鄭 博，張澤旭

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150080)

?

載人小行星探測最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設計

鄭 博，張澤旭

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150080)

為實現(xiàn)對目標小行星的載人探測，提出一種時間嚴格約束條件下的最優(yōu)兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道設計與優(yōu)化方法.針對載人小行星探測任務的特點，建立了兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道設計方案，初步設計了兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道，并且利用序列二次規(guī)劃算法進行了軌道優(yōu)化，得到了各轉(zhuǎn)移階段的發(fā)射、到達窗口和最優(yōu)往返轉(zhuǎn)移軌道.仿真結(jié)果表明，給出的最優(yōu)兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道單次施加脈沖能夠控制在5 km/s以內(nèi)，可以滿足未來300 d內(nèi)的能量較小的載人小行星探測任務.

載人小行星探測；星際轉(zhuǎn)移軌道；軌道設計與優(yōu)化；兩脈沖軌道；發(fā)射窗口搜索

從20世紀后期開始，世界各國開展的深空探測活動日益頻繁，探測目標的選擇更具有挑戰(zhàn)性，逐步轉(zhuǎn)向小行星、火星等地外天體；探測方式也不斷更新，從無人探測逐步向載人探測發(fā)展.美國國家航空航天局(NASA)于1989年發(fā)射了“Galileo號”探測器執(zhí)行木星探測任務，在飛往木星的途中訪問了Gaspra和Ida兩顆主帶小行星，揭開了小行星探測的序幕[1].此后，美國于1996年發(fā)射的“尼爾號”探測器也對Eros小行星進行了繞飛探測并成功著陸[2-3]；日本于2003年發(fā)射的“隼鳥號”探測器成功實現(xiàn)了對Itokawa小行星的采樣返回探測任務[4]；中國的“嫦娥號”探測器于2012年成功實現(xiàn)了對Toutatis小行星的飛越探測[5-6].迄今為止，人類已經(jīng)進行了多次無人小行星探測任務，但是無人探測始終具有局限性，任務的靈活性、有效性、可靠性均不如載人探測，很難對小行星進行深層次的科學探測.因此，載人小行星探測是解決這些問題的有效途徑.

在小行星探測轉(zhuǎn)移軌道設計方面，Mccue等[7]對任意兩個非共面橢圓軌道之間的轉(zhuǎn)移問題進行了研究，在已知轉(zhuǎn)移軌道的始末位置和飛行時間的情況下，應用兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的設計方式，得到發(fā)射-到達所需的總ΔV，再通過不斷地改變轉(zhuǎn)移軌道的始末位置和飛行時間，獲得相應的很多組發(fā)射-到達總ΔV，將所得到的發(fā)射-到達總ΔV的大小根據(jù)發(fā)射-到達日期的對應關(guān)系繪制成等高線圖，即“總ΔV的等高圖”，就可以尋找出最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的發(fā)射-到達窗口，得到初步確定的轉(zhuǎn)移軌道；文獻[7]最初將研究的轉(zhuǎn)移軌道設計方法僅應用于以地球為中心的不同高度的軌道之間，Hulkower等[8-9]在此研究基礎上，將該方法應用于太陽系內(nèi)不同行星間的轉(zhuǎn)移軌道設計中，為以后轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化算法的提出奠定了設計基礎；Lau[10]對近地小行星的可探測性進行了分析，并對近地小行星的可探測性進行了排序；任遠等[11]融合了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與古典變分理論，推導了兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的性能指標對可調(diào)參數(shù)的解析偏導數(shù)，并基于此方法提出了一種快速的兩脈沖軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法；崔平遠等[12]系統(tǒng)地研究中國開展小行星探測任務中候選目標星的篩選方法和星際轉(zhuǎn)移軌道設計方案，利用最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移方法，對Ivar小行星等典型小行星的交會軌道進行設計分析，給出了全局最優(yōu)兩脈沖交會軌道的設計參數(shù)；喬棟等[13]針對星際轉(zhuǎn)移發(fā)射機會搜索問題，基于主矢量原理，提出了在轉(zhuǎn)移時間固定的情況下，根據(jù)主矢量的變化情況尋找中間脈沖，搜索潛在的最優(yōu)多脈沖轉(zhuǎn)移發(fā)射機會，應用于多脈沖轉(zhuǎn)移領(lǐng)域.

