敖銀輝，王翠芬

（廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

基于連續(xù)時(shí)間MDP模型和隨機(jī)決策的維護(hù)周期*

敖銀輝，王翠芬

（廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

生產(chǎn)系統(tǒng)的維護(hù)策略直接關(guān)系到設(shè)備的使用壽命，對(duì)生產(chǎn)線的連續(xù)性和可靠性，以及產(chǎn)品質(zhì)量、生產(chǎn)效率、滿足率等方面都有影響。利用連續(xù)時(shí)間的MDP模型研究單臺(tái)設(shè)備的維護(hù)策略，綜合考慮轉(zhuǎn)移概率的動(dòng)態(tài)性和方案選擇的隨機(jī)性，利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，獲得最佳維護(hù)周期。將其應(yīng)用于混聯(lián)結(jié)構(gòu)，與基于離散空間的MDP維護(hù)策略進(jìn)行比較。結(jié)果顯示，基于連續(xù)時(shí)間MDP模型的維護(hù)策略能夠有效提高生產(chǎn)系統(tǒng)性能，降低成本，提高生產(chǎn)效益。

連續(xù)時(shí)間的MDP模型；維護(hù)策略；轉(zhuǎn)移概率的動(dòng)態(tài)性；方案選擇的隨機(jī)性；MATLAB仿真；混聯(lián)結(jié)構(gòu)

0 引言

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，各生產(chǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜化，各種高精度、集成化設(shè)備廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)線。企業(yè)間的競爭越來越激烈，生產(chǎn)系統(tǒng)的復(fù)雜性、隨機(jī)性使得生產(chǎn)線的維護(hù)難度不斷提升，維護(hù)成本和強(qiáng)度隨之加大，合理的維護(hù)策略對(duì)獲得良好生產(chǎn)效益起著至關(guān)重要的作用。

目前國內(nèi)外關(guān)于生產(chǎn)線維護(hù)策略的研究成果很多，主要分為基于狀態(tài)的維護(hù)和基于時(shí)間的維護(hù)兩種形式[1]?；跔顟B(tài)的維護(hù)是在設(shè)備檢測(cè)技術(shù)迅速發(fā)展的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，通過檢測(cè)設(shè)備的狀態(tài)來判斷其出現(xiàn)故障的概率，確定實(shí)施方案，使損失降到最低。傳統(tǒng)的基于時(shí)間的維護(hù)多采用固定維修周期，這樣的方式操作簡單，維護(hù)人員和備件都可以做事先安排。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊系統(tǒng)理論與技術(shù)的發(fā)展，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊邏輯的自適應(yīng)控制系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用[2-5]。徐昕等人[6]對(duì)基于MDP動(dòng)態(tài)系統(tǒng)學(xué)習(xí)控制理論、算法與應(yīng)用的發(fā)展前景進(jìn)行綜述。起初研究人員用離散的 Markov鏈描述設(shè)備維護(hù)調(diào)度模型，之后，Gharbi等人提出用連續(xù)Markov鏈描述設(shè)備壽命的維護(hù)結(jié)構(gòu)，通過控制設(shè)備生產(chǎn)率和預(yù)維修率使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)化[7]。Jin等人[8]利用馬爾可夫決策過程描述設(shè)備維修或替換等維護(hù)活動(dòng)的概率轉(zhuǎn)移函數(shù)，得到一個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)的預(yù)防性維護(hù)優(yōu)化模型。陳靜靜提出利用MDP模型同時(shí)考慮劣化故障和隨機(jī)故障兩種故障類型，制定針對(duì)單臺(tái)設(shè)備工作排序、清洗和維修的長期維護(hù)優(yōu)化策略[9]。以上關(guān)于MDP模型的應(yīng)用多采用固定式轉(zhuǎn)移概率，在一定程度上反映了狀態(tài)的變化過程。根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際可以考慮采用動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)移概率反映不同狀態(tài)下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況。

本文將利用連續(xù)時(shí)間的MDP模型描述單臺(tái)設(shè)備工作狀態(tài)，充分體現(xiàn)生產(chǎn)實(shí)際中設(shè)備工作、維護(hù)的連續(xù)性，綜合考慮轉(zhuǎn)移概率和實(shí)施方案選擇的動(dòng)態(tài)性和隨機(jī)性，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)優(yōu)化獲取最佳維護(hù)周期。在系統(tǒng)層維護(hù)中以混聯(lián)結(jié)構(gòu)為框架應(yīng)用該模型，對(duì)其實(shí)現(xiàn)優(yōu)化仿真，驗(yàn)證其可行性。

