向 玲, 賈 軼, 高雪媛, 邸薇薇, 李媛媛

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，保定 071003)

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間隙對(duì)齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)的影響分析

向 玲, 賈 軼, 高雪媛, 邸薇薇, 李媛媛

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，保定 071003)

綜合了動(dòng)態(tài)側(cè)隙、齒面摩擦、齒輪偏心及時(shí)變嚙合剛度等因素，建立了齒輪-轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)分析動(dòng)態(tài)側(cè)隙及軸承間隙對(duì)系統(tǒng)的影響來(lái)探究軸承端與齒輪端振動(dòng)之間的耦合作用關(guān)系。結(jié)果表明：相對(duì)于無(wú)間隙系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)側(cè)隙下軸承端的徑向振動(dòng)在高速區(qū)較為強(qiáng)烈，而齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)在整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)幅度較大，隨轉(zhuǎn)速變化時(shí)系統(tǒng)提前通過(guò)非線性跳躍進(jìn)入主共振區(qū)。動(dòng)態(tài)側(cè)隙的改變對(duì)軸承端的振動(dòng)影響不大，但對(duì)扭振作用明顯；軸承間隙的大小對(duì)系統(tǒng)徑向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有著顯著影響，隨著軸承間隙的變化，兩者的時(shí)域特征及頻譜存在著規(guī)律性的變化；另外，軸承間隙直接影響著動(dòng)態(tài)側(cè)隙的大小。分析結(jié)果對(duì)含間隙齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究具有重要的理論與工程價(jià)值。

動(dòng)態(tài)側(cè)隙；彎扭耦合；軸承間隙；偏心；嚙合剛度

齒輪系統(tǒng)是機(jī)械系統(tǒng)的重要組成部分，長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行了各種各樣的理論和實(shí)驗(yàn)研究，也不斷揭示了齒輪系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)理及存在的一些復(fù)雜的非線性現(xiàn)象。其中KAHRAMAN[1-2]通過(guò)建立多樣化的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)含間隙齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了一系列深入的研究，為后續(xù)學(xué)者進(jìn)行相關(guān)研究奠定了理論基礎(chǔ)。MORADI[3]等利用多尺度法研究分析了設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)齒輪非線性系統(tǒng)主共振、超諧和次諧共振的影響。LI等[4]研究了輪齒表面粗糙度，潤(rùn)滑溫度及其他工況參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，結(jié)果表明這些因素對(duì)系統(tǒng)的彎扭耦合振動(dòng)及動(dòng)態(tài)嚙合起著重要作用。FARSHIDIANFAR等[5]建立了含齒側(cè)間隙和徑向間隙的動(dòng)力學(xué)模型，著重分析研究了齒輪系統(tǒng)的混沌和分岔現(xiàn)象。高洪波等[6]綜合考慮了動(dòng)態(tài)側(cè)隙、偏心及摩擦等因素著重研究了齒輪全齒磨損和偏心磨損下系統(tǒng)的振動(dòng)特性。李朝峰等[7]建立了含齒輪偏心及軸承非線性的齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型，并分析了各設(shè)計(jì)參量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響，但該模型中并沒(méi)有考慮嚙合剛度的時(shí)變性、齒側(cè)間隙以及齒面摩擦的作用。

本文基于上述研究，綜合考慮了動(dòng)態(tài)側(cè)隙、齒輪偏心、軸及軸承等非線性因素，建立了齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真分析。著重研究了齒側(cè)間隙、軸承間隙對(duì)系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)特性的影響及兩者的耦合作用關(guān)系。

