任惠娟， 盛美萍

(1. 咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,西安 710072)

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加筋矩形薄板的平均聲輻射效率

任惠娟1， 盛美萍2

(1. 咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,西安 710072)

采取工程等效的方法研究了四邊簡支矩形加筋薄板的振動與聲輻射，推導(dǎo)了點力激勵下的平均輻射效率計算公式，并進行了數(shù)值仿真和實驗驗證。理論分析與實驗的一致性表明：四邊簡支情況下矩形加筋薄板與勻質(zhì)矩形薄板和圓薄板的平均輻射效率公式相似，可以采用模態(tài)輻射效率加權(quán)平均的方法等效。在中高頻段，縱橫雙向加筋薄板的平均聲輻射效率最高，單向加筋薄板次之，勻質(zhì)平薄板最低；而在低頻段及臨界頻率以上，三種結(jié)構(gòu)平均聲輻射效率相差不大。

加筋薄板；正交各向異性板；平均聲輻射效率

在船舶、飛機等大型結(jié)構(gòu)中，為了增加結(jié)構(gòu)的剛度，通常在勻質(zhì)板殼結(jié)構(gòu)上附加加強筋。加強筋的存在改變了勻質(zhì)結(jié)構(gòu)的振動特性，也使得其聲振分析更為復(fù)雜。

對加筋薄板的聲輻射研究，早期主要是以無限大具有相同加強筋的板為研究對象[1-2]。其中，MACE[1]借助波數(shù)變換和穩(wěn)相法對于無限流場作用下有平行加強筋和垂直加強筋的板結(jié)構(gòu)在點激勵下的遠場聲壓進行了研究。文獻[3-4]研究加筋板的聲輻射問題時僅考慮了加強筋的振動效應(yīng)。MOYNE等[5]的研究則認為加強筋對加筋板的聲輻射有振動效應(yīng)、聲源效應(yīng)及聲障效應(yīng)三種影響，并指出其聲源效應(yīng)和聲障效應(yīng)可分別用E準(zhǔn)則和λ/6準(zhǔn)則來評估。文獻[6]則以四邊簡支單向?qū)ΨQ加筋矩形板為研究對象，將薄板沿加強筋劃分成兩個簡單單元，運用反力法將加強筋的作用等效在板上，研究了加筋板的聲輻射性能。文獻[7]采用有限元/邊界元方法，對加筋板結(jié)構(gòu)的聲輻射進行了計算分析，研究了加筋板的結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件、流體介質(zhì)等因素對于板的輻射聲功率的影響。文獻[8]在波數(shù)域上求解了流體介質(zhì)中具有相同加強筋平板在集中力作用下的聲輻射。文獻[9]采用有限元/邊界元法研究了手性覆蓋層對不均勻結(jié)構(gòu)加筋梁聲輻射的影響, 結(jié)果表明手性覆蓋層不僅能夠有效抑制不均勻結(jié)構(gòu)及其傳遞到覆蓋層輻射面的振動, 而且對不均勻結(jié)構(gòu)的輻射聲功率有很好的抑制作用。以上研究從不同方面揭示了加筋結(jié)構(gòu)的聲振特性，并為進一步深入研究加筋板的聲輻射效率提供了幫助。

振動結(jié)構(gòu)的平均聲輻射效率是其聲輻射性能的一個重要表征參量，反映了振動結(jié)構(gòu)向周圍介質(zhì)中輻射聲能量的能力，是工程技術(shù)人員在進行聲學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計時需要考慮的重要參數(shù)。XIE等[10]曾就勻質(zhì)矩形薄板和條形結(jié)構(gòu)的平均輻射效率進行了詳細研究，給出了其平均聲輻射效率的計算公式。本文作者曾在該文獻的研究基礎(chǔ)上，對勻質(zhì)圓形薄板結(jié)構(gòu)的平均輻射效率進行過詳細研究，提出了勻質(zhì)薄圓板平均輻射效率的計算公式[11]。本文將在以上研究的基礎(chǔ)上結(jié)合加筋薄板的正交各向異性等效理論，進一步研究矩形加筋薄板的平均輻射效率計算方法。

