（13）：590-604.

［11］KUZUOGLU M，MITTRA R.Frequency dependence of the constitutive parameters of causal perfectly matched anisotropic absorbers［J］.Microwave and Guided Wave Letters，1996，6（12）：447-449.

［12］RODEN J，GEDNEY S.Convolution PML（CPML）：an efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media［J］.Microwave and Optical Technology Letters，2000，27（5）：334-339.

［13］BERENGER J P.Perfectly matched Layer（PML）for computational Electromagnetic［M］.San Rafael，CA：Morgan&Claypool Publishers，2007：1-117.

［14］魏兵，李小勇，王飛，等.一種色散介質(zhì)FDTD通用吸收邊界［J］.物理學(xué)報(bào)，2009，58（9）：6174-6178. WEI BING，LI XIAOYONG，WANG FEI，et al.A finite difference time domain absorbing boundary condition for general frequency-dispersive media［J］.Acta Physica Sini ca，2009，58（9）：6174-6178.（in Chinese）

［15］楊利霞，梁慶，于萍萍，等.三維新型非分裂場(chǎng)完全匹配層吸收邊界條件［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26（1）：67-72. YANG LIXIA，LIANG QING，YU PINGPING，et al.A novel 3D non-splitted field perfectly matched layer absorbing boundary condition in FDTD computation［J］. Chinese Journal of Radio Science，2011，26（1）：67-72.（in Chinese）

［16］葛德彪，閆玉波.電磁波時(shí)域有限差分方法［M］.3版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011：45-115. GE DEBIAO，YAN YUBO.Finite difference time-domain method for electromagnetic waves［M］.3rded.Xi'an：Xidian University Press，2011：45-115.（in Chinese）

［17］姜彥南，葛德彪，魏兵.時(shí)域有限差分并行算法中的吸收邊界研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30（9）：1636-1640. JIANG YANNAN，GE DEBIAO，WEI BING.Study on absorbing boundary condition in parallel FDTD algorithm［J］.Systems Engineering and Electronics，2008，30（9）：1636-1640.（in Chinese）

［18］王文達(dá).非均勻網(wǎng)格FDTD算法的研究與應(yīng)用［D］.太原：太原理工大學(xué)，2013. WANG WENDA.Study and application by non uniform mesh FDTD［D］.Taiyuan：Taiyuan University of Technology，2013.（in Chinese）

Performances Analysis of Absorbing Boundaries Used Commonly in Finite Difference Time Domain

YU Tao，QI Zongfeng，LI Zhipeng
（State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System，Luoyang Henan 471003，China）

The performances of absorbing boundaries used commonly in FDTD，including Mur absorbing boundary，PML，UPML，CPML，were analyzed in this paper.Firstly，the theoretic foundations of this several absorbing boundaries were introduced briefly.Then，the performances were simulated using Matlab based on the first part by capturing the electric fields of Gauss source and sine source，respectively.Finally，the characteristics of the four kinds of absorbing boundaries were summarized.

Mur absorbing boundary；PML；UPML；CPML；FDTD

TN011；O441.4

A

1673-1522（2016）05-0506-07

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.05.002

2016-04-25；

2016-07-12

省部級(jí)預(yù)研基金資助項(xiàng)目（51333020201）

于濤（1986-），男，工程師，博士。