1 動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為動(dòng)態(tài)條件下齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承傳動(dòng)系統(tǒng)的集中質(zhì)量模型，各軸承部分幾何坐標(biāo)原點(diǎn)為A、B、C、D。主/從動(dòng)齒輪的理想中心O和O’均位于軸承孔的理想中心線上，按圖示主坐標(biāo)系(x,y,z)的方向可得到各軸承及齒輪的固定坐標(biāo)系。Oi,Gi(i= 1,2)分別為主從動(dòng)齒輪的形心和質(zhì)心。兩軸與各相應(yīng)軸承的集中質(zhì)量部分對(duì)應(yīng)的當(dāng)量質(zhì)量為mbi(i= 1,2,3,4)。主/從動(dòng)齒輪的質(zhì)量為mi(i= 1,2)，對(duì)應(yīng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ji(i= 1,2)。系統(tǒng)輸入端電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子及輸出端負(fù)載轉(zhuǎn)子對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm、Jp。

假設(shè)不考慮齒輪的軸向竄動(dòng)，在xoy平面上，現(xiàn)設(shè)主、從動(dòng)齒輪的形心坐標(biāo)為O1(x1,y1),O2(x2,y2)，對(duì)應(yīng)的質(zhì)心坐標(biāo)為G1(xo1,yo1)),G2(xo2,yo2)，偏心距O1G1=ρ1,O2G2=ρ2。主/從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為φ1,φ2，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)角位移分別為θ1,θ2。設(shè)主從動(dòng)輪的初始旋轉(zhuǎn)角均為0。以主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，則由幾何關(guān)系可得

(1)

圖1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of gear transmission system

另設(shè)軸承旋轉(zhuǎn)中心的位移坐標(biāo) (xbi,ybi) (i= 1,2,3,4)，根據(jù)軸的變形協(xié)調(diào)條件可知，主被動(dòng)軸在兩齒輪旋轉(zhuǎn)中心位置x,y方向的彈性變形大小可表示為

(2)

式中:ξ1=lbi/lj(i= 1,2,j= 2;i= 3,4,j= 2)，如圖1中所示，l1,l2為主從動(dòng)軸在兩軸承間的長(zhǎng)度；lbi(i= 1,2,3,4)為主從動(dòng)軸上齒輪旋轉(zhuǎn)中心到相應(yīng)軸承質(zhì)心的距離。由系統(tǒng)的幾何關(guān)系可得，在某個(gè)嚙合時(shí)刻輪齒的嚙合力如式(3)；f(…)為間隙性非線性函數(shù)。

DTE=rb1φ1-rb2φ2+y2-y1+ρ2sinφ2-ρ1sinφ1

(3)

1.1 摩擦力及摩擦力矩

齒面摩擦力可由齒輪嚙合的動(dòng)態(tài)嚙合力得到，如式(4)，其中，λi,μi分別為摩擦力方向系數(shù)和時(shí)變摩擦系數(shù)，對(duì)于λi，嚙合點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)以上取“+1”，反之則取“-1”。

(4)

對(duì)于μi，其大小隨嚙合位置作周期變化，為了接近現(xiàn)實(shí)，本文采用經(jīng)典的Buckingham半經(jīng)驗(yàn)公式[8]：

(5)

其中Vsi為齒廓接觸點(diǎn)的相對(duì)滑動(dòng)速度，由文獻(xiàn)[8]可知

Vsi=w1×S1i-w2×S2i

(6)

式中:S1i,S2i為齒對(duì)i之間的摩擦力對(duì)齒輪1、齒輪2的摩擦力臂，由圖1(c)可知，w1,w2分別為兩齒輪的角速度；對(duì)于S1i/S2i，當(dāng)i=1時(shí)為K1N1/K1N2，當(dāng)i=2時(shí)為K2N1/K2N2；當(dāng)0<ε<1, 力臂可表示為

(7)

式中:ra1,ra2為主從動(dòng)輪的齒頂高半徑，t1為一個(gè)雙齒嚙合時(shí)間，Pb為基圓節(jié)距，α為壓力角。

1.2 動(dòng)態(tài)側(cè)隙

齒輪安裝時(shí)要留有一定的齒側(cè)間隙，其隨著齒輪中心距或齒厚的變化而變化，當(dāng)齒輪系統(tǒng)由于軸承振動(dòng)或偏心引起中心距變化時(shí)，齒側(cè)間隙可表示為:

b=2b0+2a0cosα0(tanα′-tanα0+α0-α′)

