安柯墁

摘 要：數(shù)是對(duì)一些事物、現(xiàn)象，或抽象概念的符號(hào)表達(dá)。中小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。主要闡述實(shí)數(shù)中有理數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展和代表的意義，并簡(jiǎn)單地介紹實(shí)數(shù)中的無(wú)理數(shù)及復(fù)數(shù)。

關(guān)鍵詞：計(jì)數(shù)；抽象；對(duì)應(yīng)；自然數(shù)；分?jǐn)?shù)

數(shù)是什么？瀏覽中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷深入，數(shù)代表的意義越來(lái)越抽象化，數(shù)域慢慢擴(kuò)大。下面，按照中小學(xué)對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的順序來(lái)談?wù)勚行W(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了哪些數(shù)，這些數(shù)表示的意義是什么？為什么這樣表示？

一、自然數(shù)

自然數(shù)是對(duì)自然界中的實(shí)物進(jìn)行抽象對(duì)應(yīng)的符號(hào)，而抽象對(duì)應(yīng)的方法又在不斷的改進(jìn)中，所以要深層次理解數(shù)的意義，必須要了解數(shù)產(chǎn)生的歷史和計(jì)數(shù)原理。

遠(yuǎn)古時(shí)代，為了記錄勞動(dòng)成果，人們發(fā)明了石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)數(shù)。以一群羊?yàn)槔?，一頭羊?qū)?yīng)一個(gè)石子，繩結(jié)或刻痕。一頭羊有眾多的屬性，羊角的形狀，羊毛的長(zhǎng)短等，這樣計(jì)數(shù)，依據(jù)的是羊的什么屬性呢？（1）羊的獨(dú)立性，每一只羊是獨(dú)立的。（2）羊的整體性，以一整只羊?yàn)橐粋€(gè)單位。（3）計(jì)數(shù)的群體具有相同的屬性。計(jì)數(shù)的方法是一對(duì)一的抽象對(duì)應(yīng)。

人類在不斷發(fā)展，需要記錄的數(shù)越來(lái)越大，于是增大了計(jì)數(shù)單位，以一個(gè)大的石子代表十只羊或者更多，盡管這樣，原始的計(jì)數(shù)方法還是有很多不足之處，人們就發(fā)明了一些文字符號(hào)，如阿拉伯?dāng)?shù)字并且沿用至今。

對(duì)比古代計(jì)數(shù)方法和阿拉伯?dāng)?shù)字，所依據(jù)的羊的屬性相同，其計(jì)數(shù)的對(duì)應(yīng)方法不同。古代計(jì)數(shù)方法是每一只羊?qū)?yīng)一個(gè)相同的計(jì)數(shù)符號(hào)，加大了計(jì)數(shù)單位后，對(duì)于大的數(shù)還是需要繁多的計(jì)數(shù)符號(hào)；阿拉伯?dāng)?shù)字中，一只羊?qū)?yīng)數(shù)字“1”，兩只羊?qū)?yīng)數(shù)字“2”，以此類推，阿拉伯?dāng)?shù)字用不同的簡(jiǎn)化符號(hào)來(lái)對(duì)應(yīng)不同的羊。這樣就大大簡(jiǎn)化了計(jì)數(shù)的文字符號(hào)，阿拉伯?dāng)?shù)字的位值法，增大了計(jì)數(shù)單位，能表示很大的數(shù)，又便于理解和記錄。

阿拉伯?dāng)?shù)字對(duì)應(yīng)的事物滿足獨(dú)立性、整體性（單個(gè)事物的整體性作為最基本的計(jì)數(shù)符號(hào)，多個(gè)事物又可以看做新的整體對(duì)應(yīng)一個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)）和相同屬性。例如，一片果林的蘋果，一個(gè)學(xué)校的學(xué)生，一個(gè)人體內(nèi)的某細(xì)胞……這些事物，我們都可以用一些抽象符號(hào)來(lái)與之對(duì)應(yīng)。

數(shù)的發(fā)展初期就是對(duì)這些自然界中實(shí)際存在的事物進(jìn)行抽象對(duì)應(yīng)的符號(hào)，所以這些數(shù)被人們稱作自然數(shù)。

后來(lái)人們用“0”來(lái)對(duì)應(yīng)沒(méi)有任何事物的情況，并把它歸納為自然數(shù)。具體代表沒(méi)有什么事物，要依據(jù)所研究的對(duì)象了，“0”作為一種最特殊的狀況，在實(shí)際研究過(guò)程中，都會(huì)作為一個(gè)特例拿出來(lái)單獨(dú)討論。

二、分?jǐn)?shù)

