王廣欣,何文杰,李丹

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滾錐齒章動活齒傳動中心盤齒面接觸強度分析

王廣欣1,2,何文杰1,李丹3

(1.大連交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028; 2.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系，遼寧 大連 116000；3.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鐵道牽引與動力學(xué)院，湖南 株洲 412000)

根據(jù)章動活齒傳動的原理，利用 Pro/E軟件完成滾錐齒章動活齒傳動裝置的整機三維實體模型.應(yīng)用接觸力學(xué)的有關(guān)理論建立了中心盤的受力分析模型，分析了傳動裝置中滾錐活齒與中心盤的受力狀態(tài).分別利用 Hertz彈性接觸理論和有限元軟件完成滾錐活齒與中心盤齒面間接觸強度的分析與計算，驗證了所建立的力分析模型的正確性；得到關(guān)鍵件中心盤齒面受力時的應(yīng)力分布規(guī)律，并提出了相應(yīng)的改進措施,為后續(xù)的產(chǎn)品設(shè)計提供了理論依據(jù).

章動；活齒傳動；接觸強度；有限元分析

0 引言

章動活齒傳動是近年來在偏擺錐齒少齒差行星傳動的基礎(chǔ)上，以活齒滾動嚙合副代換內(nèi)錐齒輪嚙合副而形成的一種多齒嚙合的新型空間活齒傳動，具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、零件少、傳動比大、承載能力強和無輸出機構(gòu)等優(yōu)點，具有廣泛的發(fā)展空間和重要的應(yīng)用價值.如龔發(fā)云、胡來瑢[1-2]等人詳細研究了偏擺錐差行星機構(gòu)中偏擺錐齒輪的運動學(xué)和力學(xué)情況，給出了錐齒輪的受力計算公式；姚立綱[3]等人建立了雙圓弧螺旋錐齒輪的三維實體模型，在此基礎(chǔ)之上利用虛擬樣機技術(shù)對其進行了運動和動力性仿真；李瑰賢[4]、李劍鋒[5]等人分別從圓柱正弦活齒傳動和凸輪激波滾動活齒傳動方面推導(dǎo)出了活齒傳動時力學(xué)計算公式；陳兵奎[6]等人利用有限元方法分析了空間凸輪活齒傳動時的接觸應(yīng)力；王廣欣[7-9]等人從傳動原理、齒形方程、壓力角計算等方面對章動活齒傳動進行了研究分析，設(shè)計制造出試驗樣機并完成了相關(guān)試驗檢測.

本文在此基礎(chǔ)上，以滾錐齒章動活齒傳動為研究對象，通過對滾錐活齒與中心盤所組成的活齒嚙合副進行受力分析，推導(dǎo)出中心盤嚙合時的受力計算公式，利用理論方法和有限元軟件分別對模型進行分析，得到中心盤的齒面接觸強度的分布規(guī)律，并根據(jù)分析結(jié)果提出了相應(yīng)的改善措施，為后續(xù)結(jié)構(gòu)設(shè)計提供理論依據(jù).

1 工作原理

滾錐齒章動活齒傳動簡圖如圖1所示，它主要由輸入和輸出軸、中心盤、滾錐活齒以及行星盤四部分組成.固定中心盤上波(齒)數(shù)為Z1，固定盤側(cè)行星盤上滾錐活齒數(shù)為Z2，轉(zhuǎn)動中心盤上波(齒)數(shù)為Z4，轉(zhuǎn)動盤側(cè)行星盤上滾錐活齒數(shù)為Z3.輸入軸通過軸承與行星盤相連，固定中心盤與機架固連，轉(zhuǎn)動中心盤與輸出軸聯(lián)接，輸入軸的軸線與行星盤所在傾斜軸段處軸線的夾角為章動角α.

