王永逵，王健，耿加會(huì)，余春榮，馮立艷

（1. 上海奇齊科技開(kāi)發(fā)實(shí)業(yè)有限公司，上?！?01600；2. 河南舞陽(yáng)縣惠達(dá)公路工程公司，河南　舞陽(yáng)　462400；3. 建筑材料工業(yè)技術(shù)情報(bào)研究所，北京　100024；4. 四川德陽(yáng)明鴻商品混凝土有限公司，四川　德陽(yáng)　618099）

從混凝土歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中學(xué)習(xí)、理解A定則B公式之二（II）

王永逵1，王健1，耿加會(huì)2，余春榮3，馮立艷4

（1. 上海奇齊科技開(kāi)發(fā)實(shí)業(yè)有限公司，上海201600；2. 河南舞陽(yáng)縣惠達(dá)公路工程公司，河南舞陽(yáng)462400；3. 建筑材料工業(yè)技術(shù)情報(bào)研究所，北京100024；4. 四川德陽(yáng)明鴻商品混凝土有限公司，四川德陽(yáng)618099）

阿勃萊姆斯的 A 定則是在費(fèi)雷特普適公式基礎(chǔ)上的發(fā)展和提高，對(duì)混凝土強(qiáng)度理論具有里程碑的意義。保羅米的 B公式是在 A 定則基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)化，使數(shù)理統(tǒng)計(jì)對(duì)混凝土中的應(yīng)用進(jìn)入新階段。但與A定則沒(méi)有質(zhì)的區(qū)別，都是對(duì)混凝土強(qiáng)度期望值估計(jì)值的計(jì)算，其結(jié)果應(yīng)該很接近。A 定則—B 公式成了現(xiàn)代混凝土的基礎(chǔ)理論之一，有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

A 定則—B 公式；期望值；預(yù)報(bào)；控制

（接前節(jié)）

3.4B 公式的電腦擬合

上述列表計(jì)算的方法可以作為學(xué)習(xí)、掌握一元線性回歸分析的基本訓(xùn)練，可以看出計(jì)算還是很繁瑣的，僅子樣為27對(duì)﹙Xi，Yi﹚數(shù)據(jù)的小樣本，計(jì)算數(shù)據(jù)約300個(gè)次上下，而且計(jì)算中不能出任何差錯(cuò)，假使有一個(gè)錯(cuò)誤，就不可能得到正確的結(jié)果?？梢?jiàn)在那個(gè)僅有手搖計(jì)算機(jī)的年代，擬合一個(gè)用于生產(chǎn)和科研的公式多么不易。如果你能動(dòng)手親自算一算，你就體會(huì)到我們今天重溫歷史，學(xué)習(xí)當(dāng)年的成果，對(duì)費(fèi)雷特、阿勃萊姆斯和保羅米他們所做的開(kāi)創(chuàng)性工作是多么值得敬重。現(xiàn)在好了，幾百個(gè)幾千幾甚至上萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)，甚至更大的樣本，用身邊的電腦，僅用幾分鐘的時(shí)間就準(zhǔn)確無(wú)誤的得到需要的結(jié)果。

3.4.1電腦擬合 B 公式的步驟

（1）在 Excel 文檔中列表，將膠水比﹙Xi﹚和混凝土實(shí)測(cè)強(qiáng)度﹙Yi﹚按由小到大順序排列；

（2）選中 Xi和 Yi后，點(diǎn)擊“插入”中的“圖表”，點(diǎn)擊相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，點(diǎn)“完成”；

（3）選擇“散點(diǎn)圖”里面的一個(gè)“點(diǎn)”鼠標(biāo)右擊，在顯示界面中選擇【添加趨勢(shì)線】，如本例的直線方程；

（4）在【添加趨勢(shì)線】界面里面點(diǎn)直線方程，在顯示界面中點(diǎn)【選項(xiàng)】進(jìn)入界面；

（5）在界面【選項(xiàng)】里面勾選【顯示公式】和【顯示 R均方差】，即可。

完成圖中除直接標(biāo)出散點(diǎn)和線型外，同時(shí)標(biāo)出一元一次的線性方程。

電腦擬合公式為：R28＝26.206－18.612(B/W) 與列表計(jì)算的十分接近，但兩者的計(jì)算過(guò)程相比后者要簡(jiǎn)單多了，即使對(duì)幾千或數(shù)萬(wàn)對(duì)的（Xi，Yi）試驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸方程擬合，也就是上面的幾個(gè)步驟，就可在很短時(shí)間內(nèi)，得到你要擬合的一元回歸方程，并能同時(shí)得到你要檢驗(yàn)的回歸方程與理論曲線的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)方差值 R2，大小與相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)r值相同，可視為相關(guān)關(guān)系很好。