1 連續(xù)時(shí)間的MDP模型

作為描述動(dòng)態(tài)隨機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化決策問題的一類基本數(shù)學(xué)模型，MDP模型通常用四元組{S，A，P，R}表示，其中S為狀態(tài)空間，A為行為空間，P為轉(zhuǎn)移概率（滿足無后效性），R為回報(bào)函數(shù)，在一定意義上可以理解為目標(biāo)函數(shù)。

定義行為策略π表示從狀態(tài)集合S到行為選擇概率的映射，即π：S→P(a)。

1.1 離散空間的MDP

1.2 連續(xù)時(shí)間的MDP

首先，狀態(tài)空間屬于連續(xù)函數(shù)，通?？梢悦枋鰹槿缦逻B續(xù)時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制問題：x˙=f(x，u)。

采用平穩(wěn)策略π的值函數(shù)定義如下：

其中，r為回報(bào)函數(shù)，對(duì)于其積分即為目標(biāo)函數(shù)。需要尋找最佳 π使 Vπ(x)達(dá)到最優(yōu)解。

實(shí)際生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備工作環(huán)境復(fù)雜，設(shè)備的自身工作狀態(tài)、運(yùn)轉(zhuǎn)環(huán)境、已維護(hù)次數(shù)等信息直接關(guān)系生產(chǎn)線的效益，合理的維護(hù)策略和預(yù)先安排能夠有效降低因突發(fā)事件帶來的巨大損失。MDP模型能夠形象地模擬不同維護(hù)策略對(duì)設(shè)備狀態(tài)的影響。對(duì)于整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)，要獲得最優(yōu)維護(hù)策略，首先需要研究每臺(tái)設(shè)備的維護(hù)策略。本文利用連續(xù)時(shí)間的MDP模型研究單臺(tái)設(shè)備維護(hù)策略，然后研究在交貨期、在制品數(shù)和成品率等因素的綜合影響下，系統(tǒng)層的維護(hù)策略。

2 單臺(tái)設(shè)備維護(hù)策略

在生產(chǎn)實(shí)際中設(shè)備的工作狀態(tài)具有連續(xù)性的特點(diǎn)，因此，利用連續(xù)時(shí)間的MDP模型能夠更加合理地模擬設(shè)備退化過程。在連續(xù)時(shí)間的MDP模型中，狀態(tài)空間、行為空間均為連續(xù)空間，狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)間也是連續(xù)的。本文將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮轉(zhuǎn)移概率的動(dòng)態(tài)性和方案選擇的隨機(jī)性。本文將設(shè)備的狀態(tài)空間設(shè)定為連續(xù)空間，綜合考慮設(shè)備自身運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)、成品率、維修記錄等因素，利用連續(xù)函數(shù)擬合設(shè)備自然狀態(tài)下的退化過程，實(shí)現(xiàn)設(shè)備整個(gè)生命周期中狀態(tài)的連續(xù)性。

首先，根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合狀態(tài)空間x(τ)，0＜τ≤m。x(τ)是關(guān)于自然退化時(shí)間τ的連續(xù)函數(shù)，表示設(shè)備的自然退化過程。根據(jù)實(shí)際情況，狀態(tài)空間 x(τ)為遞減函數(shù)。隨著時(shí)間的延續(xù)，當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)刻m時(shí)設(shè)備將退化至某一劣化極限 x(m)，狀態(tài) x(m)表示設(shè)備出現(xiàn)故障，必須進(jìn)行故障性維修。

行為空間u(t)表示 t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)x(τ)可采用的行為的集合。

且當(dāng) x(τ)=x(m)時(shí)u(t)=1，當(dāng) x(τ)＜x(m)時(shí)設(shè)備處于無法修復(fù)狀態(tài)，停止工作。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P(i，j，a)表示設(shè)備處于狀態(tài) x(i)，采用方案 a后，設(shè)備狀態(tài)轉(zhuǎn)移到 x(j)的概率，其中 i，j∈τ。轉(zhuǎn)移概率P(i，j，a)的隨機(jī)性表現(xiàn)為：

