張瑋鵬，謝康和，呂文曉，黃大中，吳浩

(1. 浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州，310058；2. 杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院，浙江 杭州，311402)

抽水引起的有起始比降飽和土固結(jié)解析解

張瑋鵬1，謝康和1，呂文曉2，黃大中1，吳浩1

(1. 浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州，310058；2. 杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院，浙江 杭州，311402)

研究在有起始比降的弱透水層下大面積抽水而引起的一維固結(jié)問(wèn)題，采用分離變量法，獲得該工況下的一維固結(jié)解析解。討論土中滲流移動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得滲流發(fā)展到達(dá)土層頂部的時(shí)間因子與起始比降的關(guān)系曲線(xiàn)，分析考慮起始比降后土體的一維固結(jié)和沉降特性。研究結(jié)果表明：當(dāng)起始比降大于一定值時(shí)，滲流不會(huì)發(fā)展到達(dá)土層頂部，此時(shí)，弱透水層由于抽水引起的固結(jié)最終壓縮量將減小，且起始比降越大，最終壓縮量越??；當(dāng)固結(jié)結(jié)束時(shí)，土體中孔隙水壓力沿深度分布曲線(xiàn)為折線(xiàn)；而當(dāng)滲流能夠發(fā)展到達(dá)土層頂部時(shí)，最終壓縮量為一定值，與起始比降無(wú)關(guān)，土體中的孔隙水壓力沿深度分布曲線(xiàn)為直線(xiàn)。

起始比降；大面積抽水；一維固結(jié)；解析解；非達(dá)西流

抽取地下水將導(dǎo)致地下水位下降，孔隙水壓力減小，有效應(yīng)力增加，土體發(fā)生固結(jié)而引起地面沉降。隨著人類(lèi)抽取地下水?dāng)?shù)量日益增加，由此引起的地面沉降問(wèn)題日益嚴(yán)重[1?3]。地面沉降是一種嚴(yán)重的地質(zhì)災(zāi)害，對(duì)人類(lèi)生活環(huán)境等產(chǎn)生惡劣影響。駱冠勇等[4]對(duì)承壓水減壓引起的上覆土層固結(jié)進(jìn)行了研究，在假定一維豎向固結(jié)的條件下推導(dǎo)了減壓引起的固結(jié)解析解。TSENG等[5]分析了水位瞬時(shí)下降和水位隨時(shí)間變化情況下自重應(yīng)力對(duì)飽和土體固結(jié)的影響。TSAI[6]采用差分法研究了水位瞬時(shí)下降和水位隨時(shí)間變化情況下黏滯性對(duì)飽和土體固結(jié)的影響。SHEN等[7]對(duì)上海市地下水抽取引起的地面沉降進(jìn)行了數(shù)值分析，在假定三維滲流一維變形的情況下分析了地下水位、地下水抽取量與地面沉降的關(guān)系，并對(duì)今后的地面沉降進(jìn)行了預(yù)測(cè)。LIU等[8]通過(guò)拉普拉斯變換獲得了考慮黏彈性弱透水層因水位變化引起的一維固結(jié)解并分析了土體固結(jié)性狀。謝康和等[9]獲得了越流系統(tǒng)中水位下降弱透水層的一維固結(jié)解析解，并對(duì)固結(jié)性狀進(jìn)行了分析。上述研究均基于達(dá)西定律，由于達(dá)西定律以砂土滲流試驗(yàn)獲得，并不完全適用于其他土。對(duì)于某些低滲透性飽和黏土，MILLER等[10?11]滲透試驗(yàn)研究證明，土中存在起始比降i0，只有當(dāng)土中某點(diǎn)的水力坡降大于i0時(shí)，該點(diǎn)才會(huì)發(fā)生滲流。對(duì)于存在起始比降的土層固結(jié)問(wèn)題，目前已有很多研究[12?18]，但均局限于荷載引起的固結(jié)，關(guān)于抽水引起的有起始比降的土層固結(jié)研究還未見(jiàn)報(bào)道。為此，本文作者研究在有起始比降的弱透水土層下大面積抽水引起的固結(jié)問(wèn)題，分別分析不同起始比降下滲流不能夠發(fā)展到達(dá)土層頂部和能夠到達(dá)土層頂部的情況。在假定滲流到達(dá)土層頂部之后上層潛水位不變的條件下，獲得不同起始比降下的一維固結(jié)解析解，并分析起始比降對(duì)土體一維固結(jié)性狀的影響。

