陳鵬宇 余宏明

摘 要：為了分析平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料宏細(xì)觀參數(shù)關(guān)系以及進行細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定，以單軸壓縮、直接拉伸和雙軸壓縮數(shù)值試驗作為宏觀參數(shù)測試方法，對平直節(jié)理接觸模型細(xì)觀參數(shù)進行正交設(shè)計，采用多因素方差分析和回歸分析研究宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，建立了細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定方法。以灰?guī)r的室內(nèi)試驗為基礎(chǔ)，對其細(xì)觀參數(shù)進行標(biāo)定，模擬結(jié)果與試驗結(jié)果相接近，驗證了方法的有效性。

關(guān)鍵詞：顆粒流；平直節(jié)理接觸模型；巖石；宏觀參數(shù)；細(xì)觀參數(shù)

中圖分類號：TU457

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1674-4764（2016）05-0074-11

Abstract： The orthogonal design and multi-factor analysis of variance is adopted to analyze the relationship between macroparameters and microparameters of flat-jointed bonded-particle material and to establish the calibration method of microparameters. Firstly， the orthogonal design is adopted to conduct the macroparameters of flat-jointed contact model and the uniaxial compression， direct tension and biaxial compression numerical test is used to calculate the macroparameters of rock. Then multi-factor analysis of variance and regression analysis are adopted to analyze the relationship between macroparameters and microparameters. On this basis， calibration method of microparameters for rock is proposed in this paper. Based on laboratory tests of limestone， the microparameters of limestone are calibrated. The simulation results are closed to the laboratory test results， and this validated the significance of the proposed method.

Keywords：PFC； flat-jointed contact model； rock； macroparameters； microparameters

二維顆粒流模型由一系列的圓形顆粒組成，通過它們之間的相互作用來模擬材料的宏觀力學(xué)性質(zhì)。為了正確反映巖石的宏觀性質(zhì)，需要選擇合理的接觸本構(gòu)模型及其細(xì)觀參數(shù)。最初，顆粒接觸黏結(jié)模型中只有接觸黏結(jié)模型和平行黏結(jié)模型兩種[1]，但是在實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)這兩種模型所得出的單軸抗壓強度和單軸抗拉強度比值（UCS/TS）為3～4，低于許多巖石的UCS/TS（一般超過10）[2]。為此，Cho等[3]提出了簇平行黏結(jié)模型，該模型將多個黏結(jié)顆粒聚集成簇，簇中單個顆粒的旋轉(zhuǎn)被抑制，使得UCS/TS值顯著增大。Potyondy[4]則提出了一種適用于硬質(zhì)巖石的平直節(jié)理顆粒黏結(jié)模型，將圓形顆粒構(gòu)造成多邊形顆粒，顆粒破壞后的旋轉(zhuǎn)被抑制，使得UCS/TS值顯著增大。為此，本文選用平直節(jié)理接觸模型作為模擬巖石的顆粒接觸本構(gòu)模型。

在顆粒流數(shù)值模擬中，細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定是最重要的準(zhǔn)備工作之一，其關(guān)系到是否能夠正確模擬材料的宏觀力學(xué)性質(zhì)。目前，多通過研究黏結(jié)顆粒材料宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系來實現(xiàn)細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定。Yoon等[5]研究了接觸黏結(jié)顆粒材料宏細(xì)觀參數(shù)的關(guān)系。顏敬等[6]研究了無黏結(jié)顆粒材料宏細(xì)觀參數(shù)的關(guān)系。周喻等[7]、越國彥等[8]、曾青冬等[9]、叢宇等[10]研究了平行黏結(jié)顆粒材料中細(xì)觀參數(shù)對宏觀特性的影響。夏明等[2]研究了簇平行黏結(jié)顆粒材料中細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響。這些研究都為細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定提供了依據(jù)，但其研究成果均未涉及平直節(jié)理接觸模型。為此，筆者以平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料為研究對象，通過正交試驗設(shè)計、多因素方差分析和回歸分析研究其宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系，并建立細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定方法。

1 二維顆粒流基本理論

1.1 平直節(jié)理接觸模型

二維顆粒流模型中平直節(jié)理接觸模型能夠抑制黏結(jié)破壞后顆粒的旋轉(zhuǎn)，這是與接觸黏結(jié)模型和平行黏結(jié)模型的最大區(qū)別。典型的平直節(jié)理接觸模型如圖1所示。