α′=arccos(a0cosα0/a′)

a′=

(8)

式中:a0,α0為初始中心距和壓力角，a’,α’為實(shí)際嚙合過(guò)程中的中心距和壓力角，b0為初始單邊齒側(cè)間隙，這樣動(dòng)態(tài)嚙合力式(3)中的非線性函數(shù)表示為

(9)

1.3 時(shí)變嚙合剛度

在直齒輪傳動(dòng)時(shí)，輪齒的變形及剛度均作周期變化且存在突變；有不少研究將嚙合剛度近似為矩形波或傅里葉級(jí)數(shù)的形式，但與實(shí)際結(jié)果存在一定差異，本文采用文獻(xiàn)[9]的能量法并結(jié)合文獻(xiàn)[10]的修正法進(jìn)行計(jì)算。這里僅給出一對(duì)齒綜合嚙合剛度的計(jì)算公式：

k=

(10)

各參數(shù)的定義及計(jì)算公式詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9-10]。當(dāng)兩對(duì)齒同時(shí)參與嚙合時(shí)，另一對(duì)齒的嚙合剛度計(jì)算同上式，將兩對(duì)齒嚙合剛度相加即為齒輪副的綜合嚙合剛度。為了后續(xù)分析，這里給出經(jīng)計(jì)算得到的一個(gè)嚙合周期內(nèi)的時(shí)變剛度曲線(圖2)，齒輪參數(shù)如表1所示。

圖2 時(shí)變嚙合剛度Fig.2 Time-varying mesh stiffness

1.4 非線性軸承力模型

圖3為滾動(dòng)軸承模型示意圖，假定軸承的內(nèi)圈與旋轉(zhuǎn)軸、外圈與軸承座均為剛性連接，滾動(dòng)體等間距排列且與滾道之間為純滾動(dòng)。軸承變形主要是滾珠和滾道的接觸變形。

圖3 滾動(dòng)軸承模型Fig.3 Rolling bearing model

圖3中第j個(gè)滾珠與滾道的法向接觸變形可表示為

δj=xbcosφj+ybsinφj-r0

(11)

式中:xb,yb分別為內(nèi)圈中心在x,y方向的振動(dòng)位移，r0為滾動(dòng)軸承間隙，φj為第j個(gè)滾珠的位置角。軸承的非線性力可由軸承運(yùn)動(dòng)學(xué)和赫茲基理論推得[11]。

(12)

式中:nb為滾珠個(gè)數(shù)；Kc為赫茲接觸剛度系數(shù)；H(x)為Heaviside函數(shù)，當(dāng)x>0，該函數(shù)返回值為1，反之，返回值為0，其反映著接觸變形與接觸力的關(guān)系。

根據(jù)以上分析，進(jìn)一步引入系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣[φmx1y1φ1x2y2φ2xb1yb1xb2yb2xb3yb3xb4yb4φb]T，求得系統(tǒng)的動(dòng)能，勢(shì)能和耗散函數(shù)，根據(jù)拉格朗日方程可得系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，如式(13)。

式中xi,yi為主/從動(dòng)輪沿x,y方向的振動(dòng)位移；xbi,ybi則對(duì)應(yīng)主/從動(dòng)軸軸承在x,y方向的振動(dòng)位移；ksi,kti(i=1,2)分別為輸入軸和輸出軸的彎曲剛度和和扭轉(zhuǎn)剛度；csi,cti(i=1,2)則對(duì)應(yīng)軸的彎曲阻尼和扭轉(zhuǎn)阻尼；cbxi,cbyi(i=1,2,3,4)為軸承的徑向阻尼；Fbxi,Fbyi為軸承的非線性力；M1,M2為輸入端和輸出端扭矩。