1 加筋薄板與正交各向異性板的等效條件

周期加筋的矩形薄板通?？梢缘刃檎桓飨虍愋园濉ECKEL[12]指出：當(dāng)筋的間距小于1/4彎曲波長時，周期加筋薄板便可等效為正交各向異性平板。由于平板上彎曲波的波速為

(1)

(2)

或者其振動頻率滿足

(3)

時，加筋薄板便可以等效為正交各向異性板。

SUNDARA K T研究了滿足Heckel等效條件的加筋薄板和正交各向異性板之間的等效關(guān)系，并給出了下列等效公式[13]。

(4)

(5)

Dxy=

(6)

D1=σD

(7)

(8)

2 正交各向異性板的受迫振動響應(yīng)

為簡單起見，分析時忽略板的阻尼，則正交各向異性板的受迫振動方程為

(9)

對于四邊簡支矩形各向異性板，設(shè)其撓度解的形式為

(10)

當(dāng)載荷為幅值為F0并作用于板面(x0,y0)上的點簡諧力qt=F0δ(x-x0)δ(y-y0)ejωt時，將該載荷展開成振型函數(shù)的級數(shù)形式為

(11)

將式(10)和式(11)代入式(9)并比較系數(shù)得

(12)

式中：ωmn為正交各向異性板的自然頻率，表示為

(13)

于是正交各向異性板的振速為

u(x,y,t)=jωw(x,y,t)

(14)

其振速幅值表示為

Umn=jωL(ω)φmn(x0,y0)φmn(x,y)

(15)

3 加筋薄板的平均聲輻射效率

為了研究加筋板的平均聲輻射效率問題，將符合Heckel等效條件的加筋薄板等效為正交各向異性板，令其邊界條件為四邊簡支，并將之嵌于無限大剛性障板中。

3.1 加筋薄板的模態(tài)聲功率及其平均值

建立圖1的坐標(biāo)系，將該正交各向異性板表面分割成無限多個小面元，面元ds′相對于ds的位置用極坐標(biāo)(h,θ)表示，其中h為兩面元之間的距離，θ為h與x軸反方向之間的夾角。當(dāng)正交各向異性板受到點簡諧力qt=F0δ(x-x0)δ(y-y0)ejωt激勵激勵時，ds′面元的振動在ds處產(chǎn)生的聲壓幅值為

(16)

式中：k為聲波的波數(shù)，ρa為空氣密度，ca為聲波在空氣中的傳播速度，ω為振動的角頻率。對上式積分得到所有面元的振動在面元ds處產(chǎn)生的聲壓為

Pnm(x,y)=∫sdPmn(x,y)

(17)

面元ds的聲強為

(18)

Wnm=∫sInm(x,y)ds

(19)

對激勵點進行面平均，得到模態(tài)輻射聲功率的平均值為

(20)

式中，S為板的面積。

圖1 正交各向異性矩形板表面積分示意圖Fig.1 Integral sketch in the surface of othotropic plate

3.2 加筋薄板的模態(tài)輻射效率

汽車和發(fā)動機在整個壽命期間如何減少故障、延長使用壽命、提高在有限時間內(nèi)的工作質(zhì)量始終是個難題。隨著時間的發(fā)展，狀態(tài)監(jiān)控技術(shù)應(yīng)運而生，它成為解決這個難題的重要手段和方法。狀態(tài)監(jiān)控不是判定結(jié)果(故障診斷)，而是養(yǎng)護和維修“注意”和“預(yù)測”。綜合后的SAE狀態(tài)監(jiān)測概念列于表2，信息流程如圖1所示。

等效正交各向異性矩形板的模態(tài)均方振速為

(21)

對上式中的激勵點作空間平均，得到模態(tài)均方振速的平均值為

(22)

等效正交各向異性矩形板的模態(tài)輻射效率為

(23)

將式(20)和式(22)代入式(23)，則等效正交各向異性矩形板的模態(tài)輻射效率為

φmn(x,y)·φmn(x′,y′)dsds′

(24)

將上式離散化為

(25)

