黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 向 彪

高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)幾類(lèi)常用極限求法實(shí)例探析

黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 向 彪①

函數(shù)極限的求法是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問(wèn)題之一，也是全國(guó)研究生入學(xué)考試公共數(shù)學(xué)科目必考的內(nèi)容。求極限的方法較多，本文總結(jié)出了幾種常用的求極限的方法，并給出了幾道考研真題實(shí)例，希望對(duì)考研的同學(xué)有一定的幫助。

極限；洛必達(dá)法則；實(shí)例

極限貫穿高等數(shù)學(xué)始終，極限的求法是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問(wèn)題之一。在實(shí)際解題過(guò)程中，函數(shù)極限的求法是多種多樣的，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，往往對(duì)求極限的方法難以選擇，不知道用哪種方法好，因此，分析和研究函數(shù)極限的求法，是非常有必要的。求極限的方法種類(lèi)繁多，本文有針對(duì)性地研究討論了幾種在實(shí)際計(jì)算中用得較多、考研真題中出現(xiàn)較多的幾種。

一、函數(shù)極限的定義

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對(duì)任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論ε它有多?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當(dāng)x滿(mǎn)足時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都成立，則稱(chēng)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作：恒有：。

二、函數(shù)極限求法例析

1.利用兩個(gè)重要極限求極限

2.利用兩邊夾原理求極限

3.等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

注意：求兩個(gè)無(wú)窮小之商的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，乘法項(xiàng)可直接代替，加減法項(xiàng)不可直接代替，加減項(xiàng)只能整體代換！

4.利用洛必達(dá)法則求極限

5.利用麥克勞林展開(kāi)式求極限

三、考研真題分析

在實(shí)際解題過(guò)程中，尤其是在研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)題目中，求極限絕不會(huì)局限于使用某一種方法，都是幾種方法結(jié)合在一起使用的，靈活度較高，這就要求我們?cè)诰唧w的解題過(guò)程中思維開(kāi)闊，不鉆死胡同，靈活運(yùn)用，下面舉幾個(gè)考研的例題來(lái)說(shuō)明。

（此步驟，使用了等價(jià)無(wú)窮小替換方法，學(xué)生必須牢記常用的幾種等價(jià)無(wú)窮小，才能熟練使用這一方法。）

（此步驟，使用羅比達(dá)法則）

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上下冊(cè)，第七版）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［3］陳文燈.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南［M］.北京：世界圖書(shū)出版社，2014.

①向彪（1982-），男，貴州江口人，碩士，黔南民族師范學(xué)院講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

②同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)，第七版）19頁(yè)

③同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)，第七版）27頁(yè)

④同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上下冊(cè)，第七版）187頁(yè)