圖1 滾錐齒章動活齒傳動簡圖

當(dāng)輸入軸在電機帶動下以恒定角速度轉(zhuǎn)動時，帶動行星盤通過兩側(cè)的滾錐活齒分別與固定中心盤、輸出軸上的轉(zhuǎn)動中心盤作嚙合滾動，從而實現(xiàn)傳遞運動和動力.

2 中心盤的三維實體建模

滾錐齒章動活齒傳動的基本參數(shù)如下：固定中心盤齒數(shù)Z1=15，固定盤側(cè)活齒齒數(shù)Z2=16，轉(zhuǎn)動盤側(cè)活齒齒數(shù)Z3=11，轉(zhuǎn)動中心盤盤齒數(shù)Z4=10，章動角α=2.5°，傳動比i=32，固定盤側(cè)滾子半錐角V1=3°，轉(zhuǎn)動盤側(cè)滾子半錐角V2=5°，固定盤側(cè)滾子軸線傾斜角β1=21.5°，轉(zhuǎn)動盤側(cè)滾子軸線傾斜角β2=21.5°.根據(jù)文獻[8-9]知，將相關(guān)參數(shù)代入中心盤的嚙合方程，可求得中心盤的單齒齒廓的空間坐標(biāo)參數(shù)方程，在Pro/E軟件里通過方程建立空間曲線這一功能，繪制所求得的參數(shù)方程，即可將中心盤的齒廓曲線完整的在Pro/E軟件中實現(xiàn)，再通過邊界混合等功能即可建立出中心盤的三維實體模型，具體如圖2.

圖2 中心盤三維實體模型

3 中心盤的齒面接觸強度分析

3.1 中心盤的力分析模型

(1) 建立分析模型

根據(jù)章動活齒傳動的嚙合原理[8]，在構(gòu)建固定中心盤的受力分析模型時，可取固定中心盤齒寬中點處的當(dāng)量平面齒輪進行載荷分配計算，則其受力如圖3所示.

設(shè)等效活齒在與當(dāng)量平面齒輪嚙合時作用在當(dāng)量平面齒輪上的力為Fi(i取1～7)，從圖可以看出，有一半的等效活齒與當(dāng)量平面齒輪是嚙合受力，另一半則是僅接觸不傳力.當(dāng)量平面齒輪的齒數(shù)為Zv1=Z1/cosδ1，半徑為Rv1=R1/cosδ1， Z1、 R1、 δ1分別為固定中心盤的齒數(shù)、半徑、節(jié)錐角.

圖3 固定中心盤側(cè)的力分析模型

在假定中心盤瞬時不動的情況下，對行星盤施加一個順時針方向的力矩，在該力矩的作用下，等效活齒與當(dāng)量平面齒輪間會產(chǎn)生接觸變形，由于固定中心盤固定不動，因此等效活齒中心會轉(zhuǎn)過一個Δφ角，各活齒中心也相應(yīng)的發(fā)生一個相同的微小的周向位移Δu，再根據(jù)固定中心盤上傳遞的扭矩M1須與各分力Fixy所產(chǎn)生的力矩相等，即可求得等效活齒作用在當(dāng)量平面齒輪上的分力Fixy的大小，再考慮行星盤、活齒和中心盤的加工制造誤差、安裝誤差引起的活齒間載荷分布不均勻等情況，根據(jù)文獻[8]知，分力Fixy的計算公式為：

(1)

將式(1)轉(zhuǎn)換至空間嚙合坐標(biāo)系S1(O,X1,Y1,Z1)有：

(2)

同理，取轉(zhuǎn)動中心盤齒寬中點處的當(dāng)量平面齒輪進行載荷分配計算.其等效活齒在與當(dāng)量平面齒輪嚙合時作用在當(dāng)量平面齒輪上的力為Fi(i取1～5)，傳動過程中有一半的等效活齒與當(dāng)量平面齒輪嚙合受力，另一半則是僅接觸不傳力.當(dāng)量平面齒輪的齒數(shù)為Zv4=Z4/cosδ4，半徑為Rv4=R4/cosδ4，Z4、R4、δ4分別為轉(zhuǎn)動中心盤的齒數(shù)、半徑、節(jié)錐角.則轉(zhuǎn)動盤側(cè)等效活齒作用在當(dāng)量平面齒輪上的力的各個分量為：