1　計(jì)算模型

根據(jù)第2類(lèi)越流系統(tǒng)，對(duì)弱透水層進(jìn)行分析，其上部土層為定水頭的潛水含水層，下部為透水主含水層，即大面積抽水(降水)土層，示意圖如圖1所示。圖1中：h0為所有土層的初始水頭(弱透水層頂面為基準(zhǔn)面)；H為弱透水層厚度；Ht為滲流移動(dòng)邊界至基準(zhǔn)面的距離；Hc為最終滲流邊界至基準(zhǔn)面的距離；Δh為主含水層因抽水引起的水頭損失；z為豎向坐標(biāo)。

進(jìn)行如下基本假定：1) 土體完全飽和；2) 土體是均質(zhì)的；3) 土顆粒和孔隙水不可壓縮；4) 土體固結(jié)變形微??；5) 土中滲流和變形是一維的；6) 在固結(jié)過(guò)程中土的豎向滲透系數(shù)kv和壓縮系數(shù)a為常數(shù)；7) 弱透水層任意位置處初始水頭均為h0；8) 主含水層由于大面積抽水，瞬時(shí)水位下降Δh，并由于有側(cè)向補(bǔ)給及持續(xù)抽水共同作用，假定其水位下降后保持穩(wěn)定；9) 潛水層由于天然補(bǔ)給，水頭基本保持不變；10)考慮起始比降，土中滲流方程為

式中：v為流速；k為滲透系數(shù)；i0為起始比降(i0≥0)。

圖1　大面積抽水后弱透水層中滲流發(fā)展示意圖Fig. l Schematic diagram of development of seepage in aquitard after groundwater pumping

根據(jù)求解模型及相應(yīng)的基本假定，可得此條件下以水頭表示的一維固結(jié)微分方程和求解條件為：

與式(3)相應(yīng)的求解條件如下。

初始條件：

邊界條件：

式中：cv為固結(jié)系數(shù)；h為總水頭。

2　問(wèn)題求解

定義無(wú)量綱參數(shù)起始比降因子R=i0H/Δh。顯然，若i0越大，Δh越小，則R越大，滲流越難以到達(dá)土層頂部。該問(wèn)題可分為2種情況。

1) 當(dāng)R＞1時(shí)，滲流逐漸向土層頂部發(fā)展但不能發(fā)展到土層頂部，此時(shí)，滲流最終邊界至基準(zhǔn)面的距離為Hc=(1?1/R)H，在該邊界以上土體不會(huì)發(fā)生固結(jié)。由于邊界條件非齊次，因此，采用變量替換的方法將原問(wèn)題化為齊次邊界問(wèn)題，引入變量w，變換為

2) 當(dāng)0＜R≤1時(shí)，滲流逐漸向土層頂部發(fā)展且能夠發(fā)展到達(dá)土層頂部，此時(shí)滲流的最終邊界即為基準(zhǔn)面，或即Hc=0，整個(gè)弱透水層均將會(huì)發(fā)生固結(jié)。在滲流到達(dá)土層頂部前，以水頭表示的一維固結(jié)微分方程和求解條件與R＞1時(shí)滲流不能到達(dá)土層頂部時(shí)相同?？稍O(shè)滲流剛好到達(dá)土層頂部時(shí)歷時(shí)t0，則由式(15)可得

其計(jì)算值與駱冠勇等[4]獲得的解析解計(jì)算結(jié)果相同，驗(yàn)證了本文解的合理性。

此外，若研究考慮起始比降水位下降引起的下臥弱透水層固結(jié)問(wèn)題，此時(shí)，由于存在對(duì)稱(chēng)性，只需建立向上的坐標(biāo)系，基準(zhǔn)面取在弱透水層底面，則求解結(jié)果完全相同。

