李玉龍， 白鴻柏， 何忠波

(軍械工程學(xué)院， 河北，石家莊 050003)

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金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)混沌特性研究

李玉龍， 白鴻柏， 何忠波

(軍械工程學(xué)院， 河北，石家莊 050003)

對(duì)金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了研究，建立了系統(tǒng)的力學(xué)模型，對(duì)減振器進(jìn)行了靜、動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，識(shí)別了減振器的各參數(shù)，通過求解系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)參數(shù)變化的分岔圖，確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌時(shí)激勵(lì)力和頻率的取值，采用Runge-Kutta法求解并繪制了系統(tǒng)的位移時(shí)間歷程圖、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，計(jì)算了Lyapunov指數(shù)最大值，并在Adams軟件環(huán)境下進(jìn)行了仿真試驗(yàn)驗(yàn)證，證明了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌振動(dòng)特性.

金屬橡膠；非線性；減振；混沌

金屬橡膠是一種經(jīng)特殊工藝將一定質(zhì)量的金屬絲有序地排放在模具中，通過沖壓或碾壓成型的方法制成的彈性多孔金屬材料. 其內(nèi)部有很多孔洞，既呈現(xiàn)類似橡膠材料的彈性和阻尼性能，同時(shí)又保持金屬的優(yōu)異特性. 該材料在工程應(yīng)用中表現(xiàn)出明顯的非線性動(dòng)力學(xué)特性[1-2]. 由于混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種特有的運(yùn)動(dòng)形式，金屬橡膠非線性系統(tǒng)必然也產(chǎn)生混沌[3]. 在對(duì)金屬橡膠進(jìn)行減振設(shè)計(jì)與分析時(shí)，必須充分考慮減振材料的非線性因素，并對(duì)減振系統(tǒng)混沌振動(dòng)的有關(guān)問題進(jìn)行研究. 查閱文獻(xiàn)可知，目前對(duì)金屬橡膠減振系統(tǒng)混沌研究的成果很少，僅有文獻(xiàn)[3]用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)了其產(chǎn)生混沌的解析條件，該文獻(xiàn)的研究是建立在系統(tǒng)的一次諧波解上，而非線性系統(tǒng)的響應(yīng)卻存在多諧波頻率成分[4]，因此該方法有待進(jìn)一步的研究. 但是，混沌狀態(tài)下的系統(tǒng)振動(dòng)具有單頻輸入寬頻輸出的特性，可以大幅度改變結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜成分[5-6]，在消除線譜激勵(lì)方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，這一特點(diǎn)對(duì)提高船艦的隱身性能非常有效，所以，研究金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌響應(yīng)對(duì)金屬橡膠材料在船艦裝備中的進(jìn)一步應(yīng)用，以發(fā)揮提高船艦隱身性能的作用具有重要的指導(dǎo)意義.

盡管國內(nèi)外專家對(duì)金屬橡膠減振系統(tǒng)混沌振動(dòng)特性的研究成果不多，但對(duì)其他非線性動(dòng)力系統(tǒng)的混沌卻開展了大量的研究[7-18]. 從現(xiàn)有的研究成果可知，非線性系統(tǒng)混沌振動(dòng)的研究和判定方法主要有以下幾種.

① 依據(jù)牛頓第二定律、拉格朗日方程等方法建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)系統(tǒng)方程進(jìn)行量綱一化，建立系統(tǒng)的參數(shù)模型，然后利用Melnikov等方法進(jìn)行混沌的解析預(yù)測(cè)[8-11].

② 計(jì)算一定參數(shù)變化范圍內(nèi)系統(tǒng)的分岔圖，從分岔圖中找出系統(tǒng)的參數(shù)敏感區(qū)域，并針對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行數(shù)值分析，判定系統(tǒng)是否處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[12-13].

③ 采用數(shù)值方法計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)，然后繪制系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線，觀察其隨機(jī)性、永不重復(fù)性和對(duì)初始條件的敏感性；繪制時(shí)域響應(yīng)信號(hào)的功率譜圖，觀察功率譜的寬頻特性；繪制系統(tǒng)的相軌跡圖，觀察相軌跡是否充滿相空間中的某一部分，不重復(fù)且不封閉；繪制系統(tǒng)的Poincaré映射圖，觀察映射點(diǎn)既不是有限的點(diǎn)集，也不是封閉曲線. 這些條件均可以判定系統(tǒng)是否為混沌振動(dòng)[14-15].

