黃育紅,周文飛,張鎖賓,楊宗立,袁 赟

(陜西師范大學(xué)，陜西 西安 710119)

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簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中相關(guān)物理量間的關(guān)系與能量守恒的研究

黃育紅,周文飛,張鎖賓,楊宗立,袁 赟

(陜西師范大學(xué)，陜西 西安 710119)

介紹了如何較為精確地在氣墊導(dǎo)軌上測(cè)量滑塊做簡諧振動(dòng)時(shí)的速度、周期、彈簧的等效質(zhì)量和勁度系數(shù)等物理量。利用焦利氏秤對(duì)實(shí)驗(yàn)中的三對(duì)彈簧進(jìn)行測(cè)量，通過逐差法計(jì)算得出彈簧的等效質(zhì)量和勁度系數(shù)，其結(jié)果和氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)所得結(jié)論符合較好。在此基礎(chǔ)上，對(duì)實(shí)驗(yàn)中物理量之間的關(guān)系進(jìn)行定量研究，得到周期與振幅無關(guān)、周期的平方與滑塊的配重塊質(zhì)量呈線性關(guān)系。分析了氣墊導(dǎo)軌測(cè)量速度產(chǎn)生誤差的原因，在對(duì)測(cè)得的速度進(jìn)行修正后，通過多組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了簡諧振動(dòng)過程中機(jī)械能是守恒的。利用Origin軟件繪制曲線描述物理量之間的關(guān)系和能量變化趨勢(shì)，生動(dòng)形象地展示了實(shí)驗(yàn)中存在的規(guī)律，有利于學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論，對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果有一定的促進(jìn)作用。

簡諧振動(dòng)；氣墊導(dǎo)軌；通用計(jì)數(shù)器；焦利氏秤

振動(dòng)是一種十分常見的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，如石英鐘擺的擺動(dòng)，秋千的擺動(dòng)、原子在晶體中的平衡振動(dòng)、心跳和風(fēng)中抖動(dòng)的葉子等。振動(dòng)是聲學(xué)、建筑學(xué)、機(jī)械、造船、電工和無線電技術(shù)等的基礎(chǔ)，機(jī)械振動(dòng)是一種最基本的振動(dòng)，其中回復(fù)力與振幅成正比的簡諧振動(dòng)是一種特殊的機(jī)械振動(dòng)。

氣墊導(dǎo)軌是一種現(xiàn)代化的力學(xué)實(shí)驗(yàn)儀器，滑塊浮在氣墊層上，與軌面脫離接觸，因而能在軌面上做近似無阻力的直線運(yùn)動(dòng)，極大地減小了以往在力學(xué)實(shí)驗(yàn)中由于摩擦力引起的誤差，因此大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中也通常采用氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng)來研究簡諧振動(dòng)，將氣墊導(dǎo)軌充氣后，用兩根彈簧把放置在導(dǎo)軌上的滑塊連接起來，以滑塊的平衡位置作參考原點(diǎn)，將滑塊由平衡位置準(zhǔn)靜態(tài)拉伸一段距離，此時(shí)滑塊一側(cè)彈簧被壓縮，而另一側(cè)彈簧被拉長，滑塊受到彈簧的回復(fù)力近似做簡諧振動(dòng)。氣墊導(dǎo)軌上簡諧振動(dòng)的研究一直以來受到大家的關(guān)注，1983年程道輝[1]對(duì)氣墊實(shí)驗(yàn)中彈簧振子周期公式進(jìn)行分析時(shí)認(rèn)為在氣軌上作彈簧振子的實(shí)驗(yàn)應(yīng)該考慮彈簧的有效質(zhì)量，而空氣阻力對(duì)滑塊作簡諧振動(dòng)周期的測(cè)量結(jié)果影響甚??；1985年朱常全[2]分析得出光電管的離散性導(dǎo)致氣墊導(dǎo)軌上條形擋光片測(cè)速的較大誤差；1995年胡波[3]分析了用Δx/Δt作為即時(shí)速度引起的誤差，并認(rèn)為將導(dǎo)軌調(diào)節(jié)水平是一個(gè)沒有必要的條件；1996年林禧[4]研究氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的實(shí)驗(yàn)時(shí)引入了彈簧的有效質(zhì)量；1997年彭瑞明[5]分析簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)誤差時(shí)認(rèn)為影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的主要因素是彈簧自身的質(zhì)量和重力，而空氣粘滯阻力的影響非常?。?002年何春娟[6]在進(jìn)行氣軌上簡諧振動(dòng)周期測(cè)量公式修正時(shí)，推導(dǎo)得出氣軌上滑塊的運(yùn)動(dòng)是振幅隨時(shí)間逐漸衰減的一個(gè)阻尼振動(dòng)；2009年肖齊波[7]基于Matlab軟件作圖精確驗(yàn)證了振子振動(dòng)周期與振子質(zhì)量呈線性關(guān)系。前人的研究都是基于某一個(gè)方面，實(shí)際上簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)涉及的內(nèi)容非常豐富，除了在實(shí)驗(yàn)中觀察簡諧振動(dòng)現(xiàn)象和振動(dòng)系統(tǒng)中的能量轉(zhuǎn)化外，還可通過光電門和通用計(jì)數(shù)器測(cè)量滑塊運(yùn)動(dòng)的速度和周期，分析速度和周期受到的影響因素，計(jì)算動(dòng)能和勢(shì)能，驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律。然而，在以往的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，計(jì)算得到的任意位置處的總能量與平衡位置處的總動(dòng)能或者最大位置處的總勢(shì)能之間存在非常大的差異，有時(shí)候?qū)嶒?yàn)誤差達(dá)到50%以上，并不符合機(jī)械能守恒，能量隨任意位置的變化而變化，為了探究其原因，我們系統(tǒng)地研究了簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中相關(guān)物理量間的關(guān)系與能量守恒問題。