2 間隙對(duì)系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)的影響

間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性及嚙合狀態(tài)有著重要影響，有必要對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及各間隙的作用進(jìn)行詳細(xì)分析。因?yàn)椋?13)綜合考慮了時(shí)變剛度和動(dòng)態(tài)側(cè)隙等強(qiáng)非線性因素，方程參數(shù)量級(jí)差別較大，求解時(shí)易出現(xiàn)病態(tài)和不收斂問(wèn)題，因此，采用求解穩(wěn)定性及精度較高的ode15s對(duì)其進(jìn)行求解，首先將方程寫成狀態(tài)方程的形式(降階)，然后設(shè)置求解精度(相對(duì)和絕對(duì)精度均為1.0×10-9)進(jìn)行計(jì)算。系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，軸承均選擇SKF6200，查閱軸承手冊(cè)可得軸承的詳細(xì)參數(shù)。

2.1 齒側(cè)間隙的影響分析

齒側(cè)間隙直接影響著輪齒的嚙合狀態(tài)，為了分析齒側(cè)間隙大小對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律，分別取初始齒側(cè)間隙b0為0 μm，0.05 μm，0.1 μm，并以無(wú)間隙作為對(duì)比對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，此時(shí)主從動(dòng)軸軸承的間隙分別為1 μm，2 μm。

首先在整個(gè)轉(zhuǎn)速內(nèi)分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，圖4是主從動(dòng)軸上軸承(編號(hào)1和3)沿x,y方向振動(dòng)位移、動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差(DTE)隨主動(dòng)軸轉(zhuǎn)頻(f)變化的RMS(均方根值)曲線。從圖中看出，無(wú)間隙時(shí)，系統(tǒng)在f=100(嚙頻fm=1 900) 和f=192(fm=3 648)發(fā)生扭轉(zhuǎn)方向的共振，軸承端在f=100和f=202(fm=3 838)發(fā)生x方向的共振在y方向未發(fā)現(xiàn)共振峰的存在，注意到扭振和軸承端徑向振動(dòng)主共振頻率略有差別。而對(duì)于動(dòng)態(tài)間隙系統(tǒng)，同樣在f=100和f=166處出現(xiàn)了共振峰，且彎振和扭振的峰值頻率基本接近；當(dāng)增大b0時(shí)，峰值及固頻變化微弱。另外，扭振的RMS隨b0增大明顯增大(圖4(a))，同時(shí)動(dòng)態(tài)側(cè)隙也隨之增大(如圖4(f))，但軸承端的徑向振動(dòng)變化較小，說(shuō)明了初始齒側(cè)間隙對(duì)于軸承端振動(dòng)影響較弱。其次，由圖可知，對(duì)于扭振，動(dòng)態(tài)側(cè)隙下的RMS比無(wú)間隙時(shí)大很多，這是因?yàn)閯?dòng)態(tài)側(cè)隙綜合考慮了橫向和徑向振動(dòng)，其促使了扭振的加強(qiáng)，由式(8)也可判斷；而對(duì)于軸承端振動(dòng)，在低速區(qū)，動(dòng)態(tài)側(cè)隙下的均方根值和無(wú)間隙時(shí)相差不大，而在高速區(qū)，前者明顯比后者大，如圖4(b)～圖4(e)所示。總之，相對(duì)于無(wú)間隙模型，動(dòng)態(tài)側(cè)隙在整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的扭振影響顯著，而在高速區(qū)則對(duì)軸承端徑向振動(dòng)影響較大。另外，系統(tǒng)在進(jìn)入主共振區(qū)(第二個(gè)峰值區(qū)域)時(shí)產(chǎn)生了跳躍，這種跳躍并沒(méi)有隨b0的增大而變化，但對(duì)于無(wú)間隙系統(tǒng)，系統(tǒng)在進(jìn)入此區(qū)域時(shí)是連續(xù)的，這側(cè)面反映了間隙的非線性作用。

