韓悌信 ， 曾祥國(guó) ， 盛 鷹 ， 陳 軍 ，陳華燕

(1.四川大學(xué)，四川 成都 610065)(2.北京應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，北京 100088)

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鈦合金動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究及應(yīng)用

韓悌信1， 曾祥國(guó)1， 盛 鷹1， 陳 軍2，陳華燕1

(1.四川大學(xué)，四川 成都 610065)(2.北京應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，北京 100088)

鈦合金；S型曲線(xiàn)；修正Johnson-Cook模型；遺傳算法

0 引 言

具有優(yōu)良力學(xué)性能和耐腐蝕性能的鈦及鈦合金被越來(lái)越多地應(yīng)用于航空航天、化工、艦船等領(lǐng)域，也就越來(lái)越要求人們了解和掌握其在各種情況下的力學(xué)行為。眾多研究表明，鈦合金是應(yīng)變率高度敏感材料，且在高應(yīng)變率下呈現(xiàn)出特殊的力學(xué)性能[1]。因此，在涉及高速成形、高速碰撞、動(dòng)態(tài)斷裂以及彈塑性波傳播等工程應(yīng)用中，有必要研究鈦合金在高應(yīng)變率下的力學(xué)性能[2]。但是，在實(shí)際中要得到鈦合金在極高應(yīng)變率、極高溫度下的應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)比較困難，更不可能得到鈦合金在所有應(yīng)變率及溫度下的力學(xué)性能。一種可行的方法是用相關(guān)理論提出的本構(gòu)關(guān)系模型來(lái)描述應(yīng)力與應(yīng)變率、溫度之間的關(guān)系，采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出模型中的待定參數(shù)，再以此本構(gòu)關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)材料在任意應(yīng)變率及溫度下的力學(xué)行為。

Johnson-Cook模型形式簡(jiǎn)單、各參數(shù)含義清晰、易擬合，被廣泛用于描述金屬材料的力學(xué)行為，且已被眾多商用有限元軟件所采用，用于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在動(dòng)態(tài)載荷作用下的動(dòng)力學(xué)有限元分析[3-6]。但經(jīng)典的Johnson-Cook模型不能很好地描述鈦合金在高應(yīng)變率下的力學(xué)性能。這是因?yàn)樵诟邞?yīng)變率下，鈦合金內(nèi)部溫升會(huì)影響流變應(yīng)力的大小，即溫升會(huì)減弱應(yīng)變、應(yīng)變率的強(qiáng)化效應(yīng)。為此，眾多學(xué)者對(duì)Johnson-Cook模型進(jìn)行了修正，以更好地描述鈦合金在高應(yīng)變率下的力學(xué)行為。

1 修正的Johnson-Cook模型

經(jīng)典Johnson-Cook模型考慮了加工硬化效應(yīng)、應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)和溫度軟化效應(yīng)，被廣泛用來(lái)描述金屬材料的塑性變形行為，其表達(dá)式為[8]：

(1)

在102～105s-1下，鈦合金往往表現(xiàn)出熱粘塑性，其內(nèi)部溫升會(huì)影響本構(gòu)關(guān)系中的流變應(yīng)力σp，而經(jīng)典的Johnson-Cook模型很難描述材料在高應(yīng)變率下的粘塑性行為[9]，因此需對(duì)其修正。當(dāng)材料經(jīng)歷由εp1到εp2的塑性應(yīng)變時(shí)，其內(nèi)部的溫升ΔT及流變應(yīng)力變化量Δσp由下式?jīng)Q定[1]：

(2)

式中β為功熱轉(zhuǎn)換系數(shù)，ρ為材料密度，Cp為材料的比熱容。

(3)

式中，k1、k2為材料常數(shù)，且k1>1,k2>0，需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定。

(4)