在氣墊導(dǎo)軌測(cè)量簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中要得到較為精確的測(cè)量結(jié)果，首先要保證速度和周期測(cè)量的精確性，借鑒其他學(xué)者前期對(duì)氣墊導(dǎo)軌上簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差分析，存在問題的討論，氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng)測(cè)量速度和周期的誤差分析及改進(jìn)，通用計(jì)數(shù)器計(jì)時(shí)的誤差分析等，本文著重對(duì)氣墊導(dǎo)軌上簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)地研究，考慮到各種影響因素，盡可能準(zhǔn)確地進(jìn)行速度和周期的測(cè)量，利用簡諧振動(dòng)中測(cè)定的周期和滑塊質(zhì)量計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量和勁度系數(shù)等物理量，并將此與焦利氏秤測(cè)量、計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者符合較好。在此基礎(chǔ)上，對(duì)實(shí)驗(yàn)中物理量之間的關(guān)系進(jìn)行定量研究，得到周期與振幅無關(guān)、周期的平方與滑塊的配重塊質(zhì)量呈線性關(guān)系。對(duì)測(cè)量速度進(jìn)行誤差分析和修正后，通過多組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了簡諧振動(dòng)過程中機(jī)械能是守恒的。利用Origin軟件繪制曲線，生動(dòng)形象地展示了實(shí)驗(yàn)中存在的規(guī)律，有利于學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論，對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果有一定的促進(jìn)作用。

1 簡諧振動(dòng)理論基礎(chǔ)

氣墊導(dǎo)軌充氣后，在導(dǎo)軌上放置一滑塊，用兩個(gè)勁度系數(shù)分別為K1，K2的彈簧分別將滑塊和氣墊導(dǎo)軌兩端連接起來，如圖1(a)所示，我們以滑塊的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，將滑塊由平衡位置準(zhǔn)靜態(tài)移至A點(diǎn)，其位移為x，此時(shí)滑塊一側(cè)彈簧被壓縮，而另一側(cè)彈簧被拉長，如圖1(b)所示。

圖1 簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

若忽略滑塊與氣軌之間的摩擦力作用，滑塊受到的彈性力為

(1)

(2)

這個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解為

x=Acos(ωt+φ)

(3)

式中，ω稱為角頻率，簡諧振動(dòng)的周期為

(4)

將式(3)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得滑塊運(yùn)動(dòng)的速度為

(5)

由于滑塊只受到彈性力即保守力的作用，因此系統(tǒng)在振動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。設(shè)滑塊在某位置x處的速度為v，則系統(tǒng)在該處的總能量應(yīng)為