對(duì)于輪齒的嚙合狀態(tài)，對(duì)比圖5曲線可知，在主共振區(qū)域，無(wú)間隙系統(tǒng)嚙合力的各項(xiàng)指標(biāo)明顯偏大，但共振區(qū)出現(xiàn)滯后；而在其他轉(zhuǎn)速區(qū)域，嚙合力各指標(biāo)相差較小。并且，由圖5(c)可知，在共振區(qū)，有/無(wú)間隙系統(tǒng)均處于雙邊沖擊狀態(tài)，而動(dòng)態(tài)間隙的嚙合力相對(duì)較小，其存在減弱了共振區(qū)的輪齒沖擊；在其他區(qū)域，輪齒處于無(wú)沖擊狀態(tài)，動(dòng)態(tài)側(cè)隙的改變并未影響該狀態(tài)。

(13)

圖4 各參量的RMS曲線Fig.4 RMS curve of all vibration variables

圖5 嚙合力的均方根值、最大值及最小值曲線Fig.5 RMS、Maximum and Minimum curve of dynamic mesh force

進(jìn)一步分析動(dòng)態(tài)側(cè)隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，設(shè)置f=30 Hz，b0=0.1 μm，這里從頻譜的角度進(jìn)行分析。首先確定該工況下各振動(dòng)量的頻率成分，圖6為軸承端徑向振動(dòng)的時(shí)間歷程圖及頻譜圖，以下主/被動(dòng)軸軸承端分別用B1和B2表示。對(duì)于橫向(x)振動(dòng)：B1處以2f1(f1=30 Hz，軸頻)頻率為主，并出現(xiàn)了高倍軸頻、嚙頻(fm=N1*f1=570 Hz)及其二倍頻成分，如圖6(a2)；與之類似，B2處以2f2(f1*N1/N2=11.875 Hz)頻率為主，并出現(xiàn)了fm及其二倍頻成分，如圖6(c2)。對(duì)于縱向(y)振動(dòng)：B1處以2f1頻為主，且存在fm及其倍頻成分，如圖(b2)；B2處以2f2頻為主，且存在fm及其倍頻成分，如圖6(d2)。另外注意到，B1/B2徑向(x,y)振動(dòng)在低頻處的頻帶較寬且連續(xù)，同時(shí)存在其他頻率成分，這應(yīng)該與軸承的非線性有關(guān)。對(duì)于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)：時(shí)域圖(圖7)中可明顯看到?jīng)_擊的存在，且DTE及動(dòng)態(tài)嚙合力(DMF) 的頻帶較寬。

DTE頻譜以fm及其倍頻為主，且存在2f1、2f2及其他隨機(jī)頻率成分(表現(xiàn)為低頻)。DMF頻譜以fm及其倍頻為主，且出現(xiàn)了f1、f2及以其倍頻為頻率間隔的頻率成分，另外也存在一些隨機(jī)頻率成分，總之DMF頻帶的頻率成分較復(fù)雜。

圖6 軸承端徑向振動(dòng)的時(shí)域波形及頻譜Fig.6 Transverse vibration waveform and spectrum diagram of bearing end

圖7 DTE和動(dòng)態(tài)嚙合力的時(shí)域波形及頻譜Fig.7 Waveform and spectrum diagram of DTE and DMF

為了全面了解動(dòng)態(tài)側(cè)隙的作用，圖8給出了各振動(dòng)量隨初始齒側(cè)間隙b0變化的三維頻譜圖。對(duì)比各圖可知，當(dāng)b0變化時(shí)，無(wú)論軸承端的徑向振動(dòng)或是齒輪的扭振，各頻譜中主要頻譜成分沒(méi)有明顯的增減。結(jié)合圖4可知，b0的變化對(duì)于軸承端的振動(dòng)影響并不大。另外，b0對(duì)于扭振 (DTE)幅度有顯著的影響，但對(duì)DMF影響較小，同時(shí)結(jié)合式(3)及式(9)可知，初始側(cè)隙對(duì)動(dòng)態(tài)側(cè)隙系統(tǒng)扭振的影響類似于一個(gè)線性增加的常量，其并未對(duì)DMF產(chǎn)生較大影響，同時(shí)該常量在頻譜中相當(dāng)于直流分量，因此各頻率成分并未隨b0的變化明顯改變。當(dāng)然，上述結(jié)果僅限于初始側(cè)隙在允許范圍內(nèi)變化時(shí)得到。

