摘 要：研究了分數(shù)階傅里葉變換的原理及其在地震面波壓制方面的應(yīng)用，分析了傳統(tǒng)理想矩形濾波器在分數(shù)階域?qū)υ肼晧褐坪蟠嬖诘膯栴}。提出采用指數(shù)函數(shù)對地震面波進行壓制，研究并設(shè)計了指數(shù)濾波器的函數(shù)模型，及指數(shù)陷波器的函數(shù)模型，并將該指數(shù)濾波器應(yīng)用于地震信號處理中，實驗證明，所設(shè)計的指數(shù)濾波器應(yīng)用在分數(shù)階傅里葉域，可有效實現(xiàn)對地震面波的壓制，并有效的提高地震資料處理后同相軸的連續(xù)性。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階傅里葉變換；濾波器；面波；同相軸

1 概述

線性調(diào)頻[1]（LFM）信號廣泛應(yīng)用于地震、雷達、聲納等系統(tǒng)中，比如陸上反射地震勘探使用可控震源產(chǎn)生線性調(diào)頻數(shù)字信號，合成孔徑的雷達信號和目標回波方位的多普勒頻移信號都屬于LFM信號。這類信號屬于典型的非平穩(wěn)信號，分數(shù)階傅里葉變換作為傅里葉變換的推廣，廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)信號的分析和處理，若將傅里葉變換看作從時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)？仔/2到頻率軸，那么分數(shù)階Fourier變換作為Fourier變換的廣義形式，則可以旋轉(zhuǎn)任意角度以展示出信號從時域逐步變化到頻域的所有變化特征，為信號的時頻分析提供了更大的選擇空間。另外，分數(shù)階傅里葉變換是一種線性變換，可避免多分量LFM信號而產(chǎn)生的交叉干擾信號項[2-7]。

正是由于分數(shù)階Fourier變換在時頻分析中的優(yōu)點而逐漸受到眾多科研工作者的青睞?，F(xiàn)今，分數(shù)階Fourier變換已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學研究和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域[8]，文章以地震面波的處理為背景，分析了傳統(tǒng)濾波方法存在的問題，并提出一種新的濾波方法。

2 分數(shù)階傅里葉變換

分數(shù)階傅里葉變換是傅里葉變換的一種推廣，從數(shù)學的角度來看，p階分數(shù)階傅里葉變換可以定義為時域信號x（t）的線性積分變換，對于旋轉(zhuǎn)角？琢■，p為分數(shù)情形，定義[9-10]：

LFM信號有較大的時寬和頻寬，單純的在時域或頻率濾波都得不到理想的結(jié)果，通過分數(shù)階傅里葉變換，當LFM信號的調(diào)頻率與旋轉(zhuǎn)角度相一致時，可使LFM信號在該方向上形成沖擊函數(shù)，具有最佳的時頻聚集性，這時，利用在分數(shù)階傅里葉域上的窄帶濾波，就可以很好的提取LFM信號。

3 FRFT在地震信號處理中的應(yīng)用

由于地震面波和有效波混雜在一起，面波的能量比有效波能量強，幾乎淹沒了有效波。只有選擇一個合適的旋轉(zhuǎn)角度，才能使面波和有效波在時頻域?qū)崿F(xiàn)分離。在處理過程中必須通過大量的試驗找出的最佳變換階數(shù)，然后在該分數(shù)階域內(nèi)設(shè)計濾波器去除面波，達到壓制面波的效果。因此，使得數(shù)據(jù)處理過程變得復(fù)雜和不確定。

文中利用分數(shù)階自相關(guān)結(jié)合分數(shù)階傅里葉變換的方法來對地震信號進行處理，實現(xiàn)使地震有效波與面波干擾波的有效分離。具體方法如下：

（1）對采集的地震信號進行分數(shù)階自相關(guān)變換，通過得到的峰值點確定有效信號調(diào)頻斜率，從而確定分數(shù)階傅里葉變換的最佳旋轉(zhuǎn)階數(shù)p。

（2）根據(jù)第一步獲得的參數(shù)對原始信號進行分數(shù)階傅里葉變換，在分數(shù)階域設(shè)計理想窄帶濾波器實現(xiàn)對面波的壓制。

（3）進行分數(shù)階傅里葉反變換，得到信號的時域表示。

4 理想窄帶矩形濾波器的局限性分析

實驗證明采用這種方法可以有效壓制高強度的面波，但從處理后數(shù)據(jù)的進一步分析發(fā)現(xiàn)這種方法使得地震信號有效波同相軸的連續(xù)性變差，其問題來源于濾波方法的選擇。

分數(shù)階域的濾波通常采用理想濾波器對噪聲進行遮隔處理，這將導(dǎo)致信號因截斷而產(chǎn)生譜泄露，使得主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，這不僅影響頻率分辨率，嚴重時強信號的旁瓣可能湮滅弱信號的主譜線，或者將強信號譜的旁瓣誤認為是另一信號的譜線，從而形成加信號，使譜分析產(chǎn)生交大的偏差。

圖1為理想LFM信號的時域波形及其在分數(shù)階傅里葉變換域的波形，圖2為加噪的LFM信號的時域波形及其在分數(shù)階傅里葉變換域的波形，圖3為該信號經(jīng)過理想窄帶濾波處理后的信號時域波形及分數(shù)階傅里葉變換波形。通過圖1和圖3的對比可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過理想窄帶濾波后，并沒有很好的恢復(fù)原理想LFM信號的波形。原因就是某一階次的分數(shù)階傅里葉域的矩形波，經(jīng)傅里葉逆變換回時域會使信號發(fā)生變形，形成很多旁瓣，階次不同旁瓣的幅值也不同，這樣的濾波函數(shù)與信號相乘使信號的幅值被調(diào)制而產(chǎn)生嚴重變形，從而不能很好的恢復(fù)提取信號的原來面貌。

5 壓制面波的指數(shù)帶陷濾波器

理想窄帶矩形信號因截斷效應(yīng)而發(fā)生畸變使得被處理信號發(fā)生變形是不可避免的，但可通過取更長的數(shù)據(jù)作為濾波函數(shù)，使截斷加寬，盡管這樣會導(dǎo)致存儲量和運算量增加。另外數(shù)據(jù)不要突然截斷，也就是不要加矩形窗，而是緩慢截斷，即采用幅值漸變的窗，使得窗譜的旁瓣能量更小，卷積后造成的泄露減小。

6 實驗驗證

以實際地震數(shù)據(jù)資料為研究對象，其中采集道數(shù)為64道，道間距為15米，采樣點數(shù)為1280，采樣間隔為0.004s。圖7是處理前和處理后的對比結(jié)果。從濾波處理后的b圖可以看到，面波得到了很好的壓制，且同相軸的連續(xù)性也較好。

7 結(jié)束語

利用理想窄帶濾波器在分數(shù)階傅里葉域進行噪聲壓制后，再進行傅里葉逆變換回到時域時，因理想濾波器的截斷效應(yīng)，使得濾波處理后信號的波形發(fā)生變化。為解決這一問題，文中設(shè)計了指數(shù)形式的濾波函數(shù)，并通過試驗證明該濾波函數(shù)可以有效的解決噪聲壓制后信號波形嚴重失真的問題。

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作者簡介：雷立群（1977-），女，吉林省長春市人，單位：吉林農(nóng)業(yè)科技學院機械工程學院，學歷：碩士，研究方向：儀器科學與技術(shù)。