陳傳淼，胡宏伶

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，中國 長沙 410081)

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求解非線性拋物組的新算法
——雙插值有限元

陳傳淼*，胡宏伶

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，中國 長沙 410081)

本文提出了雙插值有限元法求解一類非線性拋物組，它對未知函數(shù)和系數(shù)都采用了插值，于是某些常數(shù)矩陣可一次性計(jì)算好，每時(shí)間層組裝剛度矩陣很簡單.它是一種經(jīng)濟(jì)格式.

非線性拋物組；有限元；雙插值；經(jīng)濟(jì)格式

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性拋物問題出現(xiàn)在許多實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域，如高溫傳輸、核聚變、半導(dǎo)體、超導(dǎo)、石油開發(fā)、金融和圖像識(shí)別等.本文特別關(guān)注核聚變中的三溫計(jì)算問題.

在經(jīng)典有限元法或有限體積法中，雖然有多種格式離散非線性拋物問題.但數(shù)值求解的主要困難是計(jì)算工作量極其巨大.

1)每個(gè)時(shí)間層的離散工作量巨大.

2)牛頓法求解非線性方程組需3～4次線性化(計(jì)算切矩陣).

3)必須計(jì)算數(shù)千數(shù)萬時(shí)間層.

三種困難交織在一起成為大規(guī)模求解的主要困難之一，因此發(fā)展高效算法有重要意義.

對一類具有散度型結(jié)構(gòu)的非線性方程

ut-(a(u)u)+b(u)=f,u=0,x∈Γ,u(x,0)=ψ,x∈Ω.

(1)

直接插值u,w,b(u),稱為插值系統(tǒng)有限元(ICFEM)，它在每個(gè)時(shí)間層上的離散方程組可以一次性計(jì)算好，與tn無關(guān)，因此可節(jié)省離散時(shí)間，是一種經(jīng)濟(jì)格式.Zlamal[1]在假設(shè)|uh|≤C時(shí)證明了最佳階O(h2);不要此假設(shè)，陳傳淼-Larsson-Zhang[2](1989)在分塊均勻網(wǎng)格三角形線元用超收斂技巧，首次證明幾乎最佳收斂性O(shè)(h2ln h).以后最佳收斂性及二次元的超收斂性也被研究.但是Kirchhoff變換只適合單個(gè)方程，對拋物組無效.

為求解非線性拋物組，我們提出雙插值有限元，即同時(shí)插值函數(shù)u及系數(shù)a(u),b(u),可一次性計(jì)算某些常數(shù)矩陣，每時(shí)間層組裝剛度矩陣很簡單.它是一種經(jīng)濟(jì)格式.

1 雙插值有限元法(BIFE)

插值系數(shù)法的基本思想是：插值的函數(shù)與函數(shù)的插值在最佳階誤差意義不是等效的.

在d維單元σ上m個(gè)點(diǎn)xp,適當(dāng)光滑函數(shù)u(x)及復(fù)合函數(shù)a(u)的l次插值分別為

容易證明最佳階誤差估計(jì)

‖Ina(u)-a(Inu)‖k,p,r≤C(u)hl+1-k,k=0,1.

(3)

因?yàn)椤瑄-Inu‖及‖a(u)-Ina(u)‖有這種估計(jì).

我們討論擬線性拋物問題(也可以是方程組)

c(u)ut-Dj(a(u)Dju)+b(u)=f(t,x),w(0,x)=w0(x),w=0,x∈Γ.

(4)

其中系數(shù)a(u),c(u)為正定,b(u)為u光滑函數(shù).

我們的新思想在于：取u為未知函數(shù)，同時(shí)引進(jìn)a(u),b(u),c(u)作為相關(guān)的變量(雖然它們不是獨(dú)立變量).在每個(gè)單元σ直接作分片線性插值ui,aI(u),bI(u),cI(u).

為簡單起見，討論后向Euler-雙插值有限元Un∈Sh滿足

(5)

這里，v=Li,i=1,2,…,N,

是a,u,v的三線性型.

可以計(jì)算單元積分

Jσ(Li)=∫σ{aI(U)ULi+bI(U)Li}dx=

(6)

這里單元?jiǎng)偠染仃囅禂?shù)和質(zhì)量矩陣系數(shù)

關(guān)于i,j是對稱的，可以一次性計(jì)算好.于是單元測度矩陣可用簡單的乘法得到

類似地有單元質(zhì)量矩陣Mσ(c),Mσ(b).對已給U，顯然Kσ(a),Mσ(c),Mσ(b)是對稱的.

組集所有單元積分并處理本質(zhì)邊界條件，得到總體非線性方程組

Q(Un+1)≡M(cn)(Un-Un-1)+kK(an)Un+kM(bn)-kMFn=0.

(7)

這里M(cn),K(an)為對稱正定陣.由此看到，雙插值有限元法有以下3個(gè)優(yōu)點(diǎn):

1)像ICFEM一樣，矩陣Kijp,Mij可一次性算好，組裝Kij(U),Mij(U)很簡單；

2)對多未知變量方程組適用，只要系數(shù)a(u),b(u),c(u)與t,x無關(guān)即可.特別地，核聚變中的三溫方程正好可以變換為這種散度形式.

3)如何高效求解非線性方程組(7),是另一個(gè)重要問題[5]，將在其他論文討論.

[1] ZLAMAL M.A finite element method of the nonlinear heat equation[J].RAIRO Model Anal Numer,1980,(14):203-216.

[2] CHEN C M,LARSSON S,ZHANG N Y.Error estimates of optimal order for finite element methods with interpolated coefficients for the nonlinear heat equation[J].IMA J Numer Anal,1989,(9):507-524.

[3] 陳傳淼，黃云清.有限元高精度理論[M].長沙：湖南科技出版社,1995.

[4] 陳傳淼.有限元超收斂構(gòu)造理論[M].長沙：湖南科技出版社,2001.

[5] HU H L,CHEN C M,PAN K J.Time extrapolation algorithm for parabolic problems[J].J Comput Math,2014,32(2):183-194.

(編輯 HWJ)

The Bi-Interpolation Finite Element Method —A New Algorithm for Solving Nonlinear Parabolic Systems

CHENChuan-miao*,HUHong-ling

(College of Mathematics and Computer Science,Hunan Normal University,Changsha 410081,China)

The bi-interpolation finite element method for solving nonlinear parabolic systems is proposed,in which both unknowns and their coefficients are interpolated,so some constant matrixes can be computed in one time,whereas at each time level the assembly stiffness matrixes are very simple.This is an economic scheme.

nonlinear parabolic systems; finte element method; bi-interpolation; economic scheme

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.05.014

2016-06-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301176,10771063)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(14JJ3070)

*通訊作者,E-mail：cmchen@hunnu.edu.cn

O241.82

A

1000-2537(2016)05-0081-02