且其滿足如下關(guān)系：

方案選擇概率g(a)表示到達(dá)維護(hù)時(shí)刻選擇實(shí)施方案a的概率。其隨機(jī)性表現(xiàn)為不同時(shí)刻選擇各方案的概率不同，即g(a)=g(t，a)。

r(x(τ)，u(t))表示設(shè)備處于狀態(tài) x(τ)時(shí)采用方案 u(t)獲得的收益。π(u(t))表示所采用的一系列維護(hù)策略，即在每個(gè)維護(hù)時(shí)刻所采用的方案，目標(biāo)即為尋找一個(gè)最優(yōu)維護(hù)策略π*(u(t))使效益最大化。本文中維護(hù)策略 π的選擇由轉(zhuǎn)移概率的動(dòng)態(tài)性和方案選擇的隨機(jī)性體現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上確定最優(yōu)維護(hù)周期T，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)解。

平穩(wěn)策略的值函數(shù)：

若u(t)≡0則設(shè)備狀態(tài)變化過程為服從函數(shù)x(τ)，即設(shè)備自然退化過程。且有，若采用最優(yōu)維護(hù)策略π*(u(t))，則所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間為x*(τ)。目標(biāo)即為尋找最優(yōu)維護(hù)策略π*(u(t))和最優(yōu)維護(hù)周期T*使系統(tǒng)效益最大化。

假設(shè)維護(hù)周期為l，采用一定維護(hù)策略后，單位時(shí)間產(chǎn)生的效益為 h(t)，其與狀態(tài)空間具有線性關(guān)系。則一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)獲得效益：

其中 g(a)表示選擇方案 a的概率，x(i)表示設(shè)備所處狀態(tài)。最佳維護(hù)策略π*即使效益最大化的維護(hù)周期T和實(shí)施方案 a，π*=π(T，a1，a2，a3，…，an)，an∈a。

目標(biāo)函數(shù)：

其中，u1、u2分別表示設(shè)備進(jìn)行一次預(yù)防性維修和故障性維修的費(fèi)用，v1、v2分別表示設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修和故障性維修的次數(shù)。

3 系統(tǒng)層維護(hù)策略

對(duì)于生產(chǎn)系統(tǒng)，根據(jù)連接形式的不同各單臺(tái)設(shè)備所得效益在系統(tǒng)層效益中反映的程度不同。本文研究假設(shè)，對(duì)于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的效益，以串聯(lián)結(jié)構(gòu)中效益最大的單臺(tái)設(shè)備的效益作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的效益，以各單臺(tái)設(shè)備效益之和為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

串聯(lián)系統(tǒng)效益：

并聯(lián)系統(tǒng)效益：

在系統(tǒng)混聯(lián)結(jié)構(gòu)中，將并聯(lián)設(shè)備作為一個(gè)單元與串聯(lián)設(shè)備一起作為串聯(lián)結(jié)構(gòu)考慮。

混聯(lián)系統(tǒng)效益：

本文以混聯(lián)結(jié)構(gòu)為模型框架研究最優(yōu)維護(hù)策略，系統(tǒng)層維護(hù)策略模型滿足maxQπ(l)，即獲得能夠使系統(tǒng)效益最大化的維護(hù)周期l和相應(yīng)的各個(gè)周期的實(shí)施方案。

4 案例仿真

為驗(yàn)證模型的可行性和有效性，本文采用以下算例進(jìn)行分析。如圖1所示，系統(tǒng)由5臺(tái)退化模型相同的設(shè)備組成，按統(tǒng)一周期進(jìn)行仿真。設(shè)備自然退化過程x(τ)通過擬合為8次多項(xiàng)式，極限工作時(shí)間8 000。一次故障性維修的費(fèi)用 u2=5 000元，一次預(yù)防性維修的費(fèi)用 u1= 1 000元。轉(zhuǎn)移概率P(i，j，a)的分布如下：

圖1 算例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

實(shí)施方案選擇原則如下：

利用MATLAB建模仿真獲得如圖2結(jié)果。由圖2可知，在此模型假設(shè)基礎(chǔ)上，當(dāng)維護(hù)周期為1 700 h時(shí)效益最大化。維護(hù)周期較低時(shí)，頻繁的維護(hù)會(huì)增加維護(hù)費(fèi)用導(dǎo)致效益降低。維護(hù)周期太大時(shí)，設(shè)備維護(hù)不及時(shí)，故障停機(jī)的概率增加，設(shè)備利用率下降，導(dǎo)致效益下降。

