中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003

一、引言

電子羅盤是一種重要的導(dǎo)航工具，它含有一個(gè)三軸加速度計(jì)和一個(gè)三軸磁強(qiáng)計(jì)，是一種常用的導(dǎo)航設(shè)備。隨著MEMS技術(shù)的發(fā)展，電子羅盤在導(dǎo)航領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

目前，在各種導(dǎo)航技術(shù)中，基于MEMS加速度計(jì)和磁強(qiáng)計(jì)的低成本電子羅盤由于其體積小、重量輕、成本低、不受外界干擾、輸出頻率高等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用范圍越來(lái)越廣。然而，MEMS慣性器件有一個(gè)致命的缺點(diǎn)—長(zhǎng)期穩(wěn)定性較差，存在明顯時(shí)漂現(xiàn)象，再加上加工、制造工藝不完善等均可造成敏感元件的輸出誤差，通常元器件的誤差占到整個(gè)系統(tǒng)誤差的90%以上[1]，因此在使用前必須對(duì)各個(gè)傳感器的誤差系數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

對(duì)電子羅盤的標(biāo)定要分別對(duì)加速度計(jì)和磁強(qiáng)計(jì)的誤差來(lái)源進(jìn)行分析，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。MEMS慣性元器件的誤差模型可以分為靜態(tài)誤差模型、動(dòng)態(tài)誤差模型和隨機(jī)誤差模型[2]。動(dòng)態(tài)誤差與元器件的角運(yùn)動(dòng)相關(guān)，到目前為止，針對(duì)動(dòng)態(tài)誤差模型的研究尚不十分充分。隨機(jī)誤差包括偏置漂移、隨機(jī)噪聲等，只有通過建立隨機(jī)模型，將其加入到Kalman濾波器狀態(tài)矢量中進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償。

本文主要針對(duì)MEMS加速度計(jì)和磁強(qiáng)計(jì)建立了靜態(tài)誤差標(biāo)定模型，給出利用位置轉(zhuǎn)臺(tái)即可實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)易標(biāo)定方法，使用簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)誤差系數(shù)的標(biāo)定。

二、靜態(tài)誤差類型

一般來(lái)說，對(duì)MEMS慣性器件進(jìn)行靜態(tài)誤差建模需要考慮慣性器件的零偏和刻度因子等系數(shù)。在慣性系統(tǒng)中，慣性器件已經(jīng)安裝在系統(tǒng)中，并且需要將三個(gè)軸向的慣性器件進(jìn)行整體標(biāo)定，這時(shí)候需要將安裝誤差考慮進(jìn)來(lái)。因此，對(duì)于慣性器件的標(biāo)定模型，需要綜合考慮零偏、刻度因子和安裝誤差等因素[3]。

零偏誤差是指輸入為零時(shí)慣性器件的輸出值，一般認(rèn)為它是常值，但是實(shí)際上由于受外部條件的影響，它是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化的。對(duì)于磁強(qiáng)計(jì)來(lái)說，其零偏就是由硬磁干擾所引起的偏差。本文中，設(shè)定加速度計(jì)和磁強(qiáng)計(jì)的零偏均為常值。

慣性器件的輸出與單位量之間的比值稱為慣性器件的刻度因子[4]，它是通過標(biāo)定試驗(yàn)測(cè)定的，其數(shù)值預(yù)先存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)里，在導(dǎo)航解算時(shí)，計(jì)算機(jī)每次采樣后都要將采樣值除以刻度因子，以便得到實(shí)際值。但是標(biāo)定試驗(yàn)時(shí)，慣性器件所處的工作環(huán)境、溫度、振動(dòng)和電磁干擾等與實(shí)際的工作環(huán)境有很大的差異，這將導(dǎo)致慣性器件工作過程中實(shí)際的刻度因子與存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)里的刻度因子不一致，這就是刻度因子誤差。

電子羅盤直接固聯(lián)在載體上，這樣慣性器件的輸入軸應(yīng)和載體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸線完全一致，但實(shí)際上安裝時(shí)總是存在著一定的安裝誤差，使得慣性器件的X軸不僅敏感X軸的輸入，還會(huì)敏感Y軸和Z軸的輸入，因此慣性器件敏感軸構(gòu)成的坐標(biāo)系就和載體系之間存在一個(gè)失調(diào)矩陣。

