加春燕， 崔 麗

(1. 北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，北京 100042；2. 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

基于頻譜邊緣檢測和Radon變換估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向

加春燕1， 崔 麗2

(1. 北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，北京 100042；2. 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

為了準(zhǔn)確估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向，在理論推導(dǎo)部分，以定積分、Fourier變換和Sinc函數(shù)的性質(zhì)為依據(jù)，得出了運(yùn)動(dòng)模糊方向、圖像尺寸和頻譜圖像平行條紋方向三者的關(guān)系。在算法優(yōu)化部分，系統(tǒng)分析了Radon變換法、Gabor變換法和頻譜分塊法的原理和不足，并提出了基于頻譜邊緣檢測和Radon變換的改進(jìn)算法。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，編寫Matlab程序?qū)追N方法進(jìn)行了測試和比較，結(jié)果表明，該方法的估計(jì)精度最高，更適用于估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向。

運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向估計(jì)；頻譜邊緣檢測；Radon變換；Gabor變換；頻譜分塊法

實(shí)際成像過程中，因相機(jī)與被攝物體之間的相對運(yùn)動(dòng)而造成的模糊通常被稱為運(yùn)動(dòng)模糊，運(yùn)動(dòng)模糊圖像的恢復(fù)在天文、軍事、道路交通及醫(yī)學(xué)圖像等各個(gè)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。由于運(yùn)動(dòng)模糊效應(yīng)取決于運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)長度，且運(yùn)動(dòng)長度的估計(jì)又依賴于運(yùn)動(dòng)方向的估計(jì)[1]，故本文研究了運(yùn)動(dòng)方向的估計(jì)方法。目前估計(jì)運(yùn)動(dòng)方向最常用的是Radon變換法[2]，根據(jù)頻譜圖像中的平行條紋特征來估計(jì)運(yùn)動(dòng)方向，容易操作且準(zhǔn)確度較高，但當(dāng)運(yùn)動(dòng)長度較小或圖像受到噪聲干擾時(shí)，由于頻譜圖像中的條紋特征不顯著且受到頻譜中心亮十字的干擾，導(dǎo)致估計(jì)誤差較大，對其改進(jìn)較好的方法包括 Gabor變換法[3]和樂翔等[4]提出的頻譜分塊法，但這兩種算法的運(yùn)算量較大不易操作，且未考慮圖像尺寸問題。為此，本文先進(jìn)行理論分析，推導(dǎo)圖像尺寸、運(yùn)動(dòng)模糊方向角和頻譜圖像中的平行條紋方向角三者的關(guān)系，再尋找一種改進(jìn)算法，既能突出頻譜圖像的條紋特征，又能保證運(yùn)算量較小容易操作，且估計(jì)精度要高于現(xiàn)有的方法。此外，對于實(shí)拍的運(yùn)動(dòng)模糊圖像，利用本文算法估計(jì)方向角后再進(jìn)行圖像恢復(fù)，要保證恢復(fù)效果較好，才能體現(xiàn)本文算法的應(yīng)用價(jià)值。

1 理論推導(dǎo)

將圖像視為點(diǎn)集，每點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)像素值，可記為 f( x,y)，其中x和y代表該點(diǎn)的行、列位置。運(yùn)動(dòng)模糊過程可以理解為：一幅本來清晰的圖像f，受到運(yùn)動(dòng)模糊(其核函數(shù)記為kL,α)及其他細(xì)微噪聲r(shí)(如光照等，理想狀態(tài)下可視為0)的“污染”，退化為實(shí)際觀測到的圖像g，這一現(xiàn)象可用如下卷積方程來刻畫：

其中，kL,α通常被稱為運(yùn)動(dòng)模糊核函數(shù)，L代表運(yùn)動(dòng)模糊長度，α代表運(yùn)動(dòng)模糊方向角。由于變速非直線的運(yùn)動(dòng)可分解為分段勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此本文提到的運(yùn)動(dòng)模糊均指勻速直線運(yùn)動(dòng)模糊，即L 和α均為常數(shù)。圖像恢復(fù)的目的就是從 g入手，結(jié)合kL,α和r的相關(guān)信息來重構(gòu)圖像，重構(gòu)結(jié)果越清晰越好。顯然，準(zhǔn)確估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊參數(shù)L和α是前提，事實(shí)上，一旦估計(jì)出α，便可將二維圖像在該方向上降解為一維數(shù)據(jù)，從中容易算出L[1]，估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊方向角α的推導(dǎo)過程如下：