圖3　電腦計(jì)算擬合 B 公式小直線圖

以上是以筆者在商品混凝土近二十幾年技術(shù)工作中，積累的部分膠水比與強(qiáng)度的樣本的子樣數(shù)據(jù)（Xi，Yi），并用列表和電腦分別擬合的 B 公式。僅27組數(shù)據(jù)對(duì)，樣本很小，有可能受積累數(shù)據(jù)的局限性，影響公式的合理性，應(yīng)盡可能接近事件的母體，從更大范圍收集數(shù)據(jù)，用更大的樣本擬合B公式似乎更具合理些。列寧還說(shuō)過(guò)“要從事實(shí)的整體，從事實(shí)之間的聯(lián)系中去掌握事實(shí)……如果不是從整體上，不是從聯(lián)系中去掌握事實(shí)，如果事實(shí)是零碎的和隨意挑出來(lái)的，那么它們就只能是一種兒戲，或者連兒戲也不如?！本褪菑?qiáng)調(diào)要從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)的整體﹙稱(chēng)為“母體”﹚或更大數(shù)據(jù)中去尋求事實(shí)的規(guī)律才更有說(shuō)服力。為此，筆者以十年來(lái)《商品混凝土》雜志發(fā)表的論文為基礎(chǔ)，收集水膠比與強(qiáng)度數(shù)據(jù)子樣（Xi，Yi）249對(duì)。這其中有你、有我、也有他（她），可以說(shuō)是業(yè)內(nèi)各位專(zhuān)家學(xué)者同行十幾年的共同積累，雖不能稱(chēng)之為總體，甚至也說(shuō)不成是大樣本，但在現(xiàn)有條件下與27對(duì)子樣的樣本相比，是相對(duì)的較大樣本了?，F(xiàn)在以此249個(gè)的膠水比為自變量（X）28天抗壓強(qiáng)度為因變量（Y），用電腦重新擬合的大樣本保羅米公式，試看其與小樣本和規(guī)范及實(shí)際統(tǒng)計(jì)的差別（為了區(qū)別標(biāo)注 B 公式大與 B 公式?。?，結(jié)果如下：

3.4.2“大樣本”的 B 公式電腦擬合

對(duì)比小樣本中的式（22）小、（24）、（25）數(shù)據(jù)，與用較大樣本建立的B公式大相比基本一致。常數(shù)項(xiàng)回歸系數(shù)K1，K2的偏差都不足2%。對(duì) Y28估算和 B/W 的估算值計(jì)算沒(méi)有影響。從大小兩 B 公式對(duì)估計(jì)值計(jì)算的比較，自然是大樣本的 B 公式大具有更大的覆蓋率。兩者的相關(guān)系數(shù)相比，B 公式大的 R2＝0.9419；B 公式小的 R2＝0.9587，數(shù)字相比有少許差別，查自由度 γ＝249－2＝247，臨界值 γn＝0.1615。現(xiàn)｜γ｜＝0.9419＞＞0.1615，∴方程式（26）大與式（22）小都屬于特別顯著。

3.4.3以3.2C30為例分析混凝土 R28隨機(jī)變量分布的特征

從表5中，列出249個(gè)以水膠比為自變量（X）和28天抗壓強(qiáng)度為因變量（Y）原始數(shù)據(jù)的目的，借以觀察混凝土抗壓強(qiáng)度的不確定性數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)：在給定水膠比條件下，對(duì)應(yīng)的并非一個(gè)且并不相同。如表中給定 W/B＝0.46的條件下，序號(hào)123～145中為水膠比皆為0.46的混凝土抗壓強(qiáng)度值有24個(gè)，，與 C30用式（26）計(jì)算的 C30＝38.2MPa 相差甚少，且為正態(tài)分布，曲線略有點(diǎn)偏，這是因?yàn)闃颖拘。h(yuǎn)沒(méi)達(dá)到接近母體要求的原因，抗壓強(qiáng)度值均方差為 σ＝2.94MPa。