3　土層固結(jié)分析

3.1滲流移動(dòng)邊界

據(jù)式(15)可得圖2所示的不同起始比降下滲流移動(dòng)邊界隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)。由圖2可見(jiàn)：與太沙基一維固結(jié)理論不同，由于起始比降的存在，滲流并不會(huì)瞬間在整個(gè)土層發(fā)生。當(dāng)下層主含水層水位下降后，滲流移動(dòng)邊界隨時(shí)間推移逐漸向土層頂部移動(dòng)。當(dāng)起始比降較小時(shí)，滲流能夠很快發(fā)展到達(dá)土層頂部，隨著起始比降增大，滲流發(fā)展到達(dá)土層頂部的時(shí)間越長(zhǎng)。當(dāng)土層起始比降大于一定值(R＞1)時(shí)，滲流移動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)至某一深度，便停止向上移動(dòng)，并不會(huì)發(fā)展到達(dá)土層頂部。在該深度以上土層，并不會(huì)發(fā)生固結(jié)，且起始比降越大，發(fā)生固結(jié)土層的厚度越小。圖3所示為滲流發(fā)展到土層頂部時(shí)間因子與起始比降的關(guān)系曲線(xiàn)。由圖3可看出：隨著起始比降R的增大，滲流發(fā)展到達(dá)土層頂部的時(shí)間因子越大，當(dāng)R＞1時(shí)，滲流發(fā)展到達(dá)土層頂部的時(shí)間因子趨于無(wú)窮大，即滲流不能到達(dá)土層頂部。綜上所述，起始比降阻礙了滲流的發(fā)展。

圖2　滲流移動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)Fig. 2 Motion of moving boundary of seepage

圖3　滲流發(fā)展到土層頂部時(shí)間因子與起始比降的關(guān)系曲線(xiàn)Fig. 3 Curve of time moving boundary of seepage takes to reach top of layer versus threshold gradient

3.2沉降曲線(xiàn)

不同起始比降下土層固結(jié)壓縮量隨時(shí)間發(fā)展曲線(xiàn)如圖4所示，其中s'=Sct/[γwΔhH/(2Es)]。由圖4可知：起始比降R越大，到達(dá)相同壓縮量所需時(shí)間越長(zhǎng)，相同時(shí)間因子下壓縮量越小。當(dāng)起始比降較小時(shí)(0＜R≤1)時(shí)，滲流能夠到達(dá)土層頂部，其最終壓縮量均為一定值，Sc∞=γwΔhH/2Es；當(dāng)起始比降達(dá)到一定值時(shí)(R＞1)，將影響滲流發(fā)展的深度，使發(fā)生固結(jié)的土層厚度減小，其最終壓縮量將變小，Sc∞= γwΔhH/(2Es?R)，可知其值與R相關(guān)，R越大，最終壓縮量越小。當(dāng)R=0時(shí)，即不考慮起始比降時(shí)，滲流能瞬時(shí)到達(dá)土層頂部，其最終壓縮量與0＜R≤1時(shí)的壓縮量相同，且相同時(shí)間因子下壓縮量最大，與太沙基雙面排水條件下一維固結(jié)解相等。

圖4　不同起始比降下壓縮量與時(shí)間因子曲線(xiàn)Fig. 4 Compression versus time curves with different threshold gradients

3.3孔隙水壓力的分布

當(dāng)主含水層水位下降后，隨著時(shí)間的發(fā)展，弱透水層中水頭逐漸降低，孔隙水壓力逐漸減小，有效應(yīng)力逐漸增加。分別取時(shí)間因子Tv=0.1時(shí)和土體固結(jié)完成時(shí)2種情況，計(jì)算不同起始比降下水頭、孔壓沿深度分布曲線(xiàn)，如圖5～8所示，其中H=10 m，h0=10 m，?h= 5 m。由圖5～8可知：起始比降越大，水頭下降越慢，孔壓減小得也越慢；當(dāng)起始比降達(dá)到一定值時(shí) (R＞1)，滲流并不會(huì)發(fā)展到達(dá)土層頂部，此時(shí)，最終滲流邊界上部的土層將不會(huì)發(fā)生固結(jié)，在固結(jié)結(jié)束時(shí)水頭和孔隙水壓力仍將保持不變，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線(xiàn)均為折線(xiàn)；當(dāng)起始比降較小時(shí)(0＜R≤1)，滲流最終能夠發(fā)展至土層頂部，整個(gè)土層均發(fā)生固結(jié)。當(dāng)固結(jié)結(jié)束時(shí)，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線(xiàn)均為直線(xiàn)。