1.2 巖石數(shù)值試驗

巖石數(shù)值試驗的目的是與室內(nèi)試驗結(jié)果進行對比以實現(xiàn)細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定。單軸壓縮數(shù)值試驗（圖2）是經(jīng)由宏觀參數(shù)得到細(xì)觀參數(shù)的最重要途徑之一，可以得到單軸抗壓強度、變形模量和泊松比等參數(shù)，根據(jù)數(shù)值試驗的應(yīng)力應(yīng)變曲線可得到平面應(yīng)力狀態(tài)下的變形模量和泊松比，其中，變形模量采用割線模量表示，在數(shù)值試驗中易于計算，利于數(shù)值試驗和室內(nèi)試驗的對比分析，計算公式見式（3）～（5）。

除了直接拉伸數(shù)值試驗以外，也可以通過間接拉伸（巴西劈裂）數(shù)值試驗，如圖4所示。根據(jù)數(shù)值試樣破裂時的峰值作用力Ff，可得數(shù)值試樣的抗拉強度，計算公式見式（6）。

σt=2PπDL（6）

式中：σt為試樣抗拉強度；P為試樣破壞荷載；D為試樣直徑；L為試樣高度。

由于巴西劈裂和直接拉伸所測的抗拉強度之間存在較大差異，為了獲得準(zhǔn)確的抗拉強度，數(shù)值試驗時采用直接拉伸測定抗拉強度。

雙軸壓縮數(shù)值試驗（對應(yīng)于巖石三軸壓縮試驗）可確定強度參數(shù)C、tan φ，雙軸壓縮數(shù)值模型如圖5（a）所示。定義4道墻作為邊界條件，固定上下邊界墻（圖5中，1、2墻）豎直方向速率（加載速率），即可對數(shù)值試樣施加法向荷載，恒定的圍壓可通過伺服系統(tǒng)程序不斷地調(diào)整左右邊界墻（圖5中，3、4墻）的位移速度實現(xiàn)。通過設(shè)定不同的圍壓進行數(shù)值試驗，如圖5（b）所示，采用摩爾庫倫屈服準(zhǔn)則（M-C屈服準(zhǔn)則）即可確定強度參數(shù)。

2 宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系

顆粒流模型由顆粒組成，模型的宏觀參數(shù)是由顆粒和黏結(jié)的細(xì)觀參數(shù)決定，兩者之間具有相關(guān)性。目前多采用試錯法確定細(xì)觀參數(shù)，即對比室內(nèi)試驗和數(shù)值試驗的結(jié)果，通過不斷調(diào)節(jié)細(xì)觀參數(shù)，以達(dá)到可接受的精度范圍。也有研究通過回歸分析[5]和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7]反演細(xì)觀參數(shù)，但都是針對比較簡單的接觸黏結(jié)模型和平行黏結(jié)模型，需要確定的細(xì)觀參數(shù)較少。本文的研究對象為平直節(jié)理接觸模型，其主要細(xì)觀參數(shù)包括：N、Ec、kn/ks、μb、λ、σb、cb、φb。其中：N 為交界面段數(shù)；Ec為平直節(jié)理模量；kn/ks為平直節(jié)理剛度比；μb為平直節(jié)理摩擦系數(shù)；λ為平直節(jié)理兩端較小顆粒的半徑比；σb為平直節(jié)理抗拉強度；cb為平直節(jié)理粘聚力；φb為平直節(jié)理內(nèi)摩擦角。

平直節(jié)理接觸模型細(xì)觀參數(shù)較多，如果盲目地調(diào)節(jié)細(xì)觀參數(shù)，有可能導(dǎo)致大量數(shù)值試驗，增加建模的難度。為此，可通過研究平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系，為細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定提供依據(jù)，從而降低試錯法數(shù)值試驗的數(shù)量，更快捷的確定細(xì)觀參數(shù)。

2.1 正交試驗設(shè)計

正交試驗設(shè)計根據(jù)正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，可以在很大程度上減少數(shù)值試驗的數(shù)量[12]。在進行正交試驗設(shè)計之前，考慮到平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料細(xì)觀參數(shù)較多，增加了數(shù)值試驗的數(shù)量和細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定的難度，有必要進行一定的假設(shè)，以減少細(xì)觀參數(shù)的數(shù)量。參考Potyondy[4]、Poulsenn等[13]的研究，作以下假設(shè)：