(3)

圖4為行星盤的受力分析模型.經(jīng)分析可知，在不考慮摩擦?xí)r，作用在行星盤上的力有：兩側(cè)嚙合力F2和F3，輸入軸通過兩個圓錐滾子軸承對章動盤的作用力Pr、Pz和Qr，以及進動力矩與慣性力矩的合力矩M.將計算出來的固定中心盤和轉(zhuǎn)動中心盤的力F1和F4反向并轉(zhuǎn)換到行星盤所在的坐標(biāo)系SG(OG,XG,YG,ZG)中，即可求得F2和F3.

圖4 行星盤的受力分析模型

利用變換矩陣T

(4)

上式中α為章動角.

由F2=T·F1，可得

(5)

其中力F2的作用點P在坐標(biāo)系SG(OG,XG,YG,ZG)中的坐標(biāo)為(l20 r3).

同理，由F3=T*F4，可得

(6)

其中力F3的作用點Q在坐標(biāo)系SG(OG,XG,YG,ZG)中的坐標(biāo)為(l30 r2).

在上面那些力中，除了已知的參數(shù)外，還剩下六個未知量：Pr、Qr、Pz、θbi、λ、ξ，可由下面六個力學(xué)平衡方程求出：

(7)

其中，∑MY=M是考慮了進動力矩和慣性力矩，若M取零值則方程就是普通的靜力學(xué)平衡方程.

(2) 求解方程組

將行星盤看作是繞自身軸線做回轉(zhuǎn)運動的對稱剛體時，根據(jù)歐拉動力學(xué)方程，行星盤做規(guī)則進動時的進動力矩M為：

(8)

中心盤節(jié)圓錐錐角

(9)

行星盤節(jié)圓錐錐角

(10)

給定額定輸出功率及輸出轉(zhuǎn)速：P4=2.2kW，n4=40r/min,通過mulNewton算法，利用MATLAB軟件求解非線性方程組(7)，所得結(jié)果如表1所示.

表1 非線性方程組求解最終值

注：表中n為求解的迭代步數(shù)

3.2 Hertz彈性接觸理論分析

由于中心盤與滾錐活齒的實際齒面接觸可視為兩個瞬時圓柱體的線接觸，根據(jù)Hertz彈性接觸理論，彈性圓柱體接觸表面最大接觸應(yīng)力的計算公式[10]為：

(11)

通過前面求解方程組得到的解，得固定盤側(cè)P1=47.1801 N，轉(zhuǎn)動盤側(cè)P2=2.133×103 N.活齒和中心盤的材料分別為GCr15、40Cr，相關(guān)材料特性見表2[11]，最大許用接觸應(yīng)力分別為876、530 MPa[11].固定盤側(cè)滾子和轉(zhuǎn)動盤側(cè)滾子的曲率半徑分別為19.0511、50.122 9 mm，固定中心盤和轉(zhuǎn)動中心盤的最大曲率半徑分別為336.150 6、340.902 4 mm.將相關(guān)參數(shù)代入式(11)，可得到固定中心盤和轉(zhuǎn)動中心盤在與滾錐活齒嚙合時的最大齒面接觸應(yīng)力分別為：σ1Hmax=79.661 5 MPa， σ2Hmax=344.051 1 MPa，均小于其最大許用接觸應(yīng)力.

表2 材料特性參數(shù)

由于中心盤與滾錐活齒是以兩錐面的形式相接觸的, 如圖5所示.根據(jù)文獻[12]對其載荷和曲率進行修正計算.修正后得到的接觸應(yīng)力分別為：σ1Hmax=77.079 0 MPa， σ2Hmax=332.491 6 MPa，比Hertz彈性接觸理論的等效模型的計算值有所減小，也更加接近實際應(yīng)力值.