圖4　電腦計(jì)算擬合 B 公式大直線圖

表5　“大樣本”的采集

序號(hào)W/BB/W強(qiáng)度序號(hào)W/BB/W強(qiáng)度序號(hào)W/BB/W強(qiáng)度序號(hào)W/BB/W強(qiáng)度330.6001.66724.5960.4702.12838.61590.4402.27342.52220.3402.94166.4340.6001.66728.0970.4702.12836.51600.4302.32639.52230.3303.03068.5350.6001.66725.4980.4702.12838.21610.4302.32644.02240.3303.03072.3360.5901.69523.8990.4702.12836.81620.4302.32643.52250.3303.03059.6370.5801.72428.21000.4702.12837.51630.4302.32642.62260.3203.12558.2380.5701.75427.41010.4702.12836.81640.4302.32642.12270.3203.12557.6390.5601.78631.91020.4702.12839.71650.4302.32640.22280.3203.12558.4400.5501.81831.21030.4702.12840.91660.4302.32638.22290.3203.12559.7410.5501.81832.51040.4702.12836.51670.4302.32642.72300.3203.12565.8420.5501.81828.91050.4702.12840.11680.4302.32642.52310.3103.22668.6430.5401.85233.41060.4702.12837.81690.4202.38143.72320.3103.22670.5440.5401.85230.71070.4702.12835.91700.4202.38144.02330.3103.22662.8450.5401.85232.31080.4702.12849.51710.4202.38148.52340.3103.22665.8460.5401.85235.11090.4702.12836.81720.4202.38145.12350.3103.22672.8470.5401.85232.71100.4702.12838.71730.4202.38144.82360.3103.22663.2480.5401.85234.91110.4702.12836.81740.4202.38145.62370.3103.22662.2490.5301.88728.71120.4702.12835.71750.4202.38147.22380.3003.33367.9500.5301.88729.51130.4702.12838.41760.4202.38141.22390.3003.33365.8510.5301.88732.11140.4702.12833.41770.4202.38140.62400.3003.33365.8520.5301.88734.71150.4702.12838.01780.4102.43942.92410.3003.33363.1530.5201.92329.21160.4702.12842.11790.4102.43946.02420.3003.33365.8540.5201.92329.61170.4702.12841.81800.4002.50044.42430.2903.44865.9550.5201.92327.81180.4702.12840.41810.4002.50045.32440.2903.44868.2560.5101.96133.21190.4702.12834.71820.4002.50047.62450.2903.44866.2570.5101.96130.81200.4702.12840.31830.4002.50044.92460.2903.44874.1580.5101.96129.51210.4702.12835.21840.4002.50045.22470.2903.44872.8590.5101.96133.81220.4702.12838.11850.4002.50046.72480.2703.70478.2600.5101.96133.81230.4602.17442.21860.3902.56446.82490.2703.70472.6610.5101.96135.11240.4602.17435.01870.3902.56445.2620.5101.96132.11250.4602.17435.51880.3902.56446.6630.5101.96128.31260.4602.17434.01890.3902.56450.0

圖5　C30強(qiáng)度正態(tài)分布

圖5平均值37.8MPa 出現(xiàn)的概率最高約為50%。

3.5B 公式的擬合可以用水膠（灰）比近似成反比嗎？

瑞典科學(xué)家保羅米在170多年前將美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的達(dá)夫?阿勃萊姆斯﹙Duff·Abrams﹚教授建立的混凝土強(qiáng)度與其水灰比成雙曲線函數(shù)關(guān)系的A定則，簡(jiǎn)化為成的線性關(guān)系，從而使A定則的應(yīng)用更為簡(jiǎn)單，這無(wú)疑是個(gè)進(jìn)步。但自然會(huì)聯(lián)想到，把阿波萊姆斯用的強(qiáng)度因子水灰比改為灰水比的做法有這個(gè)必要嗎？這與習(xí)慣應(yīng)用的水灰比，似乎多一層麻煩。因此，B 公式也許還可以用另一種形式。那就是混凝土強(qiáng)度與水灰比是否可成反比的一元線性回歸方程？方法同上，直接以水膠比為自變量（Xi）與對(duì)應(yīng)強(qiáng)度為因變量（Yi）列表，用上述電腦擬合的步驟得到。

