姚寒青

純數學是一門科學，同時也是一門藝術。

——法國詩人諾瓦利

“純數學是一門科學，同時也是一門藝術”。如今的數學，已成為研究自然科學和社會科學的基礎學科，它已滲透到經濟、歷史、建筑、音樂、美術、文學等各個領域中。本文以數學的歷史為基礎，多角度展現數學美的外在與內涵，提取數學中美的精彩內容和片段，從藝術和思維的角度，來欣賞數學之大真、大善、大美。以求在美的熏陶下，感受數學別樣的美麗，并得到思維的啟迪與感情的共鳴，同時，期望對數學教育有所幫助。

馬克思說過：“社會的進步就是人類對美的追求的結晶?！睌祵W，作為一門不斷推動社會進步，時代發(fā)展的學科，其中當然存在著美。數學是一種獨特的邏輯，是自然科學的語言，在其內容結構方法上，都具有自身的某種美，就是數學美。正是數學美的存在，數學這門古老的學科，才符合事物生存和發(fā)展的原則，生存于久遠。

數學家、哲學家羅素贊道：“數學，如果正確地看它，則具有——至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷峻而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那樣華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術，才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到?！盵2]

是的，數學是一種精神，它永遠選擇最簡的、最美的，當然也是最好的。數學通過人們對生活的需要而慢慢發(fā)展，它和面包一樣重要。數學是人類對生活經驗和對事物的觀察中得來的觀念，然后對其進行抽象后產生的。數學是思考、想象甚至可以說是幻想，數學的世界永遠充滿著神奇。其思想精巧、驚人、迷人、有趣和美麗，是數學真正的精髓。

1 首先數學美在簡單

數學簡化了思維過程并使之更可靠。

——弗賴伊（T.C.Fry）

華羅庚教授說過：宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁……無不可用數學表述。數學之所以用途如此之廣，因為數學的首要特點在于它的簡單，簡單本身就是一種美。

數學的簡單性在生活中屢見不鮮：

食堂餐券只需印上3角、5角兩種便可支付任何8角或8角以上的菜款而無須找錢。電子信息技術的日益發(fā)展，雖然現在很少還有食堂在采用餐券制，但較好地體現了數學的簡單性。類似地，硬幣和紙鈔上面的面額更為人們所熟悉。

牛頓曾說：“數學家不但更容易接受漂亮的結果，不喜歡丑陋的結論，而且他們也非常推崇優(yōu)美雅致的證明，而不喜歡笨拙與繁復的推理。”簡單即為美，以下將從符號美，公式美及統(tǒng)一美等方面來描述。

1.1 符號美

數學是上帝用來書寫宇宙的文字。

——伽俐略

數學是思維的體操，同時又是一種符號“游戲”。歷史告訴我們，采用合理的符號，能使數學學科得到迅速發(fā)展，相反，若沒有一套合理的符號，其進展就會十分緩慢。古代數學的漫長歷程、今日數學的飛速發(fā)展，17、18世紀歐洲數學的興起，我國幾千年數學發(fā)展進程的緩慢，這些在某種程度上歸咎于數學符號的運用是否恰當。

萊布尼茲說：“數學符號節(jié)省了人們的思維。”數學符號是數學語言的記錄與表現，可使人們擺脫數學自身的抽象與約束，集中精力在主要環(huán)節(jié)，增加人們的思維能力。數學是一個符號的世界，數學思維必須有一套嚴格的符號系統(tǒng)。數學符號的產生發(fā)明、使用流傳，經歷著一個十分漫長的過程，并且仍在繼續(xù)。這個過程始終貫穿著人們對自然、和諧與美的追求。

① 從各國古代不同的記數符號，至阿拉伯數字的創(chuàng)造、改進、流傳與通用；從四則運算符號加（+）、減（-）、乘（×）、除（÷）和乘方（ak）、等號（=）、未知數（x， y， z）等符號的產生、演化；從各國各異的“方程”符號至現今方程的數學表達式的統(tǒng)一， 無不表現著人們追求數學和諧、簡潔、方便、明晰的審美過程。