圖5 Hertz等效模型和實際模型接觸簡圖

3.3 ABAQUS有限元分析

(1) 模型簡化和網(wǎng)格劃分

將在Pro/E里生成的三維模型保存為stp格式文件導(dǎo)入ABAQUS軟件[13]里.由于滾錐齒章動活齒傳動裝置里的中心盤屬于空間曲面類零件，齒形比較復(fù)雜，因此需要處理掉影響模型六面體網(wǎng)格劃分及影響分析時的精度和收斂性的倒邊、倒角、螺紋孔以及一些其他的不必要的小特征.簡化模型后，定義相關(guān)模型的材料特性，如表2.

對于有限元分析來說，網(wǎng)格單元類型的選取及劃分情況將直接影響收斂性和分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此采用接觸類分析中的8節(jié)點六面體縮減積分單元C3D8R.劃分網(wǎng)格后的固定盤側(cè)模型及轉(zhuǎn)動盤側(cè)模型分別如圖6所示，固定盤側(cè)模型共有431026個單元，512316個節(jié)點；轉(zhuǎn)動盤側(cè)模型共有152558個單元，183342個節(jié)點.最后校驗網(wǎng)格的雅克比(jacobian)和扭曲角(vol skew)無誤.

圖6 模型網(wǎng)格

(2)定義約束和接觸

根據(jù)實際嚙合情況，銷軸和滾錐活齒，滾錐活齒和中心盤都是面面接觸.在定義接觸對時，銷軸和滾錐活齒嚙合時選擇銷軸的外表面作為主面，滾錐活齒的內(nèi)表面作為從面；滾錐活齒和中心盤嚙合時選擇中心盤齒面作為主面，滾錐活齒的外表面作為從面.滑移方式中兩對接觸均選擇小滑移.在接觸屬性里，定義滾錐活齒和銷軸接觸時，將其法向?qū)傩远x為硬接觸，切向?qū)傩远x為無摩擦；定義滾錐活齒和中心盤接觸時，將其法向?qū)傩远x為硬接觸，切向?qū)傩远x為有摩擦，摩擦系數(shù)為0.1[14].

定義約束時，將行星盤兩側(cè)銷軸均設(shè)為剛體約束，將其指定到一點O1,2上，以模擬行星盤帶著銷軸通過滾子和中心盤嚙合傳動.

(3)施加載荷及定義邊界條件

施加載荷時，可直接在O1,2點上施加扭矩，固定中心盤及轉(zhuǎn)動中心盤側(cè)施加的扭矩大小分別為：19 895.8、466 888.9 N·mm.在定義邊界條件時，將固定中心盤的底面作為固定邊界條件，限制六個自由度；約束O1,2點除在章動面上的旋轉(zhuǎn)之外的其他五個自由度，用以模擬固定中心盤不動，銷軸帶著滾錐活齒轉(zhuǎn)動.對于轉(zhuǎn)動中心盤側(cè)則是銷軸和滾錐活齒不動，轉(zhuǎn)動中心盤轉(zhuǎn)動，因此將O1,2點作為固定邊界條件，限制六個自由度；除轉(zhuǎn)動中心盤的底面轉(zhuǎn)動約束外，限制其他五個自由度.

(4)求解及結(jié)果分析

由于本模型單元網(wǎng)格較多，又屬于多體接觸分析，因此計算量比較大，為了節(jié)省計算時間，在分析步中采用了質(zhì)量縮放系數(shù)[13].圖7和圖8分別為固定中心盤側(cè)及轉(zhuǎn)動中心盤側(cè)嚙合的計算結(jié)果.

