尹社會，郭洪林

（河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 南陽 473000）

一類新超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為及電路實(shí)現(xiàn)

尹社會，郭洪林

（河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 南陽 473000）

利用狀態(tài)反饋法構(gòu)造了一類新的四維超混沌系統(tǒng)，通過Matlab進(jìn)行了數(shù)值模擬，并結(jié)合相圖、Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖等對該系統(tǒng)進(jìn)行了定性和定量的動力學(xué)行為分析。通過Multisim振蕩電路的搭建對該系統(tǒng)進(jìn)行了電路仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Matlab數(shù)值模擬結(jié)果一致，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的混沌特性。

超混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；分岔圖；電路仿真

混沌是發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的一種不確定行為，混沌狀態(tài)是平衡狀態(tài)、周期狀態(tài)、擬周期狀態(tài)以外的第四種狀態(tài)?；煦缡欠蔷€性科學(xué)的一個重要分支，混沌理論的研究及其在信息安全領(lǐng)域中的應(yīng)用是當(dāng)前科學(xué)界和工程領(lǐng)域的一個前沿課題[1-10]。由于電路系統(tǒng)與其對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型具有很好的吻合性，使電路模型能夠方便地模擬各種非線性混沌系統(tǒng)，并能很好地復(fù)現(xiàn)各種復(fù)雜的非線性現(xiàn)象；且電子測量更為方便，如采用示波器，可以直接獲得被測量數(shù)據(jù)的時域圖和相圖。在混沌的理論探索和應(yīng)用研究中，非線性電路充當(dāng)著橋梁的角色。借鑒已有的混沌系統(tǒng)，可以設(shè)計(jì)各種混沌、超混沌系統(tǒng)及實(shí)現(xiàn)線性系統(tǒng)的混沌化。從電路的設(shè)計(jì)這個角度來考慮，在混沌理論分析的基礎(chǔ)上，將狀態(tài)方程中的各種理論參數(shù)數(shù)值通過某種對應(yīng)關(guān)系的變換，然后將理論參數(shù)值轉(zhuǎn)換成實(shí)際所需要的電路參數(shù)值，這種用理論指導(dǎo)電路設(shè)計(jì)的方法是最終解決用電路實(shí)驗(yàn)證實(shí)產(chǎn)生混沌吸引子具有可行性的關(guān)鍵技術(shù)所在[11-16]。利用這種方法獲得的電路參數(shù)具有較高的準(zhǔn)確性，可進(jìn)一步用于指導(dǎo)硬件電路的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)，這些電路參數(shù)設(shè)計(jì)值的準(zhǔn)確性很高，當(dāng)電路設(shè)計(jì)完成后，很多電路實(shí)驗(yàn)都只需對某些元件的參數(shù)值稍微作一點(diǎn)調(diào)試，便可獲取所需的硬件實(shí)驗(yàn)結(jié)果。隨著電子元器件精度的提高與電子技術(shù)的發(fā)展，使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度大幅提高，直接推動了混沌電路的深入研究。

1 數(shù)學(xué)模型及其主要結(jié)果

張轉(zhuǎn)周等提出的的一個三維非線性混沌系統(tǒng)[17]，其數(shù)學(xué)模型如下，

由于其特殊的動力學(xué)行為，該系統(tǒng)的動力學(xué)特性被分析并研究，其全局動力學(xué)行為也被研究過[18]。本文基于該三維非線性系統(tǒng)構(gòu)建了一個新四維超混沌系統(tǒng)，通過在第2個方程中加入擾動項(xiàng)，并引入第4個方程。其數(shù)學(xué)形式如下：

圖1 系統(tǒng)（2）軌線的相圖

為了探討系統(tǒng) （2）的動力學(xué)行為的復(fù)雜性，下面通過Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖進(jìn)行研究。在系統(tǒng)參數(shù)a=5，c=1，d=0.1，e=7.2時，通過改變參數(shù)b可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的動力學(xué)行為的變化，如圖2所示，參數(shù)b∈[1，24]，可以發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[1，9.4]內(nèi)系統(tǒng)（2）只有一個Lyapunov指數(shù)為0，其余均小于0，說明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動狀態(tài)，中間有很小的區(qū)間會出現(xiàn)最大Lyapunov指數(shù)大于 0的情況，即出現(xiàn)混沌狀態(tài)。在區(qū)間[9.4，24]內(nèi)會出現(xiàn)兩個正的Lyapunov指數(shù)，說明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，但是其中第二、第三Lyapunov指數(shù)都非常接近于0，這說明系統(tǒng)的超混沌特性并不是太明顯。分岔圖是另一個驗(yàn)證系統(tǒng)動力學(xué)特性的有效手段，如圖3所示，可以看出，結(jié)論與圖2非常一致。

圖2 Lyapunov指數(shù)譜圖

圖3 系統(tǒng)（2）的分岔圖

圖4 極限環(huán)相圖（b=5）

2 電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

對系統(tǒng)（2）進(jìn)行電路仿真則需要考慮系統(tǒng)的狀態(tài)變量的變化范圍是否超出運(yùn)算放大器、乘法器的電源電壓提供范圍，具體涉及到運(yùn)算放大器組成的反相比例放大器、反向加法器、減法器以及積分器等電路模塊中的運(yùn)算放大器是否工作在線性工作區(qū)，因此在進(jìn)行具體的電路實(shí)現(xiàn)時要進(jìn)行狀態(tài)變量的適當(dāng)比例變換。在本系統(tǒng)中，可以進(jìn)行縮放到原來的1/10的線性變化，即令因?yàn)楦淖冏兞糠柌⒉挥绊懛匠?，因此這里依然采用原來的變量符號，則系統(tǒng)（2）變換為

在系統(tǒng)（3）中，運(yùn)算放大器采用TL062，乘法器采用AD633，根據(jù)系統(tǒng)（3）可以得到相應(yīng)的電路原理圖，如圖5所示。

電路中已經(jīng)標(biāo)注各元件對應(yīng)的參數(shù)值及型號，限于篇幅，這里不再贅述。通過示波器可以觀察到系統(tǒng)（3）產(chǎn)生的相圖如圖6和圖7所示，與前面的圖1和圖4相比較可以看到，模擬電路的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真結(jié)果具有很好的一致性。

3 結(jié)論

本文從一個三維非線性混沌系統(tǒng)出發(fā)，通過線性反饋構(gòu)造了一個四維超混沌系統(tǒng)，然后通過 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)，吸引子相圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖證明了系統(tǒng)的超混沌特性。最后通過模塊化模擬電路的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的模擬電路，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，為系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供了良好的條件。以后的工作重點(diǎn)將考慮構(gòu)造基于新超混沌系統(tǒng)的混沌保密通信系統(tǒng)。

圖5 電路原理圖

圖6 示波器觀察到的混沌吸引子相圖

圖7 示波器觀察到的極限環(huán)相圖

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Dynamics behavior of a class novel hyper-chaotic systems and its circuit implementation

YIN She-hui，GUO Hong-lin
（Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China）

A class of hyper-chaotic system is constructed based on state feedback method in this paper.The phase portrait，Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram for the system by Matlab are obtained.The circuit simulation of system is also obtained by Multisim.Both results obtained by above methods are consistent.

Hyper-chaotic system；Lyapunov exponent；bifurcation diagram；circuit simulation

TN911

A

1674－6236（2016）15-0042-03

2016-01-16 稿件編號：201601121

河南省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（142300410416）；南陽市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2013RK013）

尹社會（1979—），男，河南沈丘人，碩士研究生，講師。研究方向：非線性電路和系統(tǒng)等。