3.3 加筋薄板的平均輻射效率

等效正交各向異性矩形板振動時的平均輻射效率為

(26)

(27)

(28)

將式(27)和式(28)代入式(26)得到嵌于無限大剛性障板中的加筋矩形薄板在點激勵下的平均輻射效率為

(29)

式中，lmn定義為

(30)

由式(29)可以看出，四邊簡支加筋薄板的平均輻射效率是其各階模態(tài)輻射效率的加權(quán)平均值，其權(quán)系數(shù)由式(30)決定。將 式(29) 及 式(30) 與勻質(zhì)薄板的平均輻射效率公式[10]對比發(fā)現(xiàn)，二者平均聲輻射效率表達式及權(quán)系數(shù)的表達式均非常類似，即平均輻射效率都等于其模態(tài)輻射效率的加權(quán)平均值，而不同之處在于二者權(quán)系數(shù)表達式中對自然頻率及板的面密度定義的不同。

4 數(shù)值分析與討論

對于一縱橫雙向加筋的方薄板，a=1 m，b=1 m，hP=0.003 m，雙向筋的參數(shù)相同：筋間距dr=0.02 m，筋條寬度br=0.005 m，筋高hr=0.02 m，筋條總數(shù)nr=50；筋與板的材質(zhì)均為鋼(楊氏模量E=21.6×1010N/m2，體密度ρV=7.8×103kg/m3，泊松比0.28)。根據(jù)加筋薄板的正交各向異性等效條件，當(dāng)頻率滿足f<4 623 Hz時，該加筋薄板可以等效為正交各向異性板。圖2為該加筋薄板的輻射效率隨頻率的變化關(guān)系曲線。

由圖2可以看出：低頻段，隨著頻率的增大，平均輻射效率也隨之增大，并且平均輻射效率等于(1,1)階的模態(tài)輻射效率；中頻段，隨著頻率的增大，平均輻射效率則圍繞某一恒值在小范圍內(nèi)波動變化；高頻段，隨著頻率的增大平均輻射效率也逐漸增大；臨界頻率之后，平均輻射效率將趨近于1。以上特點與勻質(zhì)矩形薄板[10]及勻質(zhì)圓薄板[11]的平均輻射效率特點一致。

圖2 雙向加筋薄板的輻射效率……模態(tài)輻射效率 ━━平均輻射效率 ——(1,1)階模態(tài)輻射效率Fig 2 Radiation efficiency of a crisscross thin stiffened plate

圖3給出了雙向加筋薄板、單向加筋薄板(筋條僅沿x方向，筋及板的所有參數(shù)同雙向加筋方板)及勻質(zhì)薄板的平均輻射效率對比。由圖3可以看出：在中高頻段，加筋薄板的平均聲輻射效率遠遠高于勻質(zhì)板，并且縱橫雙向加筋薄板的平均聲輻射效率高于單向加筋薄板，這是由于加筋薄板的剛度較無筋板大，而縱橫雙向加筋薄板的剛度較單向加筋薄板大的緣故；而在低頻段及臨界頻率以上，三種結(jié)構(gòu)平均聲輻射效率相差不大。

圖3 雙向加筋、單向加筋及勻質(zhì)薄板平均輻射效率對比Fig.3 Average radiation efficiency comparison of the crisscross stiffened plate, the unidirectional stiffened plate and the uniform plate

5 實驗測試

為了驗證點簡諧力激勵下加筋矩形薄板平均輻射效率的理論分析結(jié)果，作者在西北工業(yè)大學(xué)消聲室對單向加筋薄板的平均聲輻射效率進行了實驗驗證。

加筋板的輻射指數(shù)10lgσ根據(jù)下式進行測試：

(31)

實驗中，聲功率級是通過測試加筋薄板附近半球表面的聲壓獲得的，其中聲壓的測試依照《GB/T 6882—1986》附錄B及《GB/T 6882—2008》標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行，平均振速級則通過測試其表面的加速度獲得。