④ 計(jì)算Lyapunov指數(shù)判斷系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng). 該方法是公認(rèn)的定量判定系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的指標(biāo)，若系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為正，且系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是有界的，則系統(tǒng)是混沌的[16-17].

⑤ 計(jì)算系統(tǒng)的分維數(shù)和拓?fù)潇嘏卸ㄏ到y(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，若維數(shù)為分?jǐn)?shù)，則認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的；若拓?fù)潇卮笥?，則認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的[18-19].

這些方法均可借鑒用以研究金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌，文中基于前人的研究成果，首先建立了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的力學(xué)模型，并保留模型各參數(shù)的量綱，這樣在分析時(shí)就可以確定各參數(shù)的實(shí)際值，為實(shí)際試驗(yàn)提供指導(dǎo)；其次，對(duì)金屬橡膠減振器進(jìn)行了靜、動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，并識(shí)別得到各參數(shù)的實(shí)際取值；再次，通過Runge-Kutta法計(jì)算一定激勵(lì)力和一定頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)的分岔圖，從分岔圖中確定使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵(lì)參數(shù)值，并繪制確定參數(shù)系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，計(jì)算了系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)最大值，判定了系統(tǒng)在給定的參數(shù)下處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；最后，用Adams動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，通過響應(yīng)曲線和頻譜圖的對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌振動(dòng). 文中的研究?jī)?nèi)容對(duì)金屬橡膠在混沌領(lǐng)域的推廣應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)價(jià)值.

1 金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)模型

對(duì)于某一常見的金屬橡膠減振系統(tǒng)，作如下假設(shè)：剛性設(shè)備被一個(gè)單向金屬橡膠減振器支撐；減振器的質(zhì)量很小，可忽略不計(jì)；只考慮垂直方向的振動(dòng). 激勵(lì)為沿垂直方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，作用在剛性設(shè)備質(zhì)心，且F(t)=F0cosωt. 可將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度模型如圖1所示.

圖1中，m和x(t)分別為被減振設(shè)備的質(zhì)量和位移，金屬橡膠減振器有明顯的遲滯非線性特性，本構(gòu)關(guān)系為[2]

(1)

式中：k1為一次線性剛度系數(shù)；k3為三次非線性剛度系數(shù)；c為阻尼系數(shù)，它們形成與位移有關(guān)的彈性力和與速度有關(guān)的黏性阻尼力，通常被認(rèn)為是無記憶恢復(fù)力；z(t)是金屬橡膠變形過程中干摩擦引起的記憶恢復(fù)力，由于該記憶恢復(fù)力的存在，金屬橡膠減振系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯的滯后非線性性能.

對(duì)式(1)的第二式兩邊同除以dt得

(2)

圖1所示的減振系統(tǒng)的微分方程可寫為

進(jìn)一步簡(jiǎn)化式(3)，可得

(5)

2 金屬橡膠減振器試驗(yàn)及其參數(shù)識(shí)別

常用的單自由度金屬橡膠減振器結(jié)構(gòu)及制備的金屬橡膠減振元件如圖2所示，采用上下兩塊金屬橡膠元件并聯(lián)組合使用該結(jié)構(gòu)避免了金屬橡膠元件拉壓性能不對(duì)稱的影響，能夠使金屬橡膠減振器具有整體上的拉壓一致性，從而獲得更穩(wěn)定的性能[2].

根據(jù)指標(biāo)要求，確定金屬絲徑、螺旋卷直徑、用料質(zhì)量、成型壓力等參數(shù)，制備減振器，并用WDW-T200微機(jī)控制電子萬能試驗(yàn)對(duì)減振器進(jìn)行靜態(tài)加載，測(cè)得減振器力-變形曲線如圖3所示.

減振器的力-位移曲線明顯彎曲，隨著變形的增大曲線斜率逐漸變大，說明制備的金屬橡膠減振器具有漸硬的非線性性能.

再對(duì)減振器進(jìn)行動(dòng)態(tài)的正弦加載試驗(yàn)，動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)設(shè)備用由PLS-20電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)和DH5936振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)組成，動(dòng)態(tài)加載頻率為1 Hz，幅值為2 mm，試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.