1）平直節(jié)理抗拉強度小于抗剪強度，即σb<τb=cb+σtan φb （可獲得符合實際的巖石拉壓強度比）；

2） 平直節(jié)理兩端較小顆粒的半徑比λ = 1；

3）取最小粒徑Rmin = 0.5 mm，顆粒半徑比固定為1.66；

4）平直節(jié)理交界面段數(shù)N=4；

5）顆粒密度取2 700 kg/m3；

6）顆粒接觸模量、剛度比和摩擦系數(shù)同平直節(jié)理一致。

由此，根據(jù)所需確定的細(xì)觀參數(shù)建立正交試驗設(shè)計表（表1），設(shè)計的正交矩陣序列如表2所示。分別進行單軸壓縮、直接拉伸和雙軸壓縮數(shù)值試驗（試樣寬50 mm，高100 mm），加載速率0.01 m/s。由此得到宏觀參數(shù)：變形模量E、泊松比v、單軸抗壓強度σf、抗拉強度σt、內(nèi)摩擦系數(shù)tan φ和內(nèi)聚力C。這樣細(xì)觀參數(shù)和宏觀參數(shù)都是6個，降低了細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定的不確定性。數(shù)值試驗所得結(jié)果如表3所示，符合大部分巖石的宏觀參數(shù)取值范圍。

2.3 回歸分析

根據(jù)上述正交試驗計算結(jié)果可以建立宏觀參數(shù)與其主要顯著影響因素之間的關(guān)系式。取顯著性水平為α = 0.05作為回歸系數(shù)檢驗的標(biāo)準(zhǔn)，若某系數(shù)的相伴概率值Sig. > 0.05，則在回歸分析中去掉對應(yīng)的細(xì)觀參數(shù)，直到所有回歸系數(shù)的相伴概率值Sig. ≤ 0.05。所得結(jié)果如表4所示，其中，只有變形模量E回歸分析中的節(jié)理抗拉強度σb未通過系數(shù)顯著性檢驗。

從表4中可以看出，宏觀參數(shù)擬合公式的R2值在0.881～0.996之間，說明擬合效果較好，能夠比較準(zhǔn)確反映宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系，其中，以變形模量E、單軸抗拉強度σf和抗拉強度σt的擬合效果相對較好，相關(guān)系數(shù)R2大于0.99；而內(nèi)摩擦系數(shù)tanφ和內(nèi)聚力C的擬合效果相對較差，說明兩者與細(xì)觀參數(shù)的關(guān)系較為復(fù)雜；泊松比回歸分析中入選的細(xì)觀參數(shù)最多，說明泊松比受到了多種因素的影響，與細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系也比較復(fù)雜。雖然回歸分析的擬合效果參差不齊，但是這些公式可以定性地反映宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系。對應(yīng)的回歸系數(shù)為正，則說明細(xì)觀參數(shù)與宏觀參數(shù)之間呈正相關(guān)關(guān)系；對應(yīng)的回歸系數(shù)為負(fù)，則說明細(xì)觀參數(shù)與宏觀參數(shù)之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系。

2.4 顆粒粒徑對宏觀性質(zhì)的影響

上述分析中顆粒最小半徑Rmin = 0.5 mm，顆粒半徑比固定為1.66，在實際應(yīng)用中，為了得到更好的模擬效果，我們可能會選擇更小的顆粒粒徑，這時候就需要考慮顆粒粒徑對宏觀參數(shù)的影響。分別選擇顆粒最小粒徑為0.50、0.45、0.40、0.35 mm，顆粒半徑比固定為1.66進行數(shù)值試驗，獲取宏觀參數(shù)。平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料的細(xì)觀參數(shù)選擇如表5所示，該細(xì)觀參數(shù)對應(yīng)的宏觀參數(shù)滿足一般巖石力學(xué)性質(zhì)對應(yīng)的范圍。

圖7為宏觀參數(shù)相對于顆粒最小粒徑的變化曲線。從圖中可以看出，在細(xì)觀參數(shù)不變的情況下，顆粒粒徑的改變對試樣宏觀強度和變形性質(zhì)的影響都比較小，僅內(nèi)摩擦角和內(nèi)聚力的變化幅度相對較大。上述結(jié)果表明，在一定范圍內(nèi)，顆粒流模型宏觀性質(zhì)受粒徑改變的影響較小。

