胡卿瑞

（同濟(jì)大學(xué)土木工程2016級(jí) 200092）

凹凸率與平均值
——琴生不等式的推廣：凹凸率不等式

胡卿瑞

（同濟(jì)大學(xué)土木工程2016級(jí) 200092）

根據(jù)johan jensen的琴聲不等式，從均值與函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系中，推導(dǎo)出了與均值有關(guān)的不等式及其判定定理，提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念“凹凸率”，以及與它有關(guān)的重要結(jié)論“凹凸率定理” 。這個(gè)定理揭示了導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與均值的內(nèi)在聯(lián)系，給具有均值關(guān)系的問題帶來很大方便。從本文例題可以看出，這一發(fā)現(xiàn)推廣了一般均值的定義，這個(gè)理論有很大活力，比如：如果一個(gè)輪換對(duì)稱不等式的二元形式成立，則其n元形式必定成立。這是十分有趣而且很有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)，它將給研究輪換對(duì)稱不等式等問題帶來許多便利之處。

均值 凹凸率 函數(shù)

一、均值的推廣

二、凹凸率與凹凸率函數(shù)

1．定義：對(duì)定義域內(nèi)任0x ，可導(dǎo)函數(shù) )(xf 在任意一點(diǎn)處的凹凸率為而為該函數(shù)的凹凸率函數(shù)。

下面給出證明:

①不妨設(shè)x1＜x2，令? 1(x)=g(x)?(k1x+b1)，?2(x)=f (x)?(k2x+b2)，使得

由數(shù)學(xué)歸納法不難將①②推廣至n元的情況，就把①稱為凹凸率不等式吧。

3．應(yīng)用

①用于證明凹凸率不等式

②用于證明均值不等式

當(dāng) x＞0時(shí)，它們均單調(diào)遞增，且凹凸率函數(shù)滿足

由此可判斷

故不等式得證。從上可以看出凹凸率不等式在證明輪換對(duì)稱不等式中的應(yīng)用:首先將不等式兩端化為均值形式，再找到兩端均值對(duì)應(yīng)的函數(shù)，再比較原函數(shù)凹凸率的大小，最后證明命題。理論上，任何形式的均值均有與其對(duì)應(yīng)的凹凸率函數(shù)，但是尋找的方法還需作進(jìn)一步探究。