(1) 為方便推導(dǎo)，暫不考慮其他噪聲(r=0)，設(shè)x0(t)和y0(t)分別為t時(shí)間內(nèi)像素點(diǎn)在x和y方向上的變化分量，T為相機(jī)曝光時(shí)間，于是有：

(2) 對式(2)進(jìn)行Fourier變換，記G、F和K分別為g、f和kL,α的Fourier 變換函數(shù)，則：

因此 kL,α(x,y)的Fourier變換函數(shù) K( u, v)為：

(3) 設(shè)a、b是在曝光時(shí)間T內(nèi)像素點(diǎn)在x、y方向上移動(dòng)的距離，則：

代入式(4)，計(jì)算定積分可得：

(4) 設(shè)圖像尺寸為M×N，對式(6)進(jìn)行離散化得：

顯然，當(dāng)圖像為方圖即M=N時(shí)，模糊方向與暗條紋方向垂直，這也是大多數(shù)文獻(xiàn)所使用的結(jié)論[1-4]，但當(dāng)M和N不等時(shí)二者并不垂直。圖1通過兩個(gè)測試圖像展示了式(8)中的角度關(guān)系，其中圖 1(a)和(c)中的運(yùn)動(dòng)模糊方向角α的真實(shí)值均為45°，用本文 2.3節(jié)的方法檢測出圖 1(b)中平行條紋方向角β為135°，代入式(8)得α估計(jì)值為45°，同理圖1(d)中β為153°，代入式(8)得α約為44.8°，與45°十分接近。

圖1 運(yùn)動(dòng)模糊圖像及其頻譜圖像

2 運(yùn)動(dòng)模糊圖像方向的估計(jì)方法

2.1 Radon變換方法及其不足

為估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊方向角α，由式(8)需要先檢測頻譜圖像中的平行暗條紋方向角β，目前應(yīng)用較多的是Radon變換方法，對于頻譜圖像G，其Radon變換為[2]：

可見，G的Radon變換是沿著距原點(diǎn)(圖像中心)ρ且與Y軸方向夾角為θ的線積分，由于運(yùn)動(dòng)模糊頻譜圖中有一組平行條紋(圖1(b)和(d))，則沿該方向的積分值必然最大，故而通過 Radon變換求最大值便可確定平行條紋的方向。但 Radon變換存在不足：①當(dāng)模糊長度 L較小時(shí)頻譜圖中的平行條紋較少，此時(shí)用 Radon變換檢測不準(zhǔn)；②頻譜圖像中心處的亮十字(圖 1(b)和(d))對 Radon變換的干擾較大，會(huì)誤檢為0°或90°。例如，對圖1(b)和(d)做Radon變換(圖2)，結(jié)果為90°和63°，真實(shí)值應(yīng)是45°和63°(傾斜角β為153°，與Y軸夾角θ為63°)，在此，對圖1(b)誤檢為90°了。亮十字出現(xiàn)的原因，是因?yàn)楫?dāng)kL,α與f做完全卷積時(shí)，所得圖像 g的寬和高應(yīng)比 f分別增加L cosα和L sinα ，然而，實(shí)際中相機(jī)成像空間固定，所得圖像在四周邊緣處會(huì)被截?cái)?，陡峭的邊緣截?cái)鄬?dǎo)致中心化后的頻譜圖像中心出現(xiàn)了亮十字。大多數(shù)文獻(xiàn)未考慮此問題，因?yàn)闇y試圖像可以先進(jìn)行邊界處理，但實(shí)拍圖像必然會(huì)有邊緣截?cái)?，因此如何有效地消除亮十字是值得處理的問題。

