李 晶

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

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磁場中矩形薄板的非線性內(nèi)共振響應(yīng)

李 晶

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

給出了橫向磁場作用下矩形薄板的磁彈性振動方程，針對一邊固定、三邊簡支的矩形薄板，通過位移模態(tài)展開，并利用Galerkin法得到兩自由度內(nèi)共振非線性振動微分方程組。算例分析中，利用數(shù)值方法得到了系統(tǒng)內(nèi)共振時兩階模態(tài)的時間歷程響應(yīng)圖和相平面圖，并分別討論了系統(tǒng)初值及磁場強(qiáng)度對系統(tǒng)振動的影響。結(jié)果表明，系統(tǒng)呈現(xiàn)明顯的非線性內(nèi)共振特征。

導(dǎo)電矩形薄板；內(nèi)共振；磁場

0 引言

矩形薄板結(jié)構(gòu)在船舶制造、水利電力工程、空間站和航空航天領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，而這些結(jié)構(gòu)通常處在機(jī)械荷載、電、磁等多種效應(yīng)相互作用中，因此研究薄板在大變形情況下的復(fù)雜耦合動力學(xué)問題是十分必要的。許多學(xué)者在電磁彈性力學(xué)領(lǐng)域展開了研究，鄭曉靜等推導(dǎo)了導(dǎo)電鐵磁梁式板的基本方程，討論了電導(dǎo)率等參數(shù)以及支承條件對振動頻率的影響[1]；胡宇達(dá)等給出了橫向磁場環(huán)境中導(dǎo)電薄板的非線性磁彈性振動方程，分析了系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)問題，并建立了軸向運(yùn)動導(dǎo)電薄板磁彈性耦合動力學(xué)理論模型[2-3]。近些年，隨著現(xiàn)代非線性動力學(xué)理論的發(fā)展及數(shù)值計(jì)算手段的不斷提高，許多學(xué)者利用平均法、多尺度法、攝動法、多元L-P法等解析方法研究了系統(tǒng)的非線性振動、局部和全局分岔及混沌動力學(xué)。Anlas等在1∶1內(nèi)共振和橫向簡諧激勵情況下，利用多尺度法研究了簡支矩形金屬板的非線性振動[4]；Tekin等運(yùn)用多重尺度法研究了具有三次非線性項(xiàng)的多階梯梁的3∶1內(nèi)共振及穩(wěn)定性問題[5]。本文將針對橫向恒定磁場環(huán)境中一邊固定、三邊簡支的矩形導(dǎo)電薄板，給出非線性磁彈性振動微分方程，采用伽遼金法得到矩形薄板無量綱化的達(dá)芬型非線性振動微分方程組，并利用數(shù)值方法分析其內(nèi)共振特性。

1 一邊固定、三邊簡支矩形板的振動微分方程

圖1為橫向恒定磁場B0(0，0，B0z)環(huán)境中的一矩形薄板。

圖1 橫向恒定磁場中的矩形薄板

薄板沿x方向和y方向的幾何尺寸分別為a和b，板厚為h，不受外激勵作用，考慮機(jī)械場與電磁場的相互耦合作用，根據(jù)虛功原理，只考慮橫向變形，并將中面內(nèi)力、彎曲內(nèi)力、電磁力矩相應(yīng)的表達(dá)式[6]代入振動方程[7]中，忽略轉(zhuǎn)動慣性力的影響，可得到橫向磁場中矩形薄板關(guān)于撓度w的非線性磁彈性振動微分方程：

(1)

對于一邊固定、三邊簡支的矩形薄板，邊界條件為：

(2)

考慮系統(tǒng)前兩階模態(tài)，若系統(tǒng)二階模態(tài)的固有頻率近似等于一階模態(tài)固有頻率的3倍，可發(fā)生1∶3內(nèi)共振。采用分離變量法，把時間變量和空間變量進(jìn)行分離，設(shè)滿足邊界條件的位移解為：

(3)

將位移函數(shù)(3)代入式(1)中，采用伽遼金法進(jìn)行積分，并進(jìn)行簡化整理，得到矩形薄板無量綱化的橫向振動微分方程組：

(4)

ηni=ai1Bni+ai2Dni+ai3Fni+ai4Hni，

si1=ai1(S1i+2K1i)+ai2(S2i+2K2i)+ai3(S3i+2K3i)-3ai4Q1i，

si2=ai1(S4i+2K4i)+ai2(S5i+2K5i)+ai3(S6i+2K6i)-3ai4Q2i，(i=1，2；n=1，2)。

所研究模型的一階模態(tài)的固有頻率和二階模態(tài)的固有頻率之間滿足ω2≈3ω1的關(guān)系，為了討論系統(tǒng)的內(nèi)共振響應(yīng)特性，直接對矩形薄板的橫向振動微分方程組進(jìn)行求解。

2 算例分析

對于處于橫向恒定磁場中的鋁制矩形導(dǎo)電薄板，給定主要參數(shù)：電導(dǎo)率σ=3.63×107(Ω·m)-1，密度ρ=2 670 kg/m3，泊松系數(shù)v=0.34，彈性模量E=71 GPa，板長b=1.2 m，板寬a=0.6 m，厚度h=6 mm。對于所給算例，利用Matlab對無量綱化的振動微分方程組(4)進(jìn)行數(shù)值求解。