另外由于磁強(qiáng)計(jì)的特殊性，在其內(nèi)部還存在有軟磁干擾[5]，這同樣會(huì)引起磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量誤差，在標(biāo)定時(shí)必須予以考慮。

三、加速度計(jì)的標(biāo)定

首先根據(jù)上述誤差類型分析，建立加速度計(jì)的標(biāo)定模型。

設(shè)加速度計(jì)原始測(cè)量數(shù)據(jù)為Ax、Ay、Az，經(jīng)過標(biāo)定后數(shù)據(jù)為Ax1、Ay1、Az1，則它們之間的關(guān)系可以表示為下式：

式中，[A_m]3×3—加速度計(jì)敏感軸和載體系之間的失調(diào)矩陣，它的對(duì)角線元素全為1[6]；

A_SCi(i=x, y, z) —加速度計(jì)三個(gè)軸的刻度因子；

A_OSi(i=x, y, z) —加速度計(jì)三個(gè)軸的零偏。

將式（1）中間三項(xiàng)中的最后一項(xiàng)展開，然后分別做矩陣乘積運(yùn)算即可得到ACC10到ACC33共12個(gè)參數(shù)。

由式（1）可知，加速度計(jì)的標(biāo)定即為確定從ACC10到ACC33的12個(gè)參數(shù)。

將式（1）進(jìn)一步可寫為：

更進(jìn)一步可表示為：

式中，X—表示12個(gè)標(biāo)定參數(shù)矩陣；

W—表示加速度計(jì)原始測(cè)量數(shù)據(jù)向量；

Y—表示標(biāo)定后數(shù)據(jù)向量。

下面將電子羅盤置于位置轉(zhuǎn)臺(tái)上，分別采樣加速度計(jì)X、Y、Z軸垂直向上、向下6個(gè)位置的靜止數(shù)據(jù)。

Z軸垂直向下時(shí)（P1位置），采樣n1組原始數(shù)據(jù)，則：

Z軸垂直向上時(shí)（P2位置），采樣n2組原始數(shù)據(jù)，則：

Y軸垂直向下時(shí)（P3位置），采樣n3組原始數(shù)據(jù)，則：

Y軸垂直向上時(shí)（P4位置），采樣n4組原始數(shù)據(jù)，則：

X軸垂直向下時(shí)（P5位置），采樣n5組原始數(shù)據(jù)，則：

X軸垂直向上時(shí)（P6位置），采樣n6組原始數(shù)據(jù)，則：

下面記：n=n1+n2+n3+n4+n5+n6，則式（3）可以表示為：

式中：

利用最小二乘法解方程（4）可得：

由此，便可確定式（1）中的12個(gè)標(biāo)定參數(shù)。為使結(jié)果更加準(zhǔn)確，可以重復(fù)進(jìn)行多次計(jì)算，最后取均值。

為使標(biāo)定更加精確，也可以選取Ax=0,Ay=±0.707g,Az=-0.707g或者Ax=±0.707g,Ay=0,Az=-0.707g等位置進(jìn)行計(jì)算，或者用這些點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

四、磁強(qiáng)計(jì)的標(biāo)定

設(shè)加速度計(jì)原始測(cè)量數(shù)據(jù)為Mx、My、Mz，經(jīng)過標(biāo)定后數(shù)據(jù)為Mx1、My1、Mz1。則它們之間的關(guān)系可以表示為下式：

式中，[M_m]3×3—磁強(qiáng)計(jì)敏感軸和載體系之間的失調(diào)矩陣；

M_SCi(i=x, y, z) —磁強(qiáng)計(jì)三個(gè)軸的刻度因子；

M_OSi(i=x, y, z) —硬磁干擾引起的偏差；

[M_si]3×3—軟磁干擾引起的偏差矩陣。

當(dāng)載體做3D旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于上述誤差因素的存在，我們根據(jù)磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量值作圖可以得到一個(gè)失真的橢球，其數(shù)學(xué)模型可以表示如下：