實驗時，加筋薄板的參數(shù)為：長為0.5 m、寬為0.5 m、厚為0.005 m、筋高為0.02 m、筋寬為0.005 m、筋條間隔為0.05 m、筋條數(shù)為10，筋和板的材質(zhì)均為鋼。當(dāng)振動頻率滿足f<1 232 Hz時，將其等效為正交各向異性板。由于板面距離地面較近，地面在此充當(dāng)了矩形板周圍的無限大剛性障板，實驗條件和理論分析條件基本符合。在板面、地面形成的空腔中填充吸聲海綿以減少空腔的聲振耦合，激振器懸掛在矩形板上方，激振點偏離板中心。測試安裝現(xiàn)場如圖4所示。

圖4 簡支邊界加筋方薄板的安裝測試現(xiàn)場Fig.4 The test scene of a stiffened plate with simply supported boundary condiation

為了實現(xiàn)加筋薄板的簡支邊界條件，本文設(shè)計并制造了簡支邊界夾具。夾具的材質(zhì)為鋼，與板接觸的地方做了削尖處理。其剖面示意圖如圖5所示。

圖5 簡支夾具剖面示意圖Fig.5 A section through the fixture with simply supported boundary condiation

圖6 簡支邊界加筋方薄板輻射指數(shù)測量值與理論值對比Fig.6 Radiation index comparison of a stiffened plate between the test value with the theroy value

圖6給出了加筋薄板輻射指數(shù)(10lgσ)測量值與理論值對比結(jié)果，由二者的對比情況看，實驗值與理論值一致性較好。其中實驗值略大是由于實驗過程中空腔內(nèi)聲振耦合不能完全消除所導(dǎo)致的，但總體來講理論值與實驗值一致性良好。

6 結(jié) 論

本文采用工程等效方法研究了矩形加筋薄板嵌于無限大障板中的振動與聲輻射，得到了模態(tài)輻射效率及平均輻射效率的計算公式，并通過實驗驗證了理論分析的正確性，理論與實驗的一致性表明：

(1) 四邊簡支情況下矩形加筋薄板與勻質(zhì)矩形薄板和圓薄板的平均輻射效率公式相似，可以采用模態(tài)輻射效率加權(quán)平均的方法等效。

(2) 與勻質(zhì)矩形薄板及勻質(zhì)圓薄板的平均聲輻射效率特點一致，臨界頻率之后，矩形加筋薄板平均輻射效率將趨近于1。低頻段和高頻段，矩形加筋薄板平均輻射效率隨著頻率的增大而增大；中頻段，平均輻射效率隨著頻率的變化在某一恒值內(nèi)小范圍波動。

(3) 在中高頻段，縱橫雙向加筋薄板的平均聲輻射效率最高，單向加筋薄板次之，勻質(zhì)平薄板最低；而在低頻段及臨界頻率以上，三種結(jié)構(gòu)平均聲輻射效率相差不大。

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The average radiation efficiency of a rectangular stiffened thin plate

REN Huijuan1, SHENG Meiping2

(1. Department of Physics and Electronic Engineering, Xianyang Normal University, Xianyang 712000, China;2. Department of Marine, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The vibration and sound radiation of a rectangular stiffened thin plate were investigated by using the method of the engineering equivalence. The average radiation efficiency formula of the rectangular stiffened plate driven by a simple harmonic point force was derived. The numerical simulation and the experiment were implemented. The consistency of the theory analysis and the experiment shows that the average radiation efficiency formula of the rectangular stiffened thin plate is similar to that of the uniform rectangular thin plate and circular thin plate. They are all the weighted mean of the modal radiation efficiency. In the middle and high frequency band, the average radiation efficiency of the crisscross stiffened thin plate is maximal. The unidirectional stiffened thin plate takes the second place, and the uniform thin plate is the minimum. While in the low frequency band and above the critical frequency, there is no significant difference between them.

rectangular stiffened thin plate; orthotropic plate; average radiation efficiency

陜西省自然科學(xué)基金 (2011JM1017)；陜西省教育廳2013年科學(xué)研究計劃項目(2013JK0618)

2015-12-24 修改稿收到日期：2016-03-17

任惠娟 女，博士，副教授，1972年生

O42

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.027