(6)

把(3)式和(5)式代入(6)式，并考慮(4)式有：

(7)

上式中，系統(tǒng)總質(zhì)量m，彈簧勁度系數(shù)K1和K2及振幅A都是常量，其中系統(tǒng)的總質(zhì)量由滑塊和配重塊的質(zhì)量、彈簧的等效質(zhì)量(理論可證明等效質(zhì)量為稱量質(zhì)量的1/3)三部分構(gòu)成[8]。

實(shí)驗(yàn)中可通過系統(tǒng)總質(zhì)量和滑塊運(yùn)動(dòng)到平衡位置處的速度得到系統(tǒng)的總動(dòng)能，或通過彈簧的勁度系數(shù)和振幅得到最大位置處的總勢(shì)能，或者通過測(cè)量任意位置處的速度、位移、彈簧勁度系數(shù)和系統(tǒng)總質(zhì)量得到系統(tǒng)在任意位置處的總能量。理論上滑塊在簡諧振動(dòng)中動(dòng)能和勢(shì)能交替變化，利用上述三種方法得到的能量值相等，總能量保持守恒。然而實(shí)驗(yàn)中的情況要比理論復(fù)雜的多，文章后面將會(huì)作詳細(xì)討論。

2 實(shí)驗(yàn)器材簡介

本次實(shí)驗(yàn)的裝置由調(diào)平后的氣墊導(dǎo)軌、通用計(jì)數(shù)器、電子天平、游標(biāo)卡尺、焦利氏秤、滑塊、3對(duì)勁度系數(shù)不同的彈簧、兩個(gè)光電門、兩個(gè)寬度不同的條形擋光片、一個(gè)U形擋光片和5個(gè)質(zhì)量為25g的配重塊構(gòu)成。彈簧振子即滑塊的質(zhì)量和3對(duì)彈簧的質(zhì)量用精確度為0.01mg的電子天平稱量。振幅和任意位置通過氣墊導(dǎo)軌上附帶的毫米刻度尺來確定。彈簧的勁度系數(shù)用焦利氏秤進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量值將會(huì)和通過氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)結(jié)果的計(jì)算值進(jìn)行比較分析。

3 實(shí)驗(yàn)中存在的誤差分析

簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中主要測(cè)定滑塊的速度、周期、彈簧等效質(zhì)量和勁度系數(shù)，其方法可參閱相關(guān)實(shí)驗(yàn)教材或者參考文獻(xiàn)，這里主要進(jìn)行誤差分析。

要精確測(cè)量滑塊運(yùn)動(dòng)的速度和周期，可從以下幾個(gè)方面考慮減少實(shí)驗(yàn)誤差：首先將氣墊導(dǎo)軌調(diào)整至非常水平，其次提高通用計(jì)數(shù)器的計(jì)時(shí)本領(lǐng)，再次考慮擋光片的寬度盡可能小，原則上擋光片越窄越好，然后由于光電計(jì)時(shí)器精確度的限制，擋光片不可能無限窄，本次實(shí)驗(yàn)選用的擋光片在3～5 mm之間，既保證了光電門的準(zhǔn)確計(jì)數(shù)，又大大減小了實(shí)驗(yàn)誤差。另外，選擇的實(shí)驗(yàn)方法不同也會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)造成一定的誤差，如通用計(jì)數(shù)器分別選擇計(jì)時(shí)1和計(jì)時(shí)2的方式進(jìn)行速度測(cè)量時(shí)，會(huì)有一定的系統(tǒng)誤差。

然而在實(shí)驗(yàn)中，除了注意上述事項(xiàng)外，我們還發(fā)現(xiàn)氣墊導(dǎo)軌上滑塊速度的測(cè)量值遠(yuǎn)大于其理論值，實(shí)驗(yàn)誤差甚至達(dá)到百分之幾十，這將導(dǎo)致任意位置處的總能量與平衡位置處的總動(dòng)能或者最大位置處的總勢(shì)能之間存在很大的差值，并不符合機(jī)械能守恒。我們發(fā)現(xiàn)光電管的離散性導(dǎo)致了較大的實(shí)驗(yàn)誤差，朱常全[2]、高立晟等人[9]也曾經(jīng)分析過速度測(cè)量誤差的產(chǎn)生原因，這在一定程度上給了我們啟發(fā)，但該文章只是定性的討論，并沒有給出定量的修正公式。速度誤差修正的定量計(jì)算思路如下所述。