圖2 圖1(b)和(d)分別做Randon變換檢測條紋方向

2.2 兩種改進(jìn)方法及其不足

基于上述分析，改進(jìn) Radon變換應(yīng)致力于兩個(gè)目標(biāo)：①設(shè)法突出頻譜圖像中的平行條紋特征；②設(shè)法消除頻譜圖像中的亮十字。Gabor變換方法[3]是用Gabor變換將“窗口”聚焦圖像中心，從而減少了亮十字的干擾，但窗口函數(shù)(Gassian函數(shù))中的參數(shù)需人為設(shè)定，實(shí)用性不強(qiáng)。樂翔等[4]提出了頻譜分塊的方法，具體作法是先檢測出亮十字位置，然后截取去除十字后的 1/4塊來做 Radon變換，對圖1(b)和(d)，可取十字的左上或右下塊，缺點(diǎn)是檢測亮十字位置的運(yùn)算量較大容易出錯(cuò)，且對于小尺度運(yùn)動(dòng)模糊情形誤差較大。此外，這兩種改進(jìn)算法處理的均為方圖，默認(rèn)了模糊方向與頻譜平行暗條紋方向垂直，未考慮圖像長寬不等的情形。

2.3 基于頻譜邊緣檢測和Radon變換的改進(jìn)方法

邊緣檢測旨在提取目標(biāo)與背景之間在灰度或者紋理特征上的突變邊界線，頻譜圖像中有明顯的亮暗相間的條紋，對其做邊緣檢測所得邊界線應(yīng)與條紋方向平行，且能夠弱化亮十字的高灰度值，從而降低亮十字干擾。常用的邊緣檢測算子有Sobel算子、Laplacian of Gaussian(LoG)算子和Canny算子等，本文選用檢測性能較好的 Canny算子，采用先平滑后求導(dǎo)數(shù)的方法，邊緣點(diǎn)位于圖像被高斯平滑后的梯度值的極大值點(diǎn)[5]。對圖 1(b) 和(d)做Canny邊緣檢測(圖3(a)和(b))，突出了平行暗條紋的輪廓，雖然亮十字仍隱約可見，但相比強(qiáng)化后的平行邊界線，其干擾已經(jīng)變得很微弱。

圖3 對圖1(b)和(d)先做Canny邊緣檢測再做Radon變換

根據(jù)前面的理論分析，改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)模糊方向角的估計(jì)算法如下：

(1) 通過二維 Fourier變換，求運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜G，且通常利用取對數(shù)來壓縮頻譜的灰度值范圍，增強(qiáng)暗條紋特征，一般取ln (1+|G|)；

(2) 使用 Canny算子對(1)中的結(jié)果進(jìn)行邊緣檢測；

(3) 對(2)得到的二值化頻譜做 0°～180°的Radon變換，找出變換最大值對應(yīng)的角度θ，該角度為頻譜暗條紋方向與 Y軸的夾角，因此暗條紋的傾斜角為；

(4) 結(jié)合圖像尺寸M和N代入式(8)，算出運(yùn)動(dòng)模糊方向角α。

借助Matlab軟件編寫程序，對圖3(a)和(b)做Radon變換，結(jié)果見圖3(c)和(d)，θ分別為45°和63°，于是β為135°和153°，代入式(8)計(jì)算，得到α分別為45°和44.8°，兩者的真實(shí)值均為45°，可見估計(jì)結(jié)果較為準(zhǔn)確。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性，選擇圖 1中的512×512大小的轎車圖和截取的 256×512車牌圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中先用 Matlab工具箱中的“fspecial”命令人為設(shè)置運(yùn)動(dòng)模糊，模糊角度α取5°、45°、80°和150°，模糊長度L取8、20和40，分別按照Gabor變換方法[3]、頻譜分塊方法[4]和本文算法對α進(jìn)行估計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了估計(jì)值及相應(yīng)的誤差絕對值(表1～2)，其中角度的小數(shù)位按四舍五入取整。

