陸兆清

在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，人們常常需要確定一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，即確定一個(gè)事件發(fā)生的概率.本章的主要內(nèi)容是等可能條件下事件發(fā)生的概率的計(jì)算方法.

“等可能性”是一種假設(shè)，是一種理想狀態(tài).如拋擲一枚硬幣，只有正面朝上或反面朝上的二種可能.因此，理論上拋擲硬幣正面朝上的概率是1/2，反面朝上的概率也是1/2.假如我拋擲一枚硬幣9次，雖然前9次都是正面朝上，但第10次拋擲時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性仍是各占一半.事實(shí)上，在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性（如投擲硬幣）或者某種均衡性（如摸球，抽簽試驗(yàn)等），我們就可以認(rèn)為其所有可能結(jié)果（基本事件）是等可能的，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算各事件的概率.

設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們就說(shuō)這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的.

一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）=m/n（m是事件A發(fā)生時(shí)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n是一次實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的所有等可能的結(jié)果數(shù)）.數(shù)學(xué)上，我們稱之為古典概型.

例如：拋擲一只均勻的骰子1次，只會(huì)出現(xiàn)6種結(jié)果之一：1點(diǎn)朝上、2點(diǎn)朝上、3點(diǎn)朝上、4點(diǎn)朝上、5點(diǎn)朝上、6點(diǎn)朝上.因?yàn)轺蛔邮蔷鶆虻模赃@6種結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的.所以拋擲一只均勻的骰子1次，點(diǎn)數(shù)1朝上的概率：P（點(diǎn)數(shù)1朝上）=1/6；拋擲一只均勻的骰子1次，只有當(dāng)朝上的點(diǎn)數(shù)是5或6時(shí)，“朝上的點(diǎn)數(shù)大于4”這一事件才能發(fā)生，所以朝上的點(diǎn)數(shù)大于4的概率：P（朝上的點(diǎn)數(shù)大于4）=2/6=1/3.

“實(shí)驗(yàn)結(jié)果的等可能”是討論概率的重要條件，有些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不具有等可能性，不在本章討論的范圍內(nèi).例如：在適宜的條件下，種下一粒油菜種子觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)實(shí)驗(yàn)只有二種結(jié)果：“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”，這二種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是不均等的，所以不能用概率來(lái)計(jì)算；又如：用天平秤來(lái)稱物體時(shí)有誤差，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果就有無(wú)數(shù)多個(gè)，而且這些結(jié)果也不具有等可能性，所以這類事件也不能用概率來(lái)計(jì)算.

為了正確地計(jì)算出概率，畫(huà)樹(shù)狀圖或列表是很好的方法.

例：張老師上班途中要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，每個(gè)十字路口遇到紅、綠燈的機(jī)會(huì)都相同，張老師希望上班經(jīng)過(guò)每個(gè)路口都是綠燈，實(shí)際上這樣的機(jī)會(huì)是多少？

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù).二者的比值就是其發(fā)生的概率的大??；

解：經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，遇到紅、綠燈的情況如下：

從樹(shù)狀圖可以看出，經(jīng)過(guò)三個(gè)十字路口遇到的紅綠燈共有8種等可能的結(jié)果.其中：3個(gè)紅燈的有1個(gè)可能；2個(gè)紅燈1個(gè)綠燈的有3個(gè)可能；1個(gè)紅燈2個(gè)綠燈的有3個(gè)可能；3個(gè)綠燈的有1個(gè)可能.所以經(jīng)過(guò)每個(gè)路口都是綠燈的情況只有1種，所以上班經(jīng)過(guò)每個(gè)路口都是綠燈的概率為P（每個(gè)路口都是綠燈）=1/8.

樹(shù)狀圖或列表的方法既形象又直觀，可以幫助我們既不重復(fù)也不遺漏地列出所有可能的結(jié)果（基本事件），從而計(jì)算古典概型中事件所含的可能結(jié)果（基本事件）數(shù)以及事件發(fā)生的概率.它們都是計(jì)算概率的簡(jiǎn)單有效的方法.

如果實(shí)驗(yàn)的次數(shù)是二次時(shí)，選樹(shù)狀圖或列表都可以，如果實(shí)驗(yàn)的次數(shù)超過(guò)二次則只能選用樹(shù)狀圖.

（作者單位：江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）