本文在上述研究工作的基礎上，結(jié)合載人小行星探測嚴格的時間約束條件的同時，對單次脈沖大小進行約束，并通過序列二次規(guī)劃算法進行軌道優(yōu)化，對從地球停泊軌道到小行星繞飛軌道之間的往返轉(zhuǎn)移軌道進行了設計與優(yōu)化，該方法發(fā)射-到達窗口搜索速度明顯高于繪制能量等高圖.

1 載人小行星探測兩脈沖軌道方案

不同于載人月球探測，載人小行星探測是真正進入深空領(lǐng)域、脫離地球引力影響的長期性行星際飛行任務，這種任務經(jīng)歷是登月任務所不能取代的.從飛行距離、任務時間、任務難度而言，在載人探月、探火星、探小行星這3類任務中，載人小行星探測任務的規(guī)模居中，因此可作為載人登月和載人登火星任務之間的過渡，為載人登火星任務奠定基礎.

考慮未來載人深空探測任務飛行時間、運載能力、推進系統(tǒng)技術(shù)成熟度等約束，基于兩脈沖的轉(zhuǎn)移軌道方案設計仍然是載人小行星探測任務的重要選擇，該軌道方案主要過程如圖1所示.首先，在地球停泊軌道對載人深空探測器組合體施加一個加速脈沖TNI(trans-NEO injection)，使其進入地球-小行星Earth-Asteroid(E-A)的星際轉(zhuǎn)移軌道，在接近目標小行星時，施加一個減速脈沖NRI(NEO rendezvous insertion)，使載人深空探測器組合體環(huán)繞小行星伴飛，并開展星表科學探測；完成星表探測后，對探測器組合體施加一個加速脈沖TEI(trans-Earth injection)，脫離目標小行星繞飛軌道，進入小行星-地球Asteroid-Earth(A-E)星際轉(zhuǎn)移軌道，在探測器組合體到達地球停泊軌道附近時，施加減速脈沖EOI(Earth orbit injection)進入環(huán)地軌道.

圖1 載人小行星探測兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道方案描述

Fig.1 The program of two-impulse round-trip transfer trajectory for manned asteroid exploration

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

2 兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道設計

兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的設計關(guān)鍵是求解Gauss問題[14]，如果已知飛行器的始、末位置矢量(R0,Rf)、飛行時間t和飛行方向(順行、逆行)，就可以確定連接R0與Rf的轉(zhuǎn)移軌道，即確定飛行器的始、末速度矢量(v0,vf).

在二體引力場中，飛行器的位置和速度矢量可以表示為：

r2=f·r1+g·v1,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

對式(6)進行迭代計算，就可以求得Gauss問題的解.定義k=r1r2(1-cosθ)，l=r1+r2，m=r1r2(1+cosθ)，則軌道半長軸a可以表示為

(7)

飛行時間t可以表示為

(8)

由式(1)～(8)可以得出

(9)

(10)

載人探測任務對發(fā)射機會的搜索有嚴格的約束條件，時間約束是其中重要的軌道約束條件之一.假設地球發(fā)射時刻為T0，到達小行星時刻為T1，離開小行星時刻為T2，返回到地球的時刻為T3，則軌道設計參數(shù)可以寫成X=[T0，T1，T2，T3]T，探測軌道需要滿足以下時間約束：

10d≤T1-T0≤160d,

0d≤T2-T1≤20d,

10d≤T3-T2≤160d,

0d≤T3-T0≤340d.

根據(jù)以上針對交會類探測任務提出的各項約束條件，相應的搜索和優(yōu)化的目標函數(shù)可定義為

(11)

式中：ΔV1、ΔV2、ΔV3、ΔV4分別為T0、T1、T2、T3時刻施加的速度脈沖.相應地，各轉(zhuǎn)移階段所需施加的脈沖計算式如下：

(12)

式中：μE為地球引力常數(shù)；RE為地球的平均半徑，km；h為地球停泊軌道高度，km；vS為探測器的日心速度矢量，km/s；vE為地球的日心速度矢量，km/s；vA為小行星的日心速度矢量，km/s.

速度脈沖滿足的任務約束條件為

(13)

對于載人小行星探測任務，考慮到宇航員所能承受的最大過載能力，一般情況下A、B、C、D的大小都不超過5，并且越小越好.