自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的本質(zhì)區(qū)別在于，自然數(shù)與分?jǐn)?shù)分別體現(xiàn)事物的整體與均分的思想。均分也要選擇一定的整體作為基礎(chǔ)，以一堆西瓜為例，首先它滿足自然數(shù)計(jì)數(shù)的三點(diǎn)：獨(dú)立性、整體性、相同屬性，因此，它可以計(jì)作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成塊的西瓜用什么符號(hào)來(lái)表示呢？于是人們發(fā)明了分?jǐn)?shù)。

把西瓜分成八份，取一份對(duì)應(yīng)符號(hào)“1/8”（此分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位），取兩份對(duì)應(yīng)符號(hào)“2/8”，以此類推，取八份對(duì)應(yīng)符號(hào)“8/8”，以自然數(shù)計(jì)數(shù)也可對(duì)應(yīng)“1”。

對(duì)于這類均分的事物，就可以用分?jǐn)?shù)來(lái)對(duì)應(yīng)，分?jǐn)?shù)就是這些事物對(duì)應(yīng)的抽象符號(hào)。這些事物同樣滿足獨(dú)立性、整體性、相同屬性。

小數(shù)作為一種特殊的分?jǐn)?shù)，其計(jì)數(shù)單位為：“1/10，1/100，1/1000……”為什么有了分?jǐn)?shù)，還要發(fā)明小數(shù)呢？在計(jì)算和解決一些實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，分?jǐn)?shù)有諸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了幾份。（2）分?jǐn)?shù)單位不統(tǒng)一帶來(lái)的不便。因此發(fā)明了小數(shù)，小數(shù)作為分?jǐn)?shù)的近似，不必像分?jǐn)?shù)這樣精確，而小數(shù)又統(tǒng)一了計(jì)數(shù)單位。小數(shù)沿用了整數(shù)的位值法，在任意一個(gè)整數(shù)中，任意選中一個(gè)數(shù)字，左邊一位數(shù)的計(jì)數(shù)單位是當(dāng)前這位數(shù)的10倍，所以個(gè)位的計(jì)數(shù)單位為“1”，第一位小數(shù)上的數(shù)字的計(jì)數(shù)單位為“1/10”，因此稱作“十分位”，以此類推。

三、負(fù)數(shù)

生活中會(huì)有這樣一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和減少的量……以收入和支出為例，收入5元，支出5元，但是這兩個(gè)5代表的意義不同，所以單單一個(gè)數(shù)字“5”是不能表達(dá)他們的不同的，要在前面加上一些描述性語(yǔ)言來(lái)區(qū)分，即收入和支出，這些語(yǔ)言也是一些抽象的符號(hào)，不過(guò)沒(méi)有數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔。

于是人們用“+”和“-”來(lái)表示這種具有相反意義的關(guān)系，這樣數(shù)字前面加上正負(fù)號(hào)表示了更多的抽象意義。

引入負(fù)數(shù)以后，數(shù)字所抽象對(duì)應(yīng)的事物就從自然界的實(shí)物拓寬到一些事件，以及人類自定義的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人為規(guī)定的臨界點(diǎn)，高出和低于海平面高度的數(shù)字前面分別加上“+”于“-”，正號(hào)可省略。要用負(fù)數(shù)來(lái)抽象對(duì)應(yīng)事物，必須要注意：（1）臨界點(diǎn)是什么？即“0”表示什么。（2）相反意義的量是什么？（3）確定數(shù)值。

四、有理數(shù)

把自然數(shù)向負(fù)數(shù)擴(kuò)充，正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)都可以顧名思義，而有理數(shù)卻讓我費(fèi)解了，更有道理的數(shù)？

有理數(shù)是對(duì)“Rational number”的直譯。這詞源自古希臘，詞根為“ratio”，比率的意思。不難理解，有理數(shù)表示的是能化成比率的數(shù)。分?jǐn)?shù)自然能看作一個(gè)比例，整數(shù)又能化成分?jǐn)?shù)，因此，所有的有理數(shù)都能化成比例。有理數(shù)的意義在前面已經(jīng)說(shuō)明，就不在此累述。

五、無(wú)理數(shù)

在研究一些開(kāi)方數(shù)和圓周率時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)一些不能表示成比例的數(shù)，對(duì)比有理數(shù)，就稱這些數(shù)為無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)可分為正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)，所有的無(wú)理數(shù)可化為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。無(wú)理數(shù)的意義可以類比有理數(shù)得到。

六、復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù)a+bi，這里a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開(kāi)根）。其代表的意義在中小學(xué)階段不作要求，就不作說(shuō)明。

參考文獻(xiàn)：

[1]塔巴克.數(shù)[M].王獻(xiàn)芬，譯.商務(wù)印書館，2008-03.

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