設(shè)擋光有效距離為L有效，擋光片實(shí)際寬度為L，則測(cè)量速度

(8)

實(shí)際速度(修正速度)

(9)

相對(duì)誤差

(10)

其中v修正與安裝在光電門上的遮光管形狀和遮光有效面積決定，然而遮光管的有效面積是很難測(cè)量出來的，可以考慮通過測(cè)量周期、振幅、任意位置距離等物理量利用公式(11)計(jì)算v理論，在滑塊運(yùn)行前幾個(gè)周期時(shí)v理論等于滑塊實(shí)際的速度v修正。

(11)

但是在振動(dòng)過程中由于空氣阻力和氣墊導(dǎo)軌上的粘滯阻力會(huì)導(dǎo)致振幅A的較大衰減，因此公式(11)不能用來計(jì)算后續(xù)實(shí)驗(yàn)中的v修正。但實(shí)際上整個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)誤差η是一個(gè)常數(shù)，我們可采用下面的方法進(jìn)行計(jì)算：相同滑塊，相同彈簧的配置下，將滑塊拉開不同的振幅Ai做簡諧振動(dòng)，將相應(yīng)振幅下滑塊運(yùn)行前5個(gè)周期的相關(guān)物理量測(cè)量出來，代入公式(11)計(jì)算v修正，代入公式(8)計(jì)算測(cè)量速度v測(cè)量，進(jìn)而通過公式(10)算出相對(duì)誤差η，并得到擋光片通過光電門的有效遮光長度L有效，利用公式(9)就可得到修正速度。測(cè)量速度v測(cè)量總是大于實(shí)際速度v修正，η通常為負(fù)數(shù)，按照該方法對(duì)速度修正后，極大地減小實(shí)驗(yàn)誤差，文章5.4部分計(jì)算分析能量守恒將是一個(gè)很好的驗(yàn)證，再次證明了該方法的可行性和正確性[10-12]。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 速度的測(cè)量

氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng)中，通用計(jì)數(shù)器配合光電門進(jìn)行速度測(cè)量的方法有多種?？蛇x用條形擋光片，將通用計(jì)數(shù)器調(diào)至計(jì)時(shí)方式1，也可選用U形擋光片，將通用計(jì)數(shù)器置于計(jì)時(shí)1或者計(jì)時(shí)2，測(cè)速原理可參閱教材或其它文獻(xiàn)，其原理如圖2所示。在計(jì)時(shí)方式1下若條形擋光片的寬度為L，通過光電門所用時(shí)間為Δt，則速度v=L/Δt，如圖2(a)所示。在計(jì)時(shí)方式1下，若U形板aa′與bb′之間的距離為L1，cc′與dd′之間的距離為L2，它們通過光電門所用時(shí)間分別為Δt1和Δt2，則速度可由公式v=1/2(L1/Δt1+L2/Δt2)計(jì)算，如圖2(b)所示。在計(jì)時(shí)2方式下，若U形擋光片aa′與cc′之間的距離為L，其通過光電門的時(shí)間為Δt，則速度v=L/Δt，如圖2(c)所示。因采用U形片、計(jì)時(shí)方式2時(shí)測(cè)量速度的系統(tǒng)誤差較大，因此在實(shí)驗(yàn)中為了獲得較為精確的速度值，本文選取條形和U形擋光片、計(jì)時(shí)1的方式進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中L=4.14 mm,L1=L2=4.00 mm。實(shí)驗(yàn)裝置擺放好后，在距平衡位置O一定距離A=20 cm和x處各放置一個(gè)光電門，分別確定振幅和任意位置，在多組實(shí)驗(yàn)中x分別取2 cm、4 cm、8 cm、12 cm、14 cm和18 cm，滑塊從振幅處出發(fā)，測(cè)得滑塊通過x位置處所用時(shí)間Δt，測(cè)量周期為T=1.25 s，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。時(shí)間由通用計(jì)數(shù)器直接讀出，速度測(cè)量和修正值可通過公式(8)～(11)完成，在滑塊和彈簧不變的情況下，通過多次變振幅計(jì)算得到相對(duì)誤差η的平均值為η=-0.39，條形擋光片的實(shí)際遮光寬度L條有效=L+ηL=2.53 mm，LU有效=2.44 mm，計(jì)算得到速度的測(cè)量值和修正值列于表1中。