用遺傳算法編程對(duì)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別[20]，可得減振器參數(shù)分別為k1=133.546 4，k3=14.900 5，zs=88.185 1 N，c=1.871 3 N/(mm/s)，ys=0.819 0 mm，ks=107.674 1 N/mm.

利用辨識(shí)參數(shù)繪制曲線與試驗(yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示.

從辨識(shí)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可以看出，兩條遲滯回線基本吻合，說明辨識(shí)結(jié)果的正確性.

3 系統(tǒng)混沌響應(yīng)數(shù)值仿真研究

為確定激勵(lì)參數(shù)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)被減振質(zhì)量為m=5 kg，將以上識(shí)別的參數(shù)代入式(5)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，先設(shè)ω=1.5 Hz、激勵(lì)力F=3～10 kN，步長(zhǎng)ΔF=10，初始條件為[0 0 0]，用4階Runge-Kutta法求系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)力變化的分岔圖，如圖6所示.

從圖6可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)力變化出現(xiàn)多次分岔，且在5.5,5.8,8.5 kN等附近進(jìn)入混沌狀態(tài). 令激勵(lì)力F=5.5 kN，激勵(lì)頻率ω=0～5 Hz，步長(zhǎng)Δω=0.02，繪制系統(tǒng)響應(yīng)隨頻率變化的分岔圖，如圖7所示.

從圖7可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化出現(xiàn)多次分岔，且在如1.9，2.5，3.5 Hz等多個(gè)頻率附近達(dá)到混沌狀態(tài).

因此，可選取F=5.5 kN，ω=3.5 Hz，初始值取y1=0，y2=0，y3=0，時(shí)間區(qū)間選t=0～100 s，步長(zhǎng)Δt=0.01 s，編程計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)最大值為0.31，大于0，可以判定系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

求系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線(與初始值為y1=0、y2=0.01、y3=0的曲線比較)、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，如圖8所示.

從圖8的位移時(shí)間歷程曲線可知，系統(tǒng)響應(yīng)沒有穩(wěn)定的狀態(tài)，微小初始條件的改變會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)有較明顯的變化，說明在給定的激勵(lì)參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)初始條件具有敏感性，且長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)；從系統(tǒng)相圖可以看出，相軌跡充滿相空間的一個(gè)區(qū)域，不重復(fù)且不封閉；從系統(tǒng)的Poincaré映射圖可見，映射點(diǎn)既不是有限點(diǎn)集，也不是封閉曲線；從系統(tǒng)的頻譜圖可以看出，3.5 Hz的定頻激勵(lì)條件下，系統(tǒng)響應(yīng)具有很多頻率成分，如0.60,1.70,2.75,2.50,3.50及3.80 Hz都占有相當(dāng)?shù)谋戎?，這說明金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)可以明顯改變系統(tǒng)響應(yīng)的線譜成分，而且在0～0.4,1.0～1.5，2.0～2.6和3.2～3.7 Hz區(qū)間內(nèi)，頻譜圖幾乎是連續(xù)的，具有明顯的寬頻特性. 因此，可以判定金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌振動(dòng)特性.

4 Adams仿真試驗(yàn)

為驗(yàn)證金屬橡膠減振系統(tǒng)的混沌特性，用Adams軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，在Adams/View下建立單自由度的質(zhì)量-非線性彈簧系統(tǒng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如圖9所示.

設(shè)置質(zhì)量塊質(zhì)量設(shè)為5 kg，將其與底座用直線副約束，僅保留豎直方向上的自由度；激勵(lì)力用Adams Force設(shè)置，作用在質(zhì)量塊的中心，并編輯力函數(shù)為5 500cos(3.5t)；非線性彈簧兩端分別作用在質(zhì)量塊和底座的質(zhì)心，利用圖4試驗(yàn)得到的力-位移數(shù)據(jù)設(shè)置彈簧的力-變形關(guān)系，設(shè)彈簧的初始偏移為零；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，測(cè)量質(zhì)量塊位移隨時(shí)間變化的曲線，并與Runge-Kutta法求解進(jìn)行曲線對(duì)比，如圖10所示.

從圖10可以看出，Adams仿真試驗(yàn)得到的質(zhì)量塊的位移時(shí)間歷程曲線沒有穩(wěn)定狀態(tài)，振動(dòng)比較混亂且長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè). 從Adams仿真得到的曲線提取數(shù)據(jù)并對(duì)其進(jìn)行Fourier變換轉(zhuǎn)換到頻域得到其頻譜如圖11所示.