混凝土強(qiáng)度與水膠比成反比的公式擬合結(jié)果見(jiàn)圖6。

圖6　混凝土強(qiáng)度與水膠比成反比的數(shù)學(xué)模型

從電腦繪制出的散點(diǎn)圖看，斜直線穿過(guò)水膠比散點(diǎn)的較少，兩端的散點(diǎn)在斜直線的以上（低強(qiáng)和高強(qiáng)混凝土的強(qiáng)度估計(jì)值較實(shí)際偏低），相關(guān)性檢驗(yàn)值也從0.9419降到0.9149，說(shuō)明混凝土強(qiáng)度與水膠比近似成反比的公式覆蓋率相對(duì)較低，與直線的相關(guān)性沒(méi)有與膠水比成正比的高。為驗(yàn)證其用性，試用3.2C30泵送混凝土用式（17）估算的 W/ B＝0.46比較，式（30）估算 C30水膠比：W/B＝(103.05-38.22)/134.72＝0.48，用式（17）和式（30）估算 C30水膠比，顯然兩者的水膠比估算（W/B）相差較大，表明：

（1）混凝土強(qiáng)度與膠（灰）水比近似成正比的一元線性回歸B公式比用強(qiáng)度與水膠（灰）比近成反比的一元線性回歸更貼近實(shí)際。保羅米之所以認(rèn)為混凝土強(qiáng)度與膠（灰）水比近似成正比，而沒(méi)用混凝土強(qiáng)度與水膠（灰）比近似成反比是經(jīng)過(guò)慎重驗(yàn)證的，不是別出心裁。

（2）強(qiáng)度—水膠（灰）比近似成反比的一元線性回歸方程，相關(guān)性有少許差別，但仍不失為相關(guān)性特別顯著。因此，可稱(chēng)為混凝土強(qiáng)度與灰（膠）水比近似成正比，也可稱(chēng)之為混凝土強(qiáng)度與水灰（膠）比近似成反比，但在配合比設(shè)計(jì)應(yīng)用中，混凝土強(qiáng)度與仍以水膠比成正比更貼近實(shí)際。另外，從歷史的源頭回顧這一結(jié)論，深感前人對(duì)科學(xué)的嚴(yán)緊態(tài)度很值得尊敬、學(xué)習(xí)。

3.6B 公式仍可用于現(xiàn)代混凝土

A 定則—B 公式提出的100多年來(lái)，是被混凝土實(shí)踐證明了的符合生產(chǎn)實(shí)際的，并為已往混凝土的生產(chǎn)、技術(shù)發(fā)展和提高帶來(lái)應(yīng)有的理論依據(jù)。但對(duì)普遍使用高效減水劑和大摻量礦物細(xì)粉料的現(xiàn)代混凝土，原來(lái)的水灰比已改為水膠比的今天，它還能用于指導(dǎo)現(xiàn)代混凝土研究和配合比設(shè)計(jì)的嗎？這是值得深入探討的問(wèn)題。為此，我們以 B 公式（26）估算各強(qiáng)度等級(jí)混凝土的水膠比與現(xiàn)代普通商品混凝土實(shí)際生產(chǎn)常用的水膠比作比較，試看表6。

表6　B 公式 ﹙26) 估算水膠比與實(shí)際生產(chǎn)的水膠比的對(duì)比

用 B 公式估算的普通商品混凝土各強(qiáng)度等級(jí)的 W/B，在C20～C55（W/B＝0.57～0.31）范圍內(nèi)與王元[8]對(duì)遼寧省百余家商品混凝土企業(yè)調(diào)查統(tǒng)計(jì)后，用1000多組水膠比與強(qiáng)度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果 十分接近。也與筆者在近二十年中，從事商品混凝土技術(shù)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致。說(shuō)明：