圖5　Tv=0.1時(shí)不同起始比降下水頭沿深度變化曲線(xiàn)Fig. 5 Water head versus depth curves with different threshold gradients at Tv=0.1

圖6　Tv=0.1時(shí)不同起始比降下孔壓沿深度變化曲線(xiàn)Fig. 6 Pore water pressure versus depth curves with different threshold gradients at Tv=0.1

圖7　固結(jié)結(jié)束時(shí)不同起始比降下水頭沿深度變化曲線(xiàn)Fig. 7 Water head versus depth curves with different threshold gradients at the end of consolidation

圖8　固結(jié)結(jié)束時(shí)不同起始比降下孔壓沿深度變化曲線(xiàn)Fig. 8 Pore water pressure versus depth curves with different threshold gradients at the end of consolidation

4　結(jié)論

1) 分析了考慮起始比降下水位下降引起的一維固結(jié)問(wèn)題，并獲得了不同起始比降下相應(yīng)的一維固結(jié)解答。當(dāng)起始比降i0=0時(shí)，本文退化解與解析解計(jì)算結(jié)果相同，表明本文解答是合理的。

2) 與起始比降為0時(shí)滲流瞬間在整個(gè)土層發(fā)生不同，當(dāng)存在起始比降時(shí)，土中滲流是逐漸向上發(fā)展的。起始比降越大，滲流邊界在土中的移動(dòng)速度越慢。當(dāng)起始比降在一定范圍內(nèi)時(shí)(0＜R≤1)，滲流均能在一定時(shí)間發(fā)展到達(dá)土層頂部，且最終壓縮量相同；當(dāng)起始比降大于一定值時(shí)(R＞1)，土中滲流雖能逐漸向上發(fā)展，但是并不會(huì)發(fā)展到達(dá)土層頂部，且起始比降越大，發(fā)生固結(jié)的土層厚度越小，最終壓縮量越小。

3) 起始比降越大，降水后土中水頭下降越慢，孔壓減小得也越慢。當(dāng)滲流能夠發(fā)展到達(dá)土層頂部時(shí)，固結(jié)結(jié)束時(shí)，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線(xiàn)均為直線(xiàn)；當(dāng)滲流不能發(fā)展到達(dá)土層頂部時(shí)，固結(jié)結(jié)束時(shí)，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線(xiàn)均為折線(xiàn)。

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(編輯 劉錦偉)

Analytical solution to one-dimensional consolidation of saturated soil with threshold gradient induced by groundwater pumping

ZHANG Weipeng1, XIE Kanghe1, Lü Wenxiao2, HUANG Dazhong1, WU Hao1
(1. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China; 2. Institute of Urban Construction, Hangzhou Polytechnic, Hangzhou 311402, China)

One-dimensional consolidation was induced by groundwater pumping beneath the aquitard with threshold gradient. General analytical solutions were obtained by the method of separation of variables. The motion law of moving boundary of seepage was discussed, the relationship between the time moving boundary of seepage that reaches the top of the layer and the threshold gradient was given, and the one-dimensional consolidation and the settlement characteristics of the layer were investigated. The results show that when the threshold gradient is big enough, the moving boundary of seepage will not reach the top of the layer. The final settlement of the layer due to groundwater pumping will decrease, and the bigger the threshold gradient, the smaller the final settlement. At the end of consolidation, the curve of pore water pressure versus depth will be piecewise-linear. Whereas the moving boundary of seepage can reach the top of the layer, the final settlement is constant and irrelevant to the threshold gradient, and the curve of pore water pressure versus depth will be linear.

threshold gradient; groundwater pumping; one-dimensional consolidation; analytical solutions; non-Darcian flow

TU46

A

1672?7207(2016)03?0875?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.021

2015?03?25；

2015?05?10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278453，51179170)；國(guó)家教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20120101110029) (Projects (51278453, 51179170) supported by the National Natural Science Foundation of China；Project(20120101110029) supported by the Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China)

謝康和，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事巖土工程方面的教學(xué)和科研；E-mail: zdkhxie@zju.edu.cn