2 修正的Johnson-Cook模型的常數(shù)確定

2.1 常數(shù)擬合

人們確定Johnson-Cook模型中的材料參數(shù)時(shí)，一般都是從特殊的實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)出發(fā)，逐個(gè)確定待定參數(shù)，這樣做的弊端是忽略了不同應(yīng)變率下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)本構(gòu)參數(shù)的影響，而使用最小二乘法并考慮所有試驗(yàn)曲線(xiàn)的枚舉法則計(jì)算效率太低。因此希望找到一種算法，既能考慮多條實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的影響，又能大大減小計(jì)算量，而遺傳算法正好可以滿(mǎn)足這一要求。遺傳算法[11](GA)模擬了自然選擇和遺傳中發(fā)生的復(fù)制、交叉和變異等現(xiàn)象，從任一初始群體出發(fā)，通過(guò)隨機(jī)選擇、交叉和變異操作，產(chǎn)生一群更適應(yīng)環(huán)境的個(gè)體，使群體進(jìn)化到搜索空間中越來(lái)越好的區(qū)域，這樣一代一代地不斷繁衍進(jìn)化，最后收斂到一群最適應(yīng)環(huán)境的個(gè)體，從而求得問(wèn)題的最優(yōu)解。

修正的Johnson-Cook模型中有A、B、n0、C、m、K 、k1、k2共8個(gè)待定參數(shù)，不妨令X=[A，B，n0，C，m，K，k1，k2]T，則目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

考慮多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)(εpi,σpi)(i=1,2,…,n)，以式(5)為目標(biāo)函數(shù)，采用2.1節(jié)中介紹的遺傳算法對(duì)式(4)中的8個(gè)材料參數(shù)進(jìn)行求解。各變量需給定搜索域：

A∈[Amin,Amax]；B∈[Bmin,Bmax]；

n0∈[n0min,n0max]；C∈[Cmin,Cmax]；

m∈[mmin,mmax]；K∈[Kmin,Kmax]；

k1∈[k1min,k1max]；k2∈[k2min,k2max]。

至此，修正Johnson-Cook模型中的8個(gè)材料常數(shù)已全部確定，方程為：

(6)

2.2 修正的Johnson-Cook模型的增量形式

修正的Johnson-Cook模型式(6)適用于描述鈦合金在任意應(yīng)變率及溫度下的本構(gòu)關(guān)系。Johnson-Cook模型表示的是流變應(yīng)力與塑性應(yīng)變、應(yīng)變率、溫度之間的關(guān)系，而最終想要得到的是真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)，因此，需要采用應(yīng)力增量法求得特定真應(yīng)力下的真應(yīng)變，具體步驟如下。

當(dāng)真應(yīng)力>屈服應(yīng)力時(shí)，修正后的真應(yīng)力為：

(7)

對(duì)式(7)兩邊取增量：

(8)

則應(yīng)力增量迭代的表達(dá)式為：

(9)

式中，n表示增量步開(kāi)始時(shí)的值，n+1表示增量步結(jié)束時(shí)的值。

根據(jù)式(8)、式(9)，可以得到鈦合金在應(yīng)力控制條件下，在不同應(yīng)變率及溫度下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)，然后可以將這些曲線(xiàn)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

3 Ti-6Al-4V合金本構(gòu)模型算例

3.1 Ti-6Al-4V合金動(dòng)態(tài)本構(gòu)方程

Ti-6Al-4V合金的Tm=1 933 K，E=107 800 MPa。基于文獻(xiàn)[7]中不同應(yīng)變率及溫度下的流變應(yīng)力-塑性應(yīng)變數(shù)據(jù)，采用本文提出的修正的Johnson-Cook模型及參數(shù)求解方法，得到Ti-6Al-4V合金的本構(gòu)參數(shù)，如表1所示。根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果，給定各變量的搜索域?yàn)椋?/p>

A∈[500,2 000]；B∈[600,1 500]；

n0∈[0.01,0.99]；C∈[0.01,0.02]；

m∈[0.6,0.8]；K∈[-1,1]；

k1∈[10,2 000]；k2∈[0,0.01]。

表1 修正的Johnson-Cook模型中Ti-6Al-4V合金的本構(gòu)參數(shù)

(10)

圖的函數(shù)圖Fig.2 Function image of β

圖3 β曲線(xiàn)斜率圖Fig.3 Slope image of β curve

修正的Johnson-Cook模型適用于任意應(yīng)變率及溫度下鈦合金的本構(gòu)關(guān)系。代入表1所給出的Ti-6Al-4V合金的本構(gòu)參數(shù)，得式(11)：