表1 512×512轎車圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 256×512車牌圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)圖像長寬不相等時(shí)，由于文獻(xiàn)[3]和[4]錯(cuò)誤地默認(rèn)了頻譜暗條紋方向與模糊方向垂直，因此估算結(jié)果出錯(cuò)，而本文算法考慮到圖像尺寸、頻譜暗條紋方向和模糊方向三者之間的關(guān)系，按照式(8)進(jìn)行計(jì)算，最終估計(jì)結(jié)果比較準(zhǔn)確，僅在小尺度模糊時(shí)出現(xiàn)了1或2像素的誤差。

圖 4展示了實(shí)拍的運(yùn)動(dòng)模糊車牌圖像及其恢復(fù)結(jié)果，對于第一行的車牌圖像，α角的估計(jì)結(jié)果：本文算法為150°，Gabor變換法為145°，頻譜分塊法為143°，長度L用文獻(xiàn)[6]的方法計(jì)算分別為13像素、10像素和8像素，按文獻(xiàn)[7]的方法對圖像進(jìn)行恢復(fù)，從圖 4可以看出，本文算法恢復(fù)效果最好。第二行是車輛過收費(fèi)站時(shí)的模糊圖像，從中截取了車牌部分進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，本文算法估計(jì)出α為0°，L為6像素，Gabor變換法的結(jié)果為5°和10像素，頻譜分塊法的結(jié)果為12°和20像素，對應(yīng)的恢復(fù)效果見圖4，仍然是本文算法恢復(fù)結(jié)果最好，能辨認(rèn)車牌數(shù)字為 4142，但其余信息無法確定，因?yàn)榇藞D像除了運(yùn)動(dòng)模糊之外，可能還存在光照、大霧等其他因素影響，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，且過多的噪聲也給圖像恢復(fù)帶來了困難。

圖4 運(yùn)動(dòng)模糊圖像及本文算法、Gabor變換法和頻譜分塊法的恢復(fù)結(jié)果

4 結(jié) 束 語

準(zhǔn)確估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊方向是恢復(fù)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的關(guān)鍵步驟，本文經(jīng)理論推導(dǎo)，得出了運(yùn)動(dòng)模糊方向、圖像尺寸和頻譜圖像中平行條紋方向之間的關(guān)系，并提出了基于頻譜邊緣檢測和 Radon變換的估計(jì)方法，該方法一方面突出了頻譜圖像中的暗條紋特征，另一方面減少了頻譜圖像中的亮十字干擾，使得 Radon變換檢測角度更加精確，數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分表明本文的方法不僅適用于任意尺寸的運(yùn)動(dòng)模糊圖像，而且在其他噪聲干擾較小的情況下，對運(yùn)動(dòng)模糊圖像方向的估計(jì)精度更高，但當(dāng)噪聲較大時(shí)，頻譜圖像中的平行暗條紋特征減弱甚至消失，導(dǎo)致 Radon變換無法正確檢測角度，因此，有必要進(jìn)一步分析噪聲干擾的情形，繼續(xù)改進(jìn)算法使其具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

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Direction Estimation of Motion Blurred Images Based on Edge Detection of Spectrum and Radon Transform

Jia Chunyan1, Cui Li2

(1. Fundamental Courses Department, Beijing Polytechnic College, Beijing 100042, China; 2. School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

To accurately estimate direction of motion blurred images, in the part of theoretical derivation, the relationships among motion blur direction, image size and direction of parallel dark stripes in the spectrum images are derived based on know ledge of definite integral, Fourier transform and the Sinc function. In the part of algorithm optim ization, the principle and deficiency of Radon transform, Gabor transform and spectrum sub–blocks method are analyzed. And then the improved algorithm based on edge detection of spectrum and Radon transform is presented. In the part of numerical experiments, by use of Matlab programs, comparison results of the three methods proved the accuracy of our improved method is the highest, which shows our method is more suitable for estimating direction of motion blurred images.

direction estimation of motion blurred images; edge detection of spectrum images; Radon transform; Gabor transform; spectrum sub-blocks method

O 29

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030434

A

2095-302X(2016)03-0434-05

2016-02-26；定稿日期：2016-03-28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11001017)

加春燕(1983–)，女，山西臨汾人，講師，碩士。主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模、應(yīng)用數(shù)學(xué)。E-mail：jiachunyan0@163.com