圖7 固定盤側(cè)模型云圖

圖8 轉(zhuǎn)動盤側(cè)模型云圖

從圖7和圖8可以看出：固定中心盤及轉(zhuǎn)動中心盤上各分布六條受力區(qū)，約有半數(shù)活齒參與嚙合；固定中心盤的最大接觸應(yīng)力為60.49 MPa，出現(xiàn)在盤的外側(cè)邊緣區(qū)域；轉(zhuǎn)動中心盤的最大接觸應(yīng)力為251.5 MPa，出現(xiàn)在盤的內(nèi)側(cè)邊緣區(qū)域；中心盤的最大應(yīng)力值均出現(xiàn)在與滾錐活齒接觸的兩個端部，這與試驗中出現(xiàn)的滾子端部易出現(xiàn)的應(yīng)力集中現(xiàn)象是一致的，后續(xù)工作將對滾錐活齒進行凸度設(shè)計避免兩端的邊緣效應(yīng)；有限元分析值要略小于Hertz理論計算值；由于Hertz彈性接觸理論計算采用等效模型，因此理論計算值要偏高，這使設(shè)計更偏于安全.

4 結(jié)論

本文針對章動活齒傳動中的滾錐活齒與中心盤所組成的活齒嚙合副，在力分析的基礎(chǔ)上分別運用Hertz彈性接觸理論和有限元法計算了中心盤的齒面接觸強度，結(jié)論如下：

(1)建立中心盤的力分析模型，推導(dǎo)出中心盤嚙合時的受力計算公式，以及中心盤的齒面接觸強度計算公式；通過理論計算和軟件有限元分析計算結(jié)果可以看出，針對中心盤所構(gòu)建的力分析模型是合理的，正確的；

(2)通過比對可知，有限元軟件的分析云圖與Hertz彈性理論的線接觸相吻合，接觸區(qū)為橢圓區(qū)域，也符合實際情況；而各齒嚙合情況與理論分析相吻合，即約有一半活齒參與嚙合傳動；

(3)有限元軟件分析結(jié)果表明，固定中心盤的最大應(yīng)力出現(xiàn)在盤的外側(cè)邊緣區(qū)域，說明固定盤外側(cè)邊緣區(qū)域容易先發(fā)生接觸疲勞失效；轉(zhuǎn)動中心盤的最大應(yīng)力出現(xiàn)在盤的內(nèi)側(cè)邊緣區(qū)域，說明轉(zhuǎn)動盤內(nèi)側(cè)邊緣區(qū)域容易先發(fā)生接觸疲勞失效；可通過對中心盤的嚙合區(qū)域進行修形來消除兩側(cè)的應(yīng)力集中；

(4)轉(zhuǎn)動中心盤側(cè)最大接觸應(yīng)力大于固定中心盤側(cè)最大接觸應(yīng)力，可通過優(yōu)化增加轉(zhuǎn)動中心盤盤側(cè)的嚙合活齒數(shù)來改善其受力狀況.

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Analysis of Center Disk Tooth Surface Contact Strength on Nutation Transmission with Conical Movable Teeth

WANG Guangxin1,2, HE Wenjie1,LI Dan3

(1.School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China; 2.Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116000, China; 3.Hunan Railway Professional Technology Couege, Zhuzhou 412000,China)

Based on the theory of the nutation transmission with conical movable teeth, the 3D model of the whole transmission device is established by Pro/E for a given set of parameters. The force analysis model of the center disk is established using the theory of contact mechanics, and the conical movable teeth and the center disk force state in the transmission are analyzed. The analysis of the center disk tooth surface contact strength is conducted using Hertz elastic contact theory and finite element method. The results show the correctness of the force analysis model established, and the stress distribution of the center disk is obtained. The corresponding improvement measures are proposed, which provides a theoretical basis for follow-up product design.

nutation；movable teeth transmission；contact strength；finite element analysis

1673- 9590(2016)02- 0032- 06

2015-05-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(50905021)

王廣欣(1979-)，男，副教授，博士，主要研究方向為新型傳動、運動與康復(fù)器械、機械動力學(xué)E- mail:wgx@djtu.edu.cn.

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