（1）B 公式雖誕生于170余年前的干硬性、塑性的四組分混凝土，對(duì)于今天的流動(dòng)性、大流動(dòng)性的多組分混凝土的配合比設(shè)計(jì)與生產(chǎn)技術(shù)管理，仍有現(xiàn)實(shí)的理論指導(dǎo)意義，可直接用于現(xiàn)代普通商品混凝土配合比設(shè)計(jì)，不代入水泥強(qiáng)度及粉煤灰礦粉影響系數(shù)，亦可求出所要求配制強(qiáng)度的水膠比估計(jì)值；

（2）混凝土強(qiáng)度在 C20～C50范圍內(nèi)估算值與試驗(yàn)值基本－致，只是在 C10～C15和＞C50時(shí)，B 公式計(jì)算的W/B和 R28略有偏差，但均未超過(guò)5%。根據(jù)這一特點(diǎn)，在試驗(yàn)時(shí)對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整即可。另外，B公式對(duì)現(xiàn)代多組分混凝土應(yīng)用范圍不是縮小，而是進(jìn)一步擴(kuò)大，不再是早年認(rèn)為的（C20～C40）B/W＝1.5～2.5，而是1.43～3.45。說(shuō)明 A 定則—B 公式隨時(shí)代的科技發(fā)展不是失去實(shí)用意義，而是進(jìn)一步擴(kuò)大適用范圍，對(duì)現(xiàn)代混凝土發(fā)展仍有較強(qiáng)的理論指導(dǎo)意義。究其原理是：保羅米是把灰水比—混凝土強(qiáng)度的關(guān)系，近似簡(jiǎn)化成直線關(guān)系的數(shù)學(xué)摸型，建立在大量試驗(yàn)建立的線型數(shù)模和對(duì)不確定性數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)上的，在理論上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

（3）筆者擬合的 B 公式計(jì)算出的 C20～C50混凝土 R28和 W/B 估計(jì)值，之所以與遼寧省建科院王元根據(jù)1000多組調(diào)查得出的統(tǒng)計(jì)值殊途同歸，完全一致絕不是偶然的巧合，它是反映當(dāng)前我國(guó)南北方商品混凝土的整體水平，具有一定的客觀現(xiàn)實(shí)性，不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移。這也說(shuō)明 B 公式有其應(yīng)用上的普適性。

（4）對(duì)最常用的 C25、C30的引氣型混凝土用式（29）估算 W/B 與表中 ACI 推薦的 W/B 十分接近（特別是最常用的 C25、C30），差別主要在于樣本取于不同的國(guó)家和年代以及 B 公式與 A 定則本來(lái)就是近似關(guān)系有關(guān)。

4　小結(jié)

（1）B 公式是對(duì) A 定則的簡(jiǎn)化，兩者沒(méi)有質(zhì)的區(qū)別。時(shí)代的發(fā)展、混凝土的科技進(jìn)步、高效減水劑和礦物摻合料等的應(yīng)用，都可在其樣本子樣（Xi，Yi）中得以反映，改變的是兩回歸系數(shù)，而 A 定則—B 公式的數(shù)學(xué)表達(dá)形式?jīng)]有變化，仍可用于現(xiàn)代混凝土的配合比設(shè)計(jì)，有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義；

（2）A 定則—B 公式是人類(lèi)對(duì)混凝土認(rèn)識(shí)從感性到理性進(jìn)步的重要標(biāo)志，他們的貢獻(xiàn)應(yīng)給予充份肯定。但隨實(shí)踐、認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)的不斷循環(huán)往復(fù)與發(fā)展，人們對(duì)混凝土強(qiáng)度的認(rèn)識(shí)總是希望有所發(fā)現(xiàn)發(fā)展，認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)停留在一個(gè)層面上，A 定則—B 公式出現(xiàn)新的演變是必然的。

[8] 王元．減水劑的應(yīng)用對(duì)使用水灰比定則的影響[J]．商品混凝土，2013(3):1-6．

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王永逵（1934—），前蘭州鐵道學(xué)院土木系建材室主任。