圖8 各振動(dòng)參量的三維頻譜圖Fig.8 Three-dimensional spectrum of all vibration variables

2.2 軸承間隙的影響分析

首先主/從動(dòng)軸軸承用C1/C2表示，主/從動(dòng)齒輪用G1/G2表示。為了分析軸承間隙的影響規(guī)律，分別取C1間隙r1為0.5 μm，1 μm，2 μm及4 μm，為了保持C1/C2間隙的定量關(guān)系，C2間隙設(shè)為2r1，b0設(shè)為0.1 μm。圖9為G1/G2徑向振動(dòng)位移、DTE及動(dòng)態(tài)側(cè)隙隨主動(dòng)軸軸頻f變化的RMS曲線。

由圖可見(jiàn)，對(duì)于G1/G2的橫向(x)振動(dòng)(如圖9(b)、(d) 所示)：系統(tǒng)在f=100 Hz(fm=1 900 Hz) 和f=166 Hz(fm=3 154 Hz)處出現(xiàn)共振峰，隨著C1/C2間隙的增加，在中高轉(zhuǎn)速區(qū)，曲線均小幅上移，對(duì)應(yīng)振動(dòng)的加強(qiáng)；而在低速區(qū)(多為工作轉(zhuǎn)速區(qū))，G1/G2的各振動(dòng)曲線相差較?。粌H在r1=4 μm時(shí)，主動(dòng)輪振動(dòng)明顯較弱，而被動(dòng)輪振動(dòng)較強(qiáng)，這是由于間隙相對(duì)過(guò)大而引起軸承非線性力劇烈變化而造成的。對(duì)于G1/G2的縱向(y)振動(dòng)(圖9(c)、(e))：振動(dòng)在該方向上隨轉(zhuǎn)速變化比較平穩(wěn)且未出現(xiàn)共振峰；隨著C1/C2間隙的增加，曲線整體上移，振動(dòng)明顯加強(qiáng)，說(shuō)明了間隙的增加使得該向的軸承力或軸的彎曲力明顯增加。對(duì)于扭振 (圖9(a),(f))：當(dāng)軸承間隙增加時(shí)，DTE及動(dòng)態(tài)側(cè)隙的RMS曲線均整體下移，扭振幅度逐步減弱。

關(guān)于軸承間隙對(duì)嚙合狀態(tài)的影響，圖10給出了DMF均方根值，最大值及最小值隨軸頻f的變化曲線。圖中可看到共振峰及跳躍現(xiàn)象的存在；隨著C1/C2間隙的增加，各曲線并未明顯變化，嚙合沖擊狀態(tài)變化很小，說(shuō)明軸承間隙雖引起徑向振動(dòng)的改變，但這種改變所引起力或力矩的變化并不足以使輪齒嚙合狀態(tài)發(fā)生大的改變。

同樣，從頻譜的角度進(jìn)一步分析軸承間隙的影響，這里設(shè)f=30 Hz，b0=0.1 μm；圖11為各振動(dòng)量隨C1間隙r1(r2=2r1)變化的三維頻譜圖。由于G1/G2徑向振動(dòng)頻譜成分基本與軸承端(圖6,7)相同，在此不再贅述。

圖9 各振動(dòng)參量的RMS曲線Fig.9 RMS curve of all vibration variables

圖10 嚙合力曲線Fig.10 RMS、Maximum and Minimum curve of dynamic mesh force

對(duì)于G1/G2的橫向振動(dòng)(圖11(c), (e))，各倍頻成分變化不大，以主頻和嚙頻變化為主。主動(dòng)輪：主頻2f1幅值隨r1呈現(xiàn)先增后減再增的趨勢(shì)，在r1=3.5 μm取最小，如圖12(a)；嚙頻fm幅值變化如圖12(c)，呈現(xiàn)先減后增的趨勢(shì)，在r1=1.5 μm取最小，但幅值變化不大；被動(dòng)輪：主頻2f2幅值變化同主動(dòng)輪主頻2f1，在r1=1.5 μm取最小(圖12(b))，fm幅值在r1=0.4 μm取最小(圖12(d))。對(duì)比可知G2主頻平均幅值比G1大，而G1嚙頻平均幅值較G2大，G2振動(dòng)相對(duì)較強(qiáng)。