3 巖石細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定方法

由于宏、細(xì)觀參數(shù)之間具有相關(guān)性，同樣類似于2.3節(jié)中的回歸分析，也可以建立細(xì)觀參數(shù)為因變量，宏觀參數(shù)為自變量的線性回歸表達(dá)式。這里采用逐步回歸法[15]，通過SPSS軟件實現(xiàn)，變量進入的概率門檻值為0.05，刪除的概率門檻值為0.10，擬合結(jié)果見表6。

從表6中可以看出擬合公式的相關(guān)系數(shù)R2在0.796～0.993之間，擬合效果良好。其中，平直節(jié)理剛度比和平直節(jié)理摩擦系數(shù)的擬合效果相對較差，說明宏細(xì)觀參數(shù)之間存在非線性關(guān)系。同時，根據(jù)表6中的結(jié)果，平直節(jié)理內(nèi)摩擦系數(shù)tan φb未成功建立擬合表達(dá)式，從圖6中的多因素方差結(jié)果也可以看出，tan φb不是任何一個宏觀參數(shù)最顯著的影響因素，由此導(dǎo)致其不易確定。擬合公式中，黏聚力C也并未出現(xiàn)在自變量中，這說明黏聚力C與其他宏觀參數(shù)之間具有多重共線性。根據(jù)摩爾庫倫屈服準(zhǔn)則可以得到C與σf、tan φb之間的關(guān)系[16]為

將表3中的宏觀參數(shù)σf和tan φ代入式（7）預(yù)測C值，并與表3中的C值進行對比，以此說明顆粒流模型是否能夠反映巖石宏觀參數(shù)之間的基本關(guān)系。對比結(jié)果如圖8所示，從中可以看出預(yù)測值與實際值之間相關(guān)系數(shù)達(dá)到了0.969 3，擬合關(guān)系式中系數(shù)1.048 2，非常接近于1，這說明顆粒流模型所反映的巖石宏觀參數(shù)之間的基本關(guān)系是符合實際的。

根據(jù)表6中的線性擬合公式，可以初步確定細(xì)觀參數(shù)，至于tan φb可取0.5作為初始值。此時，所確定的細(xì)觀參數(shù)只是初步估計，并不能準(zhǔn)確反映宏觀性質(zhì)，還需進行數(shù)值試驗計算宏觀參數(shù)，對比計算宏觀參數(shù)與實際宏觀參數(shù)之間的差別，再根據(jù)表4中擬合公式中所反映的宏細(xì)觀參數(shù)之間的趨勢性關(guān)系，可對細(xì)觀參數(shù)進行適當(dāng)微調(diào)，直到達(dá)到合理的精度范圍。如果改變顆粒粒徑建立數(shù)值模型，則需要重新調(diào)整細(xì)觀參數(shù)，由于顆粒粒徑變化對巖石宏觀性質(zhì)的影響并不大，可通過數(shù)值試驗對細(xì)觀參數(shù)進行適當(dāng)微調(diào)。

4 實例分析

4.1 細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定

采用焦作市龍寺廢棄礦山奧陶系中統(tǒng)上馬家溝組（O2s）厚層狀灰?guī)r。每組試樣4個，在INSTORN-1346電液伺服巖石力學(xué)測試系統(tǒng)進行單軸壓縮和巴西劈裂試驗，取測試結(jié)果平均值，如表7所示。

由于未測試灰?guī)r三軸強度參數(shù)，本文僅標(biāo)定Ec、kn/ ks、σb、cb4個細(xì)觀參數(shù)，tan φb和μb統(tǒng)一取為0.5。在正交試驗時，本文采用直接拉伸試驗確定抗拉強度，而巖石試驗采用巴西劈裂試驗。數(shù)值模擬結(jié)果表明，直接拉伸的抗拉強度一般是平臺巴西劈裂抗拉強度的95%左右[11， 17]，對于本文的平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料，按表2數(shù)據(jù)經(jīng)測算該系數(shù)平均為92%。因此，將巴西劈裂試驗所確定抗拉強度乘以系數(shù)92%即可采用表6中公式初步確定細(xì)觀參數(shù)。生成顆粒流試樣時，采用的空隙率為0.1，由此可以根據(jù)巖石密度確定顆粒密度，采用公式