3 兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化

利用序列二次規(guī)劃算法(sequential quadratic programming，SQP)對初步設計的兩脈沖軌道進行進一步優(yōu)化[15].SQP方法是求解帶約束優(yōu)化問題的高效方法，該方法的核心思想是：在進行每一步迭代時，都求解一個二次規(guī)劃子問題，以此來確立一個下降方向，通過減少價值函數(shù)來取得步長，重復上述步驟就可以求出原問題的解.應用牛頓-拉格朗日法求解該問題的基本原理如下:

式中,f(x)、hi(x)都是二階連續(xù)可微的實函數(shù).記h(x)=(h1(x),…,hl(x))T，則該問題的拉格朗日函數(shù)為

式中μ=(μ1,…,μl)T為拉格朗日乘子向量.約束函數(shù)h(x)的梯度矩陣為

則h(x)的Jacobi矩陣為A(x)=h(x)T，根據(jù)式(13)的KT(kuhn-tucker)條件，可以得到如下方程組

(14)

(15)

其中

是L(x,μ)函數(shù)關(guān)于x的Hesse陣，式(15)也被稱為KT矩陣.給定點zk=(xk,μk)的牛頓法迭代格式為

式中pk=(dk,vk)滿足線性方程組：

即

(16)

只要矩陣A(xk)行滿秩且W(xk,uk)是正定的，方程組(16)的系數(shù)矩陣是非奇異的，且該方程有唯一解.由于KT條件(14)是拉格朗日函數(shù)穩(wěn)定點的條件，所以通常把基于求解方程(14)的優(yōu)化方法稱為拉格朗日法.如果用牛頓法求解該方程組，則根據(jù)牛頓法的性質(zhì)，該方法具有局部二次收斂性質(zhì).

本文定義的尋優(yōu)變量T=[tl,tA]T，其中tl為發(fā)射時間，tA為到達時間，則待優(yōu)化的目標函數(shù)表示為式(11)所示.下面應用該方法對以下算例進行軌道優(yōu)化設計.

4 仿真算例與分析

根據(jù)載人小行星探測任務中，候選目標星的選星準則，綜合考慮目標小行星的類型、軌道特性、絕對星等、自旋周期、發(fā)射窗口等約束條件[16-17]，本文選取Nereus小行星(編號4660)作為載人小行星探測目標星.Nereus小行星的類型為Apollo小行星，直徑約為330m，公轉(zhuǎn)周期為1.82a，自轉(zhuǎn)周期為15.1h.在日心黃道坐標系下，歷元2 457 000.5(2014-12-09T0)Nereus小行星的基本軌道參數(shù),見表1.

根據(jù)發(fā)射時間約束條件，可以計算出E-A段和A-E段的發(fā)射-到達總ΔV與飛行時間關(guān)系圖，分別如圖2、3所示. 根據(jù)圖2、3，可初步得到地球到Nereus小行星的往返軌道初步設計參數(shù)(見表2)，其中停留星表時間14d.

表1 Nereus基本軌道參數(shù)

圖2 探測Nereus小行星E-A段總ΔV與飛行時間關(guān)系曲線

圖3 探測Nereus小行星A-E段總ΔV與飛行時間關(guān)系曲線

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表2 地球到Nereus小行星(E-A-E)軌道方案初步設計參數(shù)

Tab.2 The preliminary design parameters of transfer trajectory between Earth and Nereus Asteroid (E-A-E)

轉(zhuǎn)移階段出發(fā)日期到達日期飛行時間/d總ΔV/(km?s-1)E?A段2021-08-242021-12-241225．9635A?E段2022-01-072022-05-131267．7765

通過進一步軌道優(yōu)化，設計出從地球停泊軌道飛往小行星繞飛軌道的日心轉(zhuǎn)移軌道，如圖4所示，圖中黑色為地球運行軌道，藍色為小行星運行軌道，紅色為日心轉(zhuǎn)移軌道.

表3具體給出了J2000地心平赤道春分點坐標系下E-A段的優(yōu)化軌道設計參數(shù).探測器組合體2021年8月17日從地球停泊軌道出發(fā)，施加的加速脈沖ΔV1為3.256 766 862 km/s，到達小行星繞飛軌道的時間為2022年1月1日，施加的減速脈沖ΔV2為3.585 633 071 km/s，E-A段最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的總ΔV=6.842 399 933 km/s，整個E-A段優(yōu)化轉(zhuǎn)移飛行時間為136.826 265 d.