圖2 不同擋光片測(cè)速原理圖

位置/cm物理量0248121618Δt條(ms)2.502.532.552.723.133.985.88V測(cè)量(m·s-1)1.661.641.621.521.321.040.70V修正(m·s-1)1.011.000.990.930.810.640.43ΔtU1(ms)2.422.452.492.653.084.266.34ΔtU2(ms)2.452.452.472.612.973.905.23V1測(cè)量(m·s-1)1.651.631.611.511.300.940.63V2測(cè)量(m·s-1)1.631.631.621.531.351.030.76V測(cè)量(m·s-1)1.641.631.621.521.330.990.70V1修正(m·s-1)1.011.000.980.920.790.570.38V2修正(m·s-1)1.001.000.990.930.820.630.47V修正(m·s-1)1.011.000.990.930.810.600.43

從數(shù)據(jù)上看，條形和U形擋光片測(cè)量速度的修正值近似相等，但采用計(jì)時(shí)方式1進(jìn)行速度測(cè)量時(shí)，U形擋光片為兩個(gè)位置處的平均速度，條形近似為一個(gè)位置處的平均速度，且條形的寬度要小于U形整體的寬度，所以條形擋光片所測(cè)速度值會(huì)更精確一些。

4.2 彈簧勁度系數(shù)和等效質(zhì)量的測(cè)量與計(jì)算

4.2.1 逐差法和焦利氏秤法計(jì)算彈簧勁度系數(shù)

通過簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的周期，可計(jì)算出彈簧的勁度系數(shù)，為后面彈性勢(shì)能的計(jì)算做鋪墊，此外，這部分?jǐn)?shù)據(jù)的正確性也將從焦利氏秤法測(cè)量結(jié)果得以驗(yàn)證。

在前面簡諧振動(dòng)的理論基礎(chǔ)部分，由公式(4)可知：

(12)

滑塊和彈簧的等效質(zhì)量是未知常量，在逐差法處理數(shù)據(jù)過程中可以消掉，因此只要測(cè)得彈簧振子的周期T和配重塊的質(zhì)量Δm，便可以得到彈簧的勁度系數(shù)，為了減少實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，本次實(shí)驗(yàn)測(cè)量了3對(duì)勁度系數(shù)不同的彈簧，結(jié)果列于表2中。

表2 不同彈簧、不同配重下測(cè)量的周期

對(duì)公式(12)進(jìn)行逐差法處理可得3對(duì)彈簧的勁度系數(shù)，以第1對(duì)彈簧為例，逐差法計(jì)算彈簧勁度系數(shù)如下：

可得第1對(duì)彈簧的勁度系數(shù)(k1+k2)=3.887 N/m，采用同樣的方法計(jì)算第2、3對(duì)彈簧的勁度系數(shù)值分別為4.070 N/m和4.769 N/m。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證前面計(jì)算數(shù)據(jù)的可靠性，我們利用焦利氏秤分別測(cè)量3對(duì)彈簧的勁度系數(shù)，彈簧的初始位置記為x0，依次掛上20 g鉤碼后的位置分別為x1、x2、x3、x4和x5，相應(yīng)的數(shù)據(jù)列于表3中。

表3 焦利氏秤測(cè)量彈簧伸長量的數(shù)據(jù)記錄

以第1對(duì)彈簧aa′為例，逐差法計(jì)算彈簧勁度系數(shù)如下：

*9.797=1.944

*9.797=1.943

可得第1對(duì)彈簧的勁度系數(shù)為k1+k2=3.887 N/m，采用同樣的方法計(jì)算第2、3對(duì)彈簧bb′和cc′的勁度系數(shù)值分別為3.935 N/m、4.619 N/m。