對(duì)于G1/G2的縱向振動(dòng)(圖11(d), (f))，仍以主頻和嚙頻為主。主動(dòng)輪：主頻2f1幅值隨r1呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，在r1=2.8 μm取最大，如圖13(a)所示；嚙頻fm幅值變化規(guī)律性不強(qiáng)，但波動(dòng)較小(圖13(c))。被動(dòng)輪：主頻2f2幅值先增后減再增，在r1=2.8 μm最小(圖13(b))；而嚙頻fm幅值則隨r1不斷跳變，但變化幅度較小(圖13(d))。

圖11 各振動(dòng)量的三維FFT譜圖Fig.11 Three-dimensional spectrum of all vibration variables

對(duì)于G1/G2的扭振(圖11(a), (b))，振動(dòng)頻帶較寬，以嚙頻及其倍頻為主。當(dāng)r1變化時(shí)，扭振頻帶以G1/G2徑向振動(dòng)的主頻(2f1,2f2)變化為主。主動(dòng)輪：2f1幅值呈現(xiàn)先增后減再增的趨勢(shì)，同圖12(a)中x1向振動(dòng)，在r1=3.2 μm取最大，如圖14(a)；2f2幅值也呈現(xiàn)先增后減再增的趨勢(shì)，同圖12(b) 中x2振動(dòng)，在r1=1.5 μm取最小 (圖14(b))；嚙頻fm幅值總體上呈遞增趨勢(shì)，幅值較大(圖14(c))。對(duì)于嚙合力，嚙頻fm幅值則隨r1不斷跳變，無(wú)明顯規(guī)律，變化幅度較小(圖14(d))。

圖12 主/被動(dòng)輪沿x方向振動(dòng)的主頻幅值隨軸承間隙的變化Fig.12 The main frequency amplitude curve via bearing clearance along the X direction

圖13 主/被動(dòng)輪沿y方向振動(dòng)的主頻幅值隨軸承間隙的變化Fig.13 The main frequency amplitude curve via bearing clearance along the Y direction

圖14 扭振的主頻幅值隨軸承間隙的變化Fig.14 The main frequency amplitude curve of torsional vibration via bearing clearance

綜上所述，合理范圍內(nèi)增大軸承間隙，齒輪縱向(y向)振動(dòng)明顯增強(qiáng)；橫向(x向)振動(dòng)在中高速區(qū)內(nèi)增強(qiáng)，而在低速區(qū)內(nèi)變化較小，而當(dāng)間隙相對(duì)較大時(shí)，才會(huì)有較大變化；對(duì)于扭振，其幅度隨軸承間隙的增大則逐漸減小，動(dòng)態(tài)側(cè)隙隨之也逐漸減小，但輪齒的嚙合狀態(tài)并未明顯變化；另外，軸承間隙的改變并未對(duì)系統(tǒng)扭振或彎振的固有頻率有所影響；而在頻域內(nèi)，齒輪徑向振動(dòng)的主頻(2f1,2f2)幅值受軸承間隙影響較大，其隨間隙變化時(shí)出現(xiàn)了最值，嚙頻(fm)幅值同樣受間隙的影響，但其變化幅度較小。扭振頻譜中包含齒輪徑向振動(dòng)的主頻成分(2f1,2f2)，軸承間隙對(duì)其影響主要表現(xiàn)在對(duì)這兩種頻率成分的影響，而對(duì)于譜中嚙頻及其倍頻成分的影響較弱。