圖4 E-A段日心轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表3 E-A段兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化參數(shù)

圖5 A-E段日心轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

圖4，5給出的最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道是地球停泊軌道與小行星繞飛軌道(軌道高度500m)之間的轉(zhuǎn)移軌道.圖6為以地球為中心的A-E段轉(zhuǎn)移軌道，中心體為地球，紅色為地球停泊軌道，藍色為日心轉(zhuǎn)移軌道，其中x、y、z軸為探測器與日心間的距離；圖7為以小行星為中心的A-E段轉(zhuǎn)移軌道，中心體為小行星，紅色為小行星繞飛軌道，藍色為日心轉(zhuǎn)移軌道，其中x、y、z軸為探測器與日心間的距離.通過圖6,7可以更為清楚地看到地球停泊軌道與小行星繞飛軌道附近的轉(zhuǎn)移軌道情況.

表4具體給出了J2000地心平赤道春分點坐標系下A-E段的優(yōu)化軌道設計參數(shù).探測器組合體2022年1月9日從小行星繞飛軌道出發(fā)，施加的加速脈沖ΔV3為4.417 889 104km/s，到達地球停泊軌道的時間為2022年1月1日，施加的減速脈沖ΔV4為3.356 902 452km/s，E-A段最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的總ΔV=7.774 791 556km/s，整個E-A段優(yōu)化轉(zhuǎn)移飛行時間為160.689 203d.

圖6 A-E段以地球為中心的轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表4中參數(shù)定義與表3中相同.至此，A-E段轉(zhuǎn)移任務結(jié)束.對目標小行星Nereus的整個載人飛行探測過程可以看出，整個任務的時間約束在307d以內(nèi)，其中包含在小行星表面進行9d的科學探測，整個任務的總能量小于15km/s.

對于載人小行星探測，轉(zhuǎn)移軌道的設計部分是具有多約束條件的軌道設計，初步設計中通過能量等高線圖得到的局部最優(yōu)解，雖然總的速度增量較小，僅為13.739 0km/s，但是出發(fā)到達小行星后施加的脈沖ΔV2(5.258 7km/s)和返回時從小行星出發(fā)施加的脈沖ΔV3(6.237 5km/s)過大，嚴重超出宇航員能承受的最大過載.因此，在軌道優(yōu)化階段，對單次脈沖大小進行控制，在單次脈沖不超過5km/s的約束條件下進行優(yōu)化設計，最終得到符合各項約束條件的轉(zhuǎn)移軌道設計參數(shù)，總的速度增量ΔV為14.617 2km/s，單次施加脈沖最大的ΔV3為4.417 9km/s，總體設計合理可行.

圖7 A-E段以小行星為中心的轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表4 A-E段兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化參數(shù)

5 結(jié) 語

本文針對星際轉(zhuǎn)移軌道設計中發(fā)射窗口的搜索問題，結(jié)合發(fā)射-到達約束條件，通過對星歷的計算和Gauss問題的求解，得到了初始轉(zhuǎn)移軌道參數(shù).利用序列二次規(guī)劃算進行了軌道優(yōu)化，仿真結(jié)果證明該方法收斂性好、計算效率高、邊界搜索能力強，是一種有效的軌道優(yōu)化方法.

[1] D’AMARIO L A, BYRNES D V. Interplanetary trajectory design for the Galileo mission[C]//AIAA 21st Aerospace Sciences Meeting. Reno, NV: AIAA, 1983:10-13. DOI:10.2514/6.1983-99.

[2] MCADAMS J V. Postlaunch contingency trajectories for the near-earth asteroid rendezvous mission[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1997, 20(4): 819-823. DOI: 10.2514/2.4118.

[3] PEROZZI E, ROSSI A, VALSECCHI G B. Basic targeting strategies for rendezvous and flyby missions to the near-Earth asteroids[J]. Planetary and Space Science, 2001, 49(1): 3-22. DOI:10.1016/S0032-0633(00)00124-0.

[4] KAWAGUCHI J, FUJIWARA A, UESUGI T. Hayabusa-Its technology and science accomplishment summary and Hayabusa-2[J]. Acta Astronautica, 2008, 62(10/11): 639-647. DOI:10.1016/j.actaastro.2008.01.028.

[5] 喬棟, 黃江川, 崔平遠, 等. 嫦娥二號衛(wèi)星飛越 Toutatis 小行星轉(zhuǎn)移軌道設計[J]. 中國科學:技術(shù)科學, 2013, 43(5): 487-492. DOI:10.1360/092013-231.

[6] ZHU Menghua, FA Wenze, HUANG Jiangchuan, et al. Morphology of asteroid (4179) Toutatis as imaged by Chang′e-2 spacecraft[J]. Geophysical, Research Latter, 2014, 41(2):328-333. DOI: 10.1002/2013GL058914.