圖2 優(yōu)化仿真效益圖

由圖3可知，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)初期（0＜t＜2 500），當(dāng)?shù)竭_(dá)維護(hù)周期時(shí)選擇正常運(yùn)轉(zhuǎn)（a=0）而不實(shí)施維護(hù)措施的概率為 40%；在運(yùn)轉(zhuǎn)中期（2 500＜t＜5 600）,選擇預(yù)防性維護(hù)（a=1）的概率為 61%；在運(yùn)轉(zhuǎn)后期（t＞5 600）,選擇故障性維護(hù)（a=2）的概率為 54%。由此可知，在設(shè)備運(yùn)行后期隨著設(shè)備可靠性的降低，故障維修的次數(shù)增加，符合生產(chǎn)實(shí)際，證明方案選擇假設(shè)可行。

本文以混聯(lián)結(jié)構(gòu)為框架應(yīng)用此模型，分析系統(tǒng)的設(shè)備利用率，與基于離散空間的MDP維護(hù)策略進(jìn)行比較。如圖4所示，采用連續(xù)時(shí)間MDP模型下的平均利用率為0.992 48，采用離散MDP模型的平均利用率為0.987 22。由此可知，連續(xù)時(shí)間MDP模型下的維護(hù)策略能夠有效提高設(shè)備利用率，從而在一定程度上提高效益，進(jìn)一步證明基于連續(xù)時(shí)間MDP模型的維護(hù)決策的有效性和可行性。

圖3 維護(hù)周期為100 h時(shí)的維護(hù)策略

圖4 平均設(shè)備利用率

5 結(jié)論

在生產(chǎn)實(shí)際中設(shè)備狀態(tài)屬于連續(xù)變化量，本文采用連續(xù)時(shí)間的MDP模型模擬設(shè)備狀態(tài)連續(xù)變化過程下系統(tǒng)效益的連續(xù)變化過程。綜合考慮生產(chǎn)實(shí)際因素，利用生產(chǎn)實(shí)際數(shù)據(jù)模擬設(shè)備自然退化過程，將連續(xù)變化的設(shè)備狀態(tài)轉(zhuǎn)化為效益的變化過程，以效益最大化為目標(biāo)獲得最優(yōu)維護(hù)策略。系統(tǒng)層框架結(jié)構(gòu)在基于連續(xù)時(shí)間的MDP模型下，將生產(chǎn)系統(tǒng)的現(xiàn)實(shí)因素融于控制條件，進(jìn)一步控制維護(hù)策略，獲得較為合理的維護(hù)策略。仿真結(jié)果顯示，基于連續(xù)時(shí)間MDP模型應(yīng)用于生產(chǎn)系統(tǒng)，可有效提高設(shè)備利用率和產(chǎn)量，改善系統(tǒng)性能，從而提高生產(chǎn)線效益。參考文獻(xiàn)

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Maintenance cycle based on continuous time MDP model and stochastic decision

Ao Yinhui，Wang Cuifen
(College of Electromechanical Engineering，Guangdong University Technology，Guangzhou 510006，China)

The maintenance strategy of production system is directly related to life of equipment.And it effects the continuous and reliability of production line,product quality,production efficiency and satisfaction rate etc.This paper uses the continuous-time MDP model to study the maintenance strategy of single device.And it considers the dynamic of transition probability and the random of scheme selection,by simulation and optimization to obtain the optimal maintenance strategy in Matlab software.It is applied to the series and parallel structure,compared with discrete space MDP maintenance.The results show that maintenance strategy based on continuous-time MDP model can effectively improve performance of production system,reduce costs and improve production efficiency.

continuous-time MDP model；maintenance strategy；the dynamic of transition probability；the random of scheme selection；MATLAB optimization；series and parallel structure

TP23

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2016.03.035

敖銀輝，王翠芬.基于連續(xù)時(shí)間 MDP模型和隨機(jī)決策的維護(hù)周期[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2016，42(3)：123-126.

英文引用格式：Ao Yinhui，Wang Cuifen.Maintenance cycle based on continuous time MDP model and stochastic decision[J]. Application of Electronic Technique，2016，42(3)：123-126.

2015-12-15)

敖銀輝(1973-)，男，博士，主要研究方向：機(jī)械動(dòng)力學(xué)和系統(tǒng)仿真，故障診斷,設(shè)備檢測(cè)、管理和智能維護(hù)系統(tǒng)。

國家科學(xué)自然基金（51275093）

王翠芬(1992-)，通信作者，女，碩士研究生，主要研究方向：系統(tǒng)仿真與優(yōu)化，智能維護(hù)，E-mail：www.1229199177@qq.com。