式中，x、y、z—磁強(qiáng)計(jì)原始測(cè)量值

Mx、My、Mz，x0、y0、z0—硬磁干擾引起的偏差M_OSi(i=x, y, z)；

a、b、c—橢球半軸長(zhǎng)；

d、e、f—使橢球產(chǎn)生傾斜的橫軸效應(yīng)；

R—當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)強(qiáng)度（常值）。

假設(shè)不存在軟磁干擾，或者說軟磁干擾非常小可以忽略，則[M_si]3×3可以認(rèn)為是單位陣，這樣式（7）可以簡(jiǎn)化為：

由式（8）又可求得：

式中的W、H、X和式（9）中的矩陣依次對(duì)應(yīng)。

當(dāng)載體在3個(gè)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，記錄n個(gè)x、y、z，聯(lián)立后可得：

利用最小二乘法解方程可得：

設(shè)：X=[x1x2x3x4x5x6]T

當(dāng)存在軟磁干擾時(shí)，相似地，利用上述方法仍然可以確定[M_si]3×3，由于計(jì)算比較復(fù)雜，這里不再詳述。

至此，除了失調(diào)矩陣[M_m]3×3之外其他的誤差因子均已確定，下面分析[M_m]3×3的確定方法。

則式（16）可簡(jiǎn)記為：

經(jīng)過了刻度因子、硬磁干擾和軟磁干擾的標(biāo)定之后，載體旋轉(zhuǎn)時(shí)磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量值所形成的橢球的中心應(yīng)在坐標(biāo)系原點(diǎn)，但是軸向仍然有偏差存在，當(dāng)Z軸垂直向下時(shí)，采樣m次，得到參數(shù)如下：

故Z軸向下時(shí)的歸一化單位向量為：

式中：X3×1=[X1X2X3]

同理，當(dāng)X軸、Y軸垂直向下時(shí)可以得到Rx、Ry，故：

至此，所有誤差因子均已確定。

五、驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

對(duì)于加速度計(jì)的標(biāo)定，可以使用三軸位置轉(zhuǎn)臺(tái)來(lái)實(shí)現(xiàn)。如圖1所示為實(shí)驗(yàn)所用位置轉(zhuǎn)臺(tái)。

具體標(biāo)定步驟如下：

（1）將電子羅盤通過夾具固定在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，保證電子羅盤軸向與轉(zhuǎn)臺(tái)軸向平行，通電預(yù)熱30min；

（2）設(shè)置好電子羅盤輸出數(shù)據(jù)采樣頻率，將電子羅盤分別按照加速度計(jì)的X、Y、Z軸垂直向上、向下共6個(gè)位置固定安裝，并分別采樣加速度計(jì)輸出數(shù)據(jù)，并保存，每個(gè)位置的采樣時(shí)間為2min；

（3）按照第三章中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可完成加速度計(jì)的標(biāo)定。

對(duì)于磁強(qiáng)計(jì)的標(biāo)定，則需要使用工裝六面體，具體步驟如下：

（1）將電子羅盤通過夾具固定在工裝六面體內(nèi)，保證電子羅盤正交的三個(gè)面與六面體的相應(yīng)面平行，通電預(yù)熱30min；

（2）設(shè)置好電子羅盤輸出數(shù)據(jù)采樣頻率，將電子羅盤分別按照磁強(qiáng)計(jì)的X、Y、Z軸垂直向上、向下共6個(gè)位置固定安裝，并分別采樣磁強(qiáng)計(jì)輸出數(shù)據(jù)，并保存。每個(gè)位置的采樣時(shí)間為2min;

（3）按照前文方法進(jìn)行計(jì)算，即可完成磁強(qiáng)計(jì)的標(biāo)定。

六、結(jié)論

此標(biāo)定方法僅需使用普通的位置轉(zhuǎn)臺(tái)和工裝六面體即可實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)表明，可以有效地提高導(dǎo)航系統(tǒng)的精度，使姿態(tài)角的精度達(dá)到2°以內(nèi)，可以滿足大部分手持設(shè)備的導(dǎo)航精度要求。

此標(biāo)定試驗(yàn)未考慮環(huán)境溫度及周圍測(cè)量噪聲的影響，也沒有考慮加速度二次項(xiàng)誤差，因此還有待進(jìn)一步完善。