[7] MCCUE G A, BENDER D F. Optimum transfers between nearly tangent orbits[J]. Journal of the Astronautical Sciences, 1966, 13: 72.

[8] HULKOWER N D, LAU C O, BENDER D F. Optimum two-impulse transfers for preliminary interplanetary trajectory design[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1984, 7(4): 458-461. DOI: 10.2514/3.19878.

[9] HULKOWER N D, ROSS D J, Missions to the asteroid anteros and the space of true anomalies[J]. Acta Astronautica, 1983, 10(3):42-47. DOI: 10.1016/0094-5765(83)90032-2.

[10]LAU C O. Accessibility of Near-Earth Asteroids[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1987, 10(3): 225-232. DOI: 10.2514/3.20207.

[11]任遠, 崔平遠, 欒恩杰. 最優(yōu)兩脈沖行星際軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法[J]. 航空學報, 2007, 28(6): 1307-1310. DOI：10.3321/j.issn:1000-6893.2007.06.005.

REN Yuan, CUI Pingyuan, LUAN Enjie. Interplanetary optimum two-impulse transfer trajectories[J]. ACTA Aeronautica ET Astronautica Sinica, 2007, 28(6): 1307-1310. DOI：10.3321/j.issn:1000-6893.2007.06.005.

[12]崔平遠, 喬棟, 崔祜濤,等. 小行星探測目標選擇與轉(zhuǎn)移軌道方案設計[J]. 中國科學:技術(shù)科學, 2010, 40(6): 677-685.DOI: 10.1007/s11431-010-0007-6.

[13]喬棟, 崔平遠, 尚海濱. 星際探測多脈沖轉(zhuǎn)移發(fā)射機會搜索方法研究[J]. 北京理工大學學報, 2010, 30(3): 275-278. DOI:10.15918/j.tbit1001-0645.2010.03.008.

QIAO Dong, CUI Pingyuan, SHANG Haibin. Searching launch opportunity of multiple impulsive transfer for interplanetary mission[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2010, 30(3): 275-278. DOI:10.15918/j.tbit1001-0645.2010.03.008.

[14]喬棟. 深空探測轉(zhuǎn)移軌道設計方法研究及在小天體探測中的應用[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學, 2007.

QIAO Dong. Study of transfer trajectory design method for deep space exploration and application to small body exploration[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2007.

[15]BüSKENS C, MAURER H. SQP-methods for solving optimal control problems with control and state constraints: adjoint variables, sensitivity analysis and real-time control[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, 120(1/2): 85-108. DOI:10.1016/S0377-0427(00)00305-8.

[16]CUI Pingyuan, QIAO Dong, CUI Hutao, et al. Target selection and transfer trajectories design for exploring asteroid mission[J]. Science China Technological Sciences, 2010, 53(4): 1150-1158. DOI: 10.1007/s11431-010-0007-6.

[17]王悅, 劉歡, 王開強, 等. 載人探測小行星的目標星選擇[J]. 航天器工程, 2012, 21(6): 30-36.

WANG Yue, LIU Huan, WANG Kaiqiang, et al. Target selection for Human exploration of Asteroid[J]. Spacecraft Engineering, 2012, 21(6): 30-36.

(編輯 張 紅)

Two-impulse transfer trajectory design and optimization for manned asteroid exploration

ZHENG Bo, ZHANG Zexu

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080，China)

To achieve the manned asteroid exploration, the design and optimization method of two-impulse round-trip transfer trajectory for manned asteroid exploration is presented in the strict time constraint. According to the characteristics of the manned asteroid exploration, the scheme of the two-impulse transfer trajectory is established. Then the two-impulse round-trip transfer trajectory is designed preliminarily on the basis of the scheme. In each stage of the transfer trajectory, the launch window and the reach window are optimized by the sequential quadratic programming algorithm. Finally, the optimum two-impulse round-trip transfer trajectory is obtained. The simulation results show that the design of the optimum two-impulse round-trip transfer trajectory given in this paper is able to control the single impulse within 5 km/s, which is enough to achieve the manned asteroid exploration missions for 300 days by little energy.

manned asteroid exploration; interplanetary transfer trajectory; trajectory design and optimization；two-impulse trajectory；search for launch window

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.003

2015-01-27

國家自然科學基金(61374213)； 國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)(2012CB720003)

鄭 博(1989—)，男，碩士研究生；

張澤旭(1971—)，男，教授，博士生導師

張澤旭，zexuzhang@hit.edu.cn

V41

A

0367-6234(2016)10-0024-07