ρs=ρ（1-r）（8）

式中：ρs為顆粒密度；ρ為巖石密度；r為數(shù)值試樣空隙率，取0.1。

將表7中宏觀參數(shù)（抗拉強度乘以系數(shù)92%）代入表6中的擬合公式初步確定細(xì)觀參數(shù)如表8所示。根據(jù)初步確定的細(xì)觀參數(shù)進行數(shù)值試驗可得宏觀參數(shù)的初步模擬值如表7所示，可以看出初步模擬值已經(jīng)比較接近于實際值。對比初步模擬值與實際值之間的差別，再根據(jù)宏細(xì)觀參數(shù)之間的趨勢性關(guān)系進行微調(diào)，最終獲得精確估計的細(xì)觀參數(shù)如表8所示。對應(yīng)的精確模擬值見表7，可以看出精確模擬值已經(jīng)非常接近于實際值。由此說明本文方法是可行的。

4.2 數(shù)值模擬結(jié)果分析

4.2.1 試樣破壞對比

破壞試樣的對比如圖9、圖10所示。從圖中可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與巖石試驗結(jié)果是比較一致的。單軸壓縮下巖樣的破壞形態(tài)都主要表現(xiàn)為脆性劈裂破壞以及表層剝離；巴西劈裂下巖樣的破壞形態(tài)都主要表現(xiàn)為徑向的脆性劈裂破壞。

4.2.2 應(yīng)力應(yīng)變曲線對比

應(yīng)力應(yīng)變曲線的對比如圖11所示。從圖中可以看出，數(shù)值模擬和室內(nèi)試驗所得應(yīng)力應(yīng)變曲線比較接近，都能體現(xiàn)灰?guī)r的脆性破壞特征，但在曲線形態(tài)上存在一些差異。首先，顆粒流模擬結(jié)果沒有孔隙裂隙壓密階段，應(yīng)力開始增加時，即出現(xiàn)彈性變形階段，這是由其建模原理所決定的；其次，單軸壓縮數(shù)值模擬的殘余強度接近于零，而實際巖石破壞后是存在一定的殘余強度的。由此可見，顆粒流模型可以得到接近于室內(nèi)試驗的宏觀參數(shù)和應(yīng)力應(yīng)變曲線，但是仍然存在一些無法符合實際的問題，這是由數(shù)值模擬方法對實際復(fù)雜問題的簡化描述所決定的。

4.2.3 雙軸壓縮數(shù)值試驗

在已知三軸強度參數(shù)的情況下，可通過雙軸壓縮數(shù)值試驗對tan φb、μb兩個細(xì)觀參數(shù)進行標(biāo)定。圖12是上述標(biāo)定細(xì)觀參數(shù)對應(yīng)的雙軸壓縮數(shù)值試驗?zāi)M結(jié)果（位移圖）。從圖中可以看出，隨著圍壓的增大，數(shù)值試樣的破壞逐漸由徑向劈裂破壞轉(zhuǎn)變?yōu)榧羟衅茐?，符合一般室?nèi)巖石試驗所得結(jié)果，采用摩爾庫倫屈服準(zhǔn)則即可確定強度參數(shù)C、tan φb，若已知三軸強度參數(shù)，將其與數(shù)值模擬結(jié)果進行對比，可實現(xiàn)細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定。

5 結(jié) 論

1）采用正交試驗設(shè)計、多因素方差分析和回歸分析研究了平直節(jié)理黏結(jié)顆粒材料宏細(xì)觀參數(shù)之間的關(guān)系，確定了宏觀參數(shù)的顯著性影響因素（細(xì)觀參數(shù)）及其排序，確定了宏細(xì)觀參數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。

2）建立了以細(xì)觀參數(shù)為因變量，宏觀參數(shù)為自變量的線性回歸表達(dá)式，由此提出了巖石細(xì)觀參數(shù)的標(biāo)定方法，即以線性回歸表達(dá)式初步估計細(xì)觀參數(shù)，然后進行數(shù)值試驗對比計算宏觀參數(shù)與實際宏觀參數(shù)之間的差別，再根據(jù)宏細(xì)觀參數(shù)之間的趨勢性關(guān)系，對細(xì)觀參數(shù)進行適當(dāng)微調(diào)，直到達(dá)到合理的精度范圍。

3）以灰?guī)r的室內(nèi)試驗結(jié)果為基礎(chǔ)，建立了灰?guī)r的單軸壓縮和巴西劈裂數(shù)值模型，并對數(shù)值模型的細(xì)觀參數(shù)進行標(biāo)定，模擬結(jié)果顯示顆粒流模型可以得到接近于室內(nèi)試驗的宏觀參數(shù)和應(yīng)力應(yīng)變曲線，驗證了本文方法的有效性。

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（編輯 王秀玲）