3 結(jié) 論

本文建立了直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，主要研究了初始側(cè)隙對(duì)齒輪扭振和軸承端振動(dòng)的影響、軸承間隙對(duì)齒輪扭振和徑向振動(dòng)影響，以此來(lái)探究軸承端振動(dòng)與齒輪端振動(dòng)之間的作用關(guān)系。所得結(jié)論如下：

(1) 相對(duì)于無(wú)間隙系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)側(cè)隙下齒輪扭振幅度明顯較強(qiáng)；對(duì)于軸承端的徑向振動(dòng)，在高速區(qū)，動(dòng)態(tài)側(cè)隙系統(tǒng)的振動(dòng)幅度較無(wú)間隙系統(tǒng)大，而在低速區(qū)(大部分系統(tǒng)的工作區(qū)域)，兩者相差較小；動(dòng)態(tài)側(cè)隙的影響作用與齒輪轉(zhuǎn)速有著密切的關(guān)系。另外，動(dòng)態(tài)側(cè)隙下系統(tǒng)的主共振較無(wú)間隙時(shí)有所提前，且在進(jìn)入主共振區(qū)域時(shí)出現(xiàn)常見(jiàn)的非線性跳躍現(xiàn)象。再者，隨著初始側(cè)隙的增加，系統(tǒng)的扭振幅度隨之增大，但軸承端的徑向振動(dòng)變化較??；而初始側(cè)隙的增加對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的各主要頻率成分影響并不大。

(2) 軸承間隙對(duì)齒輪的徑向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響較大，隨著軸承間隙的增加，齒輪的徑向振動(dòng)整體上均有所加強(qiáng)，但扭振的幅度有所降低；軸承間隙對(duì)齒輪的嚙合力、嚙合狀態(tài)及系統(tǒng)的彎、扭固有頻率影響很弱。而在頻域內(nèi)，隨著軸承間隙的增加，齒輪徑向振動(dòng)的主頻成分均呈現(xiàn)規(guī)律性的變化，且在此過(guò)程中有最值的出現(xiàn)；扭振頻譜的變化表現(xiàn)在以徑向振動(dòng)主頻為頻率成分的規(guī)律性變化，同樣有最值的存在。而在各頻譜中，嚙頻及其倍頻成分變化較小。這對(duì)軸承間隙的選擇具有一定的理論指導(dǎo)意義。

(3) 總體上，初始側(cè)隙的變化(動(dòng)態(tài)側(cè)隙隨之變化)對(duì)軸承端的徑向振動(dòng)影響不大，而軸承端的間隙變化則對(duì)齒輪端的徑向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響顯著，且軸承間隙直接影響著動(dòng)態(tài)側(cè)隙的大小。

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Effects of backlash on bending-torsion coupled vibration of a gear-rotor bearing system

XIANG Ling, JIA Yi, GAO Xueyuan, DI Weiwei, LI Yuanyuan

(Mechanical Engineering Department, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

A dynamic model for bending-torsion coupled vibration of a gear-rotor-bearing system was developed considering dynamic backlash, tooth face friction, gear eccentricity and time-varying mesh stiffness. The coupled vibration relationship between bearing end and gear end was investigated by analyzing effects of dynamic backlash and bearing clearance on the system. The results showed that compared with a system without backlash, the radial vibration of the bearing end of the system with dynamic backlash is stronger within a high rotating speed zone, while the amplitude of the gear torsional vibration is larger within the whole rotating speed range; the system with dynamic backlash enters the main resonance region in advance through nonlinear jump; the change of dynamic backlash has little effect on the vibration of bearing end, but it has an obvious effect on the gear torsional vibration; the magnitude of bearing clearance has a significant influence on the radial and torsional vibrations of the system; with the variation of bearing clearance, the time-domain characteristics and frequency spectra of two vibrations vary regularly; moreover, the bearing clearance directly affects the magnitude of dynamic backlash. The results had important theoretical and engineering values for studying gear-rotor systems with clearances.

dynamic backlash; bending-torsion coupling; bearing clearance; eccentricity; mesh stiffness

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475164)

2015-09-07 修改稿收到日期：2015-11-07

向玲 女，博士,教授，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.001