當(dāng)磁場強(qiáng)度為零時阻尼項(xiàng)為零，系統(tǒng)做自由振動，圖2為系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)圖，分別給出了一階模態(tài)、二階模態(tài)隨時間變化的曲線圖以及一階模態(tài)和二階模態(tài)的相圖?？梢钥闯鲆浑A模態(tài)和二階模態(tài)均未衰減，仍做周期運(yùn)動，且二階模態(tài)的振動頻率約為一階模態(tài)振動頻率的3倍。但此時的系統(tǒng)響應(yīng)與單自由度系統(tǒng)自由振動下的響應(yīng)有明顯區(qū)別，原因就在于此時系統(tǒng)產(chǎn)生了內(nèi)共振現(xiàn)象，兩階模態(tài)間存在著能量的交換。

(a)時程圖

(b)一階模態(tài)相圖

(c)二階模態(tài)相圖圖2 系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)圖

圖3是將一階模態(tài)和二階模態(tài)振動的極大值找到，繪制出的極值隨時間變化的曲線關(guān)系圖。從圖中可以看出，一階模態(tài)和二階模態(tài)在振動過程中確實(shí)出現(xiàn)了相互耦合的現(xiàn)象，說明系統(tǒng)產(chǎn)生了明顯的內(nèi)共振現(xiàn)象。

圖3 模態(tài)極值隨時間變化的曲線圖

對于有阻尼系統(tǒng)，采用數(shù)值方法分析系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振時前兩階振動模態(tài)的變化特性，討論磁場強(qiáng)度對模態(tài)振幅的影響。

(a)一階模態(tài)時程圖

(b)一階模態(tài)相平面圖

(c)二階模態(tài)時程圖

(d)二階模態(tài)相平面圖圖4 系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)圖(B0z=1 T)

(a)一階模態(tài)時程圖

(b)一階模態(tài)相平面圖

(c)二階模態(tài)時程圖

(d)二階模態(tài)相平面圖圖5 系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)圖(B0z=1.2 T)

(a)一階模態(tài)時程圖

(b)一階模態(tài)相平面圖

圖4至圖6給出了自由振動系統(tǒng)在給定初始值q10=q20=0.2時，不同磁場強(qiáng)度下兩階模態(tài)q1和q2隨時間的變化圖和相平面圖?？梢钥闯鲈陔姶艌霏h(huán)境中，阻尼項(xiàng)取決于磁場強(qiáng)度，系統(tǒng)兩階模態(tài)在磁場作用下均呈現(xiàn)自由衰減態(tài)勢，并逐漸衰減為零，一、二階模態(tài)在衰減過程中仍然存在著能量交換，且二階模態(tài)的衰減速度快于一階模態(tài)的衰減速度。磁場強(qiáng)度越大，兩階模態(tài)的時程和相平面的收斂速度越快。

(c)二階模態(tài)時程圖

(d)二階模態(tài)相平面圖圖6 系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)圖(B0z=1.5 T)

3 結(jié)論

本文根據(jù)橫向磁場中矩形導(dǎo)電薄板的磁彈性振動方程導(dǎo)出了矩形薄板無量綱化的橫向振動微分方程組。通過數(shù)值算例，利用數(shù)值方法求解了系統(tǒng)的內(nèi)共振問題。結(jié)果表明：系統(tǒng)能量在兩個振動模態(tài)之間不斷地交換，體現(xiàn)出1∶3內(nèi)共振特性。有阻尼時，系統(tǒng)的前兩階振動模態(tài)呈現(xiàn)出耦合衰減的趨勢且隨磁場強(qiáng)度的增強(qiáng)而加速衰減。

[1] 鄭曉靜，劉信恩.鐵磁導(dǎo)電梁式板在橫向均勻磁場中的

動力特性分析[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，21(3)：243-250.

[2]HuYD，LiJ.Themagneto-elasticsubharmonicresonanceofcurrent-conductingthinplateinmagneticfiled[J].JournalofSoundandVibration，2009，319(3-5)：1107-1120.

[3] 胡宇達(dá).軸向運(yùn)動導(dǎo)電薄板磁彈性耦合動力學(xué)理論模型[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34(4)：417-425.

[4]AnlasG，ElbeyliO.Nonlinearvibrationsofasimplysupportedrectangularmetallicplatesubjectedtotransverseharmonicexcitationinthepresenceofaone-to-oneinternalresonance[J].NonlinearDynamics，2002，30(1)：1-28.

[6] 胡宇達(dá).傳導(dǎo)薄板在磁場環(huán)境中的非線性磁彈性振動問題[J].工程力學(xué)，2001，18(4)：89-94.

[7] Амбарцумян С А，Багдасарян Г Е，Белубекян М В.Магнитоупругость тонких оболочек и пластин[M].Москва：Наука，1977：146-199.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

On the Nonlinear Internal Resonance of Rectangular Thin Plate in Magnetic Field

LI Jing

(Department of Basic Science Teaching， Tangshan University， Tangshan 063000， China)

The author of this paper has deduced the magnetoelastic vibration equation of the rectangular thin plate in transverse magnetic field. With Galerkin and through displacement mode expansion， the author has also acquired the differential equations of the two-DOF internal resonance nonlinear vibration in relation to a rectangular thin plate with one side fixed and three other sides simply supported. The author has obtained the two-order mode time history response diagram and phase plan under the internal vibration of the system through the analysis of samples and with numerical method， and discussed the initial value of the system and the influence of magnetic field intensity on the vibration. The results show that the system exhibits the characteristics of obvious nonlinear internal resonance.

rectangular current-conducting thin plate； internal resonance； magnetic field

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11472239)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2015105073)；唐山市科技計(jì)劃項(xiàng)目(15130262a)

李晶(1981-)，女，河北唐山人，講師，碩士，主要從事非線性磁彈性振動研究。

O322；O442

A

1672-349X(2016)06-0001-05

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2016.06.001