② 數學在發(fā)展，人們對于數的認識也在不斷深化，當原有的符號對新的概念感到無能為力時，人們也隨之創(chuàng)新。

如用希臘字母？仔表示圓周率這個無限不循環(huán)小數；

③ 數學中還有許多運算符號，這些符號均有其獨特含義，使用它們不僅方便而且簡潔。

比如用“！”號表示階乘：n！=n×（n-1）×…×2×1。

數學符號具有高度的概括性和精確性，它是數學特有的美感。數學中同一個概念開始往往用不同的符號表示，人們在使用過程中不斷對其進行鑒別以確定優(yōu)劣（實用性、方便性、簡潔性等），這里面也蘊涵著一個審美過程。“一種合適的符號要比一種不良的符號更能反映真理。更合適的符號帶著自己的生命出現，并且它又創(chuàng)造出新的生命來?！?/p>

數學思維借助于符號系統(tǒng)來展現，也正是符號成為了數學世界通用的語言，把數學建立在穩(wěn)固的基石上。伽俐略的一段話頗為流傳經典；“宇宙是永遠放在我們面前的一本大書，哲學就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語言和符號，就不能理解它。這本書是數學寫的，它的符號是三角形、圓和其他圖形，不借助它們就一個字也看不懂，沒有它們就只會在黑暗迷宮中踟躇?！?/p>

1.2 公式美

這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數學的公式組成。

——愛因斯坦

如果說數學符號是人類創(chuàng)造的，那么公式就是大自然乃至宇宙本身所蘊涵的真理，是人類的智慧發(fā)現了它們，然后用符號表述出來。自然界的現象與事物千姿百態(tài)，經過人類的觀察、思維、分析與實踐，抽象得到了很多表面現象后內在的東西，公式則就是內在實質（眾多數學定理、命題）的外在表現。

世界上的圓無窮無盡，有大有小，但惟有數學幾何上的圓最標準、純粹、完美，因為它的周長與直徑之比精確等于一個無理數π，即有C=π D。這是一個簡潔的公式，其所反映的又是一種十分奇妙而和諧的關系，且有學者稱它為“宇宙間的第一等好詩?！?

正、余弦定理概括了三角形邊、角的一般關系。直角三角形中三邊關系a2+b2=c2更是古代人們智慧的結晶。

數學公式不是天生的，當有人找到現實事物間的客觀聯系，并賦予它每個字母每個符號的涵義，它才變得富有生機，它是某些數學知識的精華。也只有具有一定數學素養(yǎng)的人才能從中讀出豐富的內涵（數學的“至高無上”）。

2 其次數學美在和諧

所謂“數學的和諧”不僅是宇宙的特點，原子的特點，也是生命的特點，人的特點。

——高爾泰

宇宙是和諧的，許多中外哲人都把宇宙的和諧比擬為音樂的和諧，也比擬為我們聽不到的一首詩。和諧的事物向來給人以美的外觀與一致的內涵。中國傳統(tǒng)文化里有“中庸之美”這一說，和諧就是“中庸”，是美得雅致，美得協調，美得恰到好處，是一種最佳狀態(tài)。

2.1 和諧美

我指的是本質的美，它來自自然的各個部分的和諧秩序，并且純智力能夠領悟它。

——龐加萊

在數學中，畢達哥拉斯首先提出“美是和諧與比例”，和諧是人們追求數學美的準則。為了追求和諧，史上的數學家們一直努力，以消除一些不和諧的東西——比如悖論。很大程度上，悖論對數學的發(fā)展起著舉足輕重的作用，它們正是數學理論之間不和諧所引起的，但通過消除這些不和諧的事物，更是促進了數學的進一步發(fā)展。