從圖11可以看出，在0.5，1.5，2.5，3.5 Hz處頻率較集中，為主要頻率成分，這是由系統(tǒng)固有頻率和次諧波響應(yīng)共同作用的結(jié)果. 且在0～0.5，1.0～1.5，2.0～2.5 Hz等范圍內(nèi)的頻譜曲線幾乎是連續(xù)的，具有明顯的寬頻特性，這說明仿真的響應(yīng)中還有其他多種頻率成分出現(xiàn).

對(duì)比圖8的頻譜圖和圖11可見，Adams仿真沒有Runge-Kutta數(shù)值解的頻率成分復(fù)雜，且圖10中兩種結(jié)果的位移-時(shí)間歷程曲線也不完全吻合. 這是因?yàn)閿?shù)值解是在減振器識(shí)別出的參數(shù)下的精確解，而辨識(shí)結(jié)果并不是沒有誤差，且Adams對(duì)非線性的仿真是將非線性部分在其平衡位置附近線性等效，剛度并不是隨時(shí)連續(xù)變化的. 盡管如此，Adams仿真的結(jié)果仍能進(jìn)一步說明金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的單頻輸入多頻輸出的寬頻響應(yīng)特性.

5 結(jié) 論

文中對(duì)金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了研究，主要通過數(shù)值仿真和Adams軟件環(huán)境下的仿真試驗(yàn)說明了對(duì)確定的金屬橡膠減振系統(tǒng)，施加適當(dāng)?shù)募?lì)就可以使其產(chǎn)生混沌響應(yīng)的特性.

結(jié)合辨識(shí)得到的系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)，對(duì)推導(dǎo)的狀態(tài)方程組進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并通過求解系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)力和激勵(lì)幅值的分岔圖，確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵(lì)參數(shù). 計(jì)算了Lyapunov指數(shù)最大值，繪制了確定參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程圖、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，證明了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌特性.

用Adams軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌特性. 這里需要指出，由于系統(tǒng)理論模型忽略了減振器的質(zhì)量，且減振器本構(gòu)關(guān)系是基于試驗(yàn)研究總結(jié)的近似模型，實(shí)際無法完全一致，因此，在進(jìn)一步的試驗(yàn)研究中，需要參考理論分析的參數(shù)，進(jìn)行大量的試驗(yàn)才能找到使系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的準(zhǔn)確參數(shù).

文中提出了研究金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)混沌的一般方法，建立了金屬橡膠混沌特性研究的理論基礎(chǔ)，既有利于金屬橡膠材料的進(jìn)一步的推廣應(yīng)用，又有利于指導(dǎo)避開金屬橡膠使用中的有害混沌振動(dòng)，或利用其改變線譜成的有利特點(diǎn)進(jìn)行工程設(shè)計(jì)，具有重要的理論價(jià)值和工程指導(dǎo)意義.

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(責(zé)任編輯：孫竹鳳)

Chaotic Characteristic of Nonlinear Metal Rubber Vibration Isolation System

LI Yu-long， BAI Hong-bai， HE Zhong-bo

(Ordnance Engineering College， Shijiazhuang， Hebei 050003， China)

The chaotic characteristic of nonlinear metal rubber vibration isolation system was studied in this paper. The mechanical model of the system was derived. The static and dynamic tests of the metal rubber isolator were done, and the parameters of the isolator were identified. According to the bifurcation diagrams which changed with the parameters of the excitation, the force and frequency which could make the system be in the chaotic state were got. The displacement time history curve, phase diagram, Poincaré map and frequency spectrogram were structured with the numerical result of Runge-Kutta method, and the maximal Lyapunov exponent was calculated. The chaotic characteristic of the system was simulated and validated by the ADAMS software. Results show that the nonlinear metal rubber vibration isolation system possesses the chaotic characteristics.

metal rubber; nonlinear; vibration isolation; chaos

2014-09-04

國家部委預(yù)研項(xiàng)目(51312060404)

李玉龍(1986—)，男，博士生，E-mail：556long@163.com.

V 214.9; TH 17; TH 113

A

1001-0645(2016)05-0491-07

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.010