4.2.2 彈簧等效質(zhì)量的計(jì)算

在簡諧振動(dòng)理論中，彈簧可看成輕質(zhì)、無質(zhì)量的連接體，然而在實(shí)驗(yàn)中，彈簧的質(zhì)量不可忽略，彈簧周期性地被壓縮或者拉伸，可想象把彈簧等效成具有一定質(zhì)量的物體疊加于滑塊之上，整個(gè)系統(tǒng)仍然可以看成理論上的彈簧振子模型，此外，理論計(jì)算表明彈簧稱量質(zhì)量的1/3為參與簡諧振動(dòng)的等效質(zhì)量。對(duì)實(shí)驗(yàn)中的3對(duì)彈簧，表2中已列出不同配重下對(duì)應(yīng)的測(cè)量周期，電子天平測(cè)滑塊質(zhì)量為0.120 49 kg，彈簧的勁度系數(shù)(k1+k2)在5.2.1部分已經(jīng)計(jì)算得出，利用公式(12)進(jìn)行逐差計(jì)算可得3對(duì)彈簧aa′的等效質(zhì)量為7.34 g，電子天平稱量24.28 g，很容易看出maa'等效≈1/3m，和理論計(jì)算結(jié)果符合較好。同樣地，彈簧bb′和cc′的等效質(zhì)量分別為4.01 g和7.36 g，其對(duì)應(yīng)的稱量質(zhì)量為12.60 g和22.75 g，等效質(zhì)量約等于稱量質(zhì)量的1/3，與理論結(jié)果相一致。

4.3 周期與振幅、系統(tǒng)質(zhì)量之間的關(guān)系分析

將通用計(jì)數(shù)器置于“周期”檔位可進(jìn)行周期的測(cè)量。值得注意的是，滑塊通過平衡位置時(shí)光電門遮光開始計(jì)時(shí)，到一個(gè)周期完成時(shí)計(jì)數(shù)器自動(dòng)累加完成計(jì)數(shù)，即滑塊遮光2n+1次完成n個(gè)周期的簡諧振動(dòng)。采用5.00 mm的條形擋光片，將滑塊做簡諧振動(dòng)的振幅分別設(shè)為0.16 m、0.18 m、0.20 m、0.22 m、0.24 m、0.26 m，通過為滑塊添加不同質(zhì)量的配重塊(25 g、50 g、75 g、100 g、125 g)來改變系統(tǒng)的總質(zhì)量，從而研究簡諧振動(dòng)周期與振幅和系統(tǒng)質(zhì)量之間的關(guān)系，測(cè)量的數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 周期隨振幅、配重塊變化的數(shù)據(jù)記錄

將數(shù)據(jù)輸入Origin軟件中，并繪制出相同配重下周期隨振幅變化的圖像，從圖中可以看出，保持彈簧不變，在同一配重下，也就是系統(tǒng)質(zhì)量保持不變的情況下，周期不隨振幅改變而變化[10]。

圖3 不同配重下簡諧振動(dòng)周期與振幅的關(guān)系圖

由公式(4)和(12)可知，彈簧振子周期的平方與系統(tǒng)總質(zhì)量呈線性關(guān)系，由于實(shí)驗(yàn)中m滑和m等效保持不變，只有配重塊的質(zhì)量發(fā)生變化，因此我們來研究周期的平方與配重塊質(zhì)量之間的關(guān)系。