數學的和諧首先表現在它能為自然界的和諧找到極佳的論證。

“蜂房結構”問題[4]，是一個生物進化選擇最優(yōu)、最和諧的例子。 蜂房的構造，乍看上去是一些并排且規(guī)則擺放的正六邊形的“筒”，再仔細觀察便會看到：每個筒底由三塊同樣大小的菱形搭成（如圖1）。有學者測量了蜂房底面三塊菱形的角度：鈍角？琢=109°28，銳角？茁=70°32，證實了其實蜂房的如此構造，能使建造同樣大的容積所用材料最省。

這些事實不得不讓人贊嘆，造物主真是一個數學家，數學論證了自然界的和諧。

數學還能解釋自然的和諧，甚至能讓它為人類所用。

最典型的一個例子是：數學家們依據人口增減過程，研究建立了人口增長的數學模型。并求得了人口增長的數學表達式，式中N表示當初人口數，N表示t時間后的人口數，c、k為待定常數（它們依據不同地區(qū)、不同國家、不同時期情況而變化）。公式表明人口增長是按幾何級數增加的，人口的迅速增長若不加控制，人類生存所必需的一切條件將處于危險中。這一實例說明了數學與人類生存世界的和諧相聯系。

上面各種事例可見，對數學和諧美的追求，可啟迪人們的思維，指明人們研究的方向與方法。怪不得有人稱“數學是一門萬用的并具有絕對真理的藝術”。

2.2 對稱美

秩序和對稱是美的重要因素，而這兩者都能在數學里找到。

——亞里士多德

著名德國數學家、物理學家外爾（H. Weyl）說：“美和對稱是緊密相連的。”“對稱”在生活、藝術、自然界、各門科學中的例子屢見不鮮。從日常生活用品到建筑物，從生物細胞的構造到動植物外貌，從分子晶體的排布到化合物的組成……其中皆蘊含著對稱。

“對稱”最初源于幾何。我們平面幾何中的對稱有軸對稱和中心對稱。比如圓（畢達哥拉斯學派認為，圓是平面上最完美的圖形）、正方形，它們既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。立體幾何中的對稱除了上述兩種外，還有平面對稱。立方體、球等都是點、線、面對稱的圖形。

除了圖形上能看到的直觀對稱外，有一些公式和概念中也存在著對稱的思想。

如牛頓萬有引力公式：F=k，這個公式中m，M是空間互相吸引的兩個物質的質量，顯然在式中處于同等地位，這也是一種對稱。

從更廣泛的意義上講，“數論”中的奇數和偶數、質數與合數，“代數”中的正數與負數，“三角”中的正弦與余弦、正切與余切、正割與余割等等，也可看作是對稱。

數學多種概念也是成對出現的：函數與反函數，象與原象，增函數與減函數，正比例函數與反比例函數，奇函數與偶函數，開區(qū)間與閉區(qū)間，收斂與發(fā)散，連續(xù)與離散，由一般到特殊的演繹法和由特殊到一般的歸納法，它們都體現著對稱的思想。

可以這樣說：數學中不少概念與運算，都是人們對于“對稱”問題的探討派生出來的，數學中的對稱美除了作為數學自身的屬性外，也可看成啟迪人們思維及研究問題的方向。

3 結束語

人類用同一種語言建造了精神的巴比塔，那就是數學。它是生活，也是藝術。數學真正的核心不是一些讓人生畏的公式，而是隱藏在其中的優(yōu)秀的人類思想。數學科學作為幾千年來人類智慧的結晶，其巧妙和諧的體系，嚴密而無懈可擊的說服力，在解決實際問題時表現出來的神奇力量，使許許多多的人為之傾倒。這神奇的力量正是來自數學中的美。

數學美是人們對現實美的反映，經過人們思想情感影響著人們的數學實踐、科學實踐。對美的追求是數學創(chuàng)造最主要的動力，對美的追求推動著自然科學、人文科學的發(fā)展，對美的追求也推動著數學本身和數學教育的發(fā)展。

最后，以某位名家的話總結全文：“數學的世界是一個圈，沒有所謂的起點與終點，在這個純美的地方，我們只要走得夠遠，總能到達某個地方?！?/p>

[責任編輯：張濤]