(11)

3.2 Ti-6Al-4V合金的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)

由式(11)可得：

(12)

低應(yīng)變率、不同溫度下，Ti-6Al-4V合金的6組真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)(10-5s-1、296 K；10-3s-1、296 K；1 s-1、296 K；10-3s-1、422 K；10-3s-1、588 K；10-3s-1、755 K)的實(shí)驗(yàn)值(文獻(xiàn)[7])和本文計(jì)算值的比較如圖4所示。

圖4 低應(yīng)變率、不同溫度下Ti-6Al-4V合金真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)值和本文計(jì)算值比較Fig.4 Comparison of true stress-true strain curves of experiment and calculation at low strain rates for various temperatures for Ti-6Al-4V alloy

高應(yīng)變率、不同溫度下，Ti-6Al-4V合金的4組真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)(3 700 s-1、998 K；、3 100 s-1、798 K；2 700 s-1、598 K； 1 900 s-1、296 K)的實(shí)驗(yàn)值(文獻(xiàn)[7])和本文計(jì)算值的比較如圖5所示。

圖5 高應(yīng)變率、不同溫度下Ti-6Al-4V合金真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)值和本文計(jì)算值比較Fig.5 Comparison of true stress-true strain curves of experiment and calculation at high strain rates for various temperatures for Ti-6Al-4V alloy

從圖4和圖5可以看出，高應(yīng)變率下給定應(yīng)變的流變應(yīng)力明顯高于低應(yīng)變率下的，且應(yīng)變率越高，給定應(yīng)變下的流變應(yīng)力越大，動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度也隨應(yīng)變率的增加而增大，說(shuō)明Ti-6Al-4V合金是一種應(yīng)變率敏感材料。低應(yīng)變率下的流變應(yīng)力隨應(yīng)變?cè)龃笾饾u升高，表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)，而高應(yīng)變率下的流變應(yīng)力在應(yīng)變超過(guò)一定值后逐漸停止升高，甚至有下降的趨勢(shì)。這表明，低應(yīng)變率下的應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)強(qiáng)于應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)，高應(yīng)變率下的應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)強(qiáng)于應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)，絕熱溫升是影響流變應(yīng)力的主要因素，絕熱溫升引起流變應(yīng)力的改變量抵消了應(yīng)變強(qiáng)化引起的流變應(yīng)力增量。由低應(yīng)變率下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(xiàn)(圖4)可知，在同一應(yīng)變率下，變形溫度越高，給定應(yīng)變下的流變應(yīng)力越低，表明Ti-6Al-4V合金具有溫度軟化效應(yīng)，高應(yīng)變率下的絕熱溫升引起的流變應(yīng)力降低也證實(shí)了這一點(diǎn)。修正的Johnson-Cook模型可以很好的描述Ti-6Al-4V合金的力學(xué)行為，既符合低應(yīng)變率下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，也符合高應(yīng)變率下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

4 結(jié) 論

(2)用遺傳算法擬合本構(gòu)方程參數(shù)，這種擬合方法可信度高，且具有普遍意義。

(3)經(jīng)過(guò)Ti-6Al-4V合金算例驗(yàn)證，修正的Johnson-Cook模型適用于任何應(yīng)變率及任何溫度下描述鈦合金力學(xué)行為，并對(duì)預(yù)測(cè)材料在高應(yīng)變率、高溫下的力學(xué)行為具有重要的工程意義。

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Study and Application of Dynamic Constitutive Relation for Titanium Alloy

Han Tixin1,Zeng Xiangguo1,Sheng Ying1,Chen Jun2,Chen Huayan1

(1.Sichuan University, Chengdu 610065,China)(2.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100088,China)

titanium alloy; S-curve; modified Johnson-Cook model; genetic algorithm

2016-06-05

國(guó)防重點(diǎn)基金項(xiàng)目(B1520132013-1)

曾祥國(guó)(1960—)，男，教授。

TG146.2+3

A

1009-9964(2016)04-0017-05