圖4 周期平方與配重塊質(zhì)量間的關(guān)系

將公式(12)進(jìn)行變形得到：

4.4 簡諧振動(dòng)能量守恒分析

表5 不同彈簧配置時(shí)滑塊運(yùn)行x處通過光電門的時(shí)間記錄

圖5 能量隨位置變化的曲線圖

5 結(jié)束語

本文分析了條形擋光片和U形擋光片測(cè)速原理的不同，得出條形擋光片在計(jì)時(shí)方式1的情況下，測(cè)速會(huì)更加精確，并且分析了測(cè)速時(shí)產(chǎn)生誤差的主要原因是由于光電管的離散性造成，給出了定量修正速度的計(jì)算公式。利用簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行逐差法計(jì)算得出彈簧的勁度系數(shù)和焦利氏秤法計(jì)算的結(jié)果一致，計(jì)算得到的彈簧等效質(zhì)量約為稱量質(zhì)量的1/3，與理論一致。通過多組實(shí)驗(yàn)，分析得出簡諧振動(dòng)周期與振幅無關(guān)、周期平方與配重塊質(zhì)量變化之間存在線性關(guān)系，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論符合較好，在精確測(cè)量簡諧振動(dòng)速度、彈簧勁度系數(shù)和等效質(zhì)量、周期等物理量的基礎(chǔ)上，通過多組實(shí)驗(yàn)得到系統(tǒng)在不同位置處的動(dòng)能、勢(shì)能之和總是近似相等，從而驗(yàn)證了能量守恒。在能量守恒驗(yàn)證中，引起誤差的最主要原因是速度測(cè)量的誤差，因此本文給出的速度定量修正方法起到了至關(guān)重要的作用，這也將給其它需要速度、加速度、動(dòng)量或者能量測(cè)量的綜合型實(shí)驗(yàn)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提供了很好的方法。該實(shí)驗(yàn)所有的規(guī)律性曲線利用Origin軟件作圖得到，清晰明了的圖形有利于學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論，大大提高了實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果。

[1] 程道輝.對(duì)氣墊實(shí)驗(yàn)中彈簧振子周期公式的分析[J].武漢師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1983(2)：55-61.

[2] 朱常全.氣墊導(dǎo)軌上條形擋光片的測(cè)速誤差[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)，1985(1):27-29.

[3] 胡波，王洪翱.氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中幾個(gè)問題的探討[J].濱州師專學(xué)報(bào)，1995，11(4)：57-59.

[4] 林禧.氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的實(shí)驗(yàn)研究[J].福州師專學(xué)報(bào)，1996，16(1)：12-17.

[5] 彭瑞明.氣軌上簡諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的誤差分析[J].韶關(guān)大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，18(2)：60-64.

[6] 何春娟，李武軍，陳顏靜.對(duì)氣軌上簡諧振動(dòng)周期測(cè)量公式的修正[J].西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，22(1)：80-82.

[7] 肖波齊.基于Matlab的彈簧振子簡諧振動(dòng)研究[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，27(6)：116-120.

[8] 吳俊林.綜合提高物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2005:266-267.

[9] 高立晟，莊步科.光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)的誤差研究[J].山東師大學(xué)報(bào)，2000，15(2)：201-203.

[10] 李安福.用氣墊導(dǎo)軌演示彈簧振子的簡諧振動(dòng)的方法[J].物理實(shí)驗(yàn)，1984，4(6)：262-263.

[11] 肖貴臏，代偉，段景靚，等.用激光掃描法演示簡諧振動(dòng)圖像[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2016，29(3)：46-49.

[12] 汪昭，徐文娟，魏江.基于Unity 3D模擬振動(dòng)和波[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2015，28(5)：113-117.

Investigation of the Relationship Between Physical Quantities and Conservation of Energy in the Harmonic Vibration Experiment

HUANG Yu-hong,ZHOU Wen-fei,ZHANG Suo-bin,YANG Zong-li,YUAN Yun

(Shaanxi Normal University,Shaanxi Xi’an 710119)

It describes how to more accurately measure the speed and period of the slider when doing simple harmonic vibration on the air track,as well as the equivalent mass and stiffness coefficient of the springslinkedwith the slider.By utilizing Joly Balance and method of successive minus,the equivalent mass and stiffness coefficient of three pairs of springs are measured and calculated.The results are in good agreement with those of aforementioned experimentson air track.Based on this,the relationship between physical quantities are quantitatively investigated and the results show that the cycle of the harmonic vibration is independent of amplitude,the square of the cycle islinearly proportional to the additional counter weight.The systematic error of measured velocity is analyzed and conservation of the mechanical energy is verified by multiple sets of experiments while the measured velocity is modified.The relationship between physical quantities and the viariation tendency of energy is vividly demonstrated by using software Origin.This will help students to better understand the law existed in the experiments,and can greatly promote experimental teaching effects.

harmonic vibration；air track；universal counter；Joly balance

2016-05-11

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(GK261001150)；陜西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(16SY17)。

1007-2934(2016)05-0093-07

O 4-34

A DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.005.024