王強(qiáng)， 葉東， 范寧軍， 吳炎烜

(1.北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京 100081；2.國(guó)防知識(shí)產(chǎn)權(quán)局，北京 100088；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江，哈爾濱 150001)

?

基于零控脫靶量的衛(wèi)星末端追逃控制方法

王強(qiáng)1，2， 葉東3， 范寧軍1， 吳炎烜1

(1.北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京 100081；2.國(guó)防知識(shí)產(chǎn)權(quán)局，北京 100088；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江，哈爾濱 150001)

針對(duì)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器都可以采用幅值受限連續(xù)推力進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)時(shí)的衛(wèi)星末端攔截控制問題，由于對(duì)抗雙方都會(huì)采用對(duì)自己有利的控制策略來實(shí)現(xiàn)追擊和逃逸，因此將該問題可以看作追蹤逃逸問題. 由于兩衛(wèi)星距離較近，因此將非線性攔截逃逸相對(duì)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化為CW方程. 根據(jù)攔截任務(wù)終止要求引入零控脫靶矢量將動(dòng)力學(xué)方程降階，采用攔截脫靶量和燃料消耗作為二次最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，推導(dǎo)了衛(wèi)星軌道次優(yōu)控制策略. 仿真表明該控制方法可以在目標(biāo)衛(wèi)星具有機(jī)動(dòng)逃逸能力時(shí)仍能成功將其攔截.

衛(wèi)星追逃；連續(xù)推力；零控脫靶量；燃料子優(yōu)控制

衛(wèi)星作為航天器的主體為國(guó)家安全提供重要的保障，它可以為指揮者制定作戰(zhàn)策略提供有效戰(zhàn)場(chǎng)信息，為導(dǎo)彈、飛機(jī)等傳遞制導(dǎo)導(dǎo)航指令，為地面其他作戰(zhàn)單元提供環(huán)境信息和作戰(zhàn)命令. 因此采用攜帶戰(zhàn)斗部或軟殺傷武器的攔截衛(wèi)星，在戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期對(duì)于戰(zhàn)場(chǎng)上方或者本國(guó)領(lǐng)土上方空域的偵查衛(wèi)星和預(yù)警衛(wèi)星進(jìn)行攔截可以保證己方在作戰(zhàn)中具有優(yōu)勢(shì).

當(dāng)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)之間的距離很近時(shí)，認(rèn)為衛(wèi)星攔截過程進(jìn)入到終端攔截，此時(shí)攔截衛(wèi)星自身攜帶的電子偵測(cè)設(shè)備可以識(shí)別并定位目標(biāo)衛(wèi)星. 學(xué)者們對(duì)于目標(biāo)衛(wèi)星無法進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)攔截衛(wèi)星的控制策略進(jìn)行充分的研究. 高曉光等[1]基于改進(jìn)高斯法(IGM)和遺傳算法(GA)的混合優(yōu)化算法，為解決空間攔截軌道燃料消耗和轉(zhuǎn)移時(shí)間的綜合最優(yōu)問題，提出一種空間攔截軌道設(shè)計(jì)方法. Lu S等[2]針對(duì)目標(biāo)航天器運(yùn)行軌道為橢圓且星間無通信時(shí)衛(wèi)星交會(huì)問題，采用Lawden方程作為動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種幅值有限連續(xù)推力交會(huì)的自適應(yīng)軌道控制方法. 變推力發(fā)動(dòng)機(jī)可進(jìn)行閉環(huán)控制，精度極高. Singla等[3]針對(duì)星載設(shè)備測(cè)量不確定性，根據(jù)輸出反饋控制提出了結(jié)構(gòu)模型參考自適應(yīng)控制器，并將其應(yīng)用在衛(wèi)星自動(dòng)交會(huì)過程中.

目標(biāo)軌道靜止時(shí)衛(wèi)星交會(huì)和攔截的研究技術(shù)已經(jīng)在航天工程領(lǐng)域得到應(yīng)用. 但對(duì)于攔截問題，更嚴(yán)格的場(chǎng)景中目標(biāo)航天器也可以實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)對(duì)攔截器進(jìn)行躲避. 此時(shí)該問題可以看作衛(wèi)星非合作交會(huì)對(duì)接，鄔樹楠等[4]針對(duì)快速接近非合作目標(biāo)航天器任務(wù)，提出了一種基于觀測(cè)器的相對(duì)軌道有限時(shí)間控制算法. Gao H等[5]針對(duì)衛(wèi)星交會(huì)中存在的參數(shù)不確定，未知干擾和控制輸入受限等問題，基于Lyapunov穩(wěn)定理論提出了一種H1狀態(tài)反饋魯棒控制器. 作者將多個(gè)控制目標(biāo)，轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，求解得到有效控制參數(shù).

上述方法在求解控制策略時(shí)已經(jīng)考慮了目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能力，但它們并沒有考慮攔截和目標(biāo)衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的最優(yōu)性. 更合理的方法將該問題看作零和微分對(duì)策問題，Iaacs首先在該領(lǐng)域展開研究，并將對(duì)策雙方都選擇對(duì)自己有利的控制策略時(shí)的解定義為鞍點(diǎn)解[6]. Menon[7]利用反步法和二次目標(biāo)函數(shù)得到控制輸出具有飽和特性時(shí)航天器追逃問題的反饋控制策略，然而其仿真中所用推力加速度很大不具有工程意義. Mauro等將攔截問題轉(zhuǎn)化為TPBVP，提出半直接法來求解鞍點(diǎn)解. 該方法被應(yīng)用在兩航天器遠(yuǎn)距離攻防攔截逃[8]問題中. Stupik[9]采用Kriging方法在CW方程的基礎(chǔ)上研究了衛(wèi)星攻防實(shí)時(shí)反饋解的求取，文章利用打靶法計(jì)算不同初值時(shí)的雙邊最優(yōu)解，并將這些最優(yōu)解進(jìn)行插值獲得初態(tài)域和干擾有限時(shí)的次優(yōu)反饋控制策略.

上述方法求解得到的是雙邊最優(yōu)控制開環(huán)解，不能直接為攔截衛(wèi)星提供有效的實(shí)時(shí)反饋控制. 本文將研究攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器都采用幅值受限連續(xù)推力進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)時(shí)的末端攔截問題，由于攔截衛(wèi)星和目標(biāo)會(huì)采用對(duì)自己有利的控制策略，因此采用微分對(duì)策理論進(jìn)行分析. 兩衛(wèi)星相對(duì)距離較近，因此非線性相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型將被簡(jiǎn)化為CW方程. 通過引入零控脫靶矢量對(duì)系統(tǒng)降維，聯(lián)合燃料消耗和攔截脫靶量構(gòu)建對(duì)策目標(biāo)函數(shù)，推導(dǎo)了燃料次優(yōu)反饋控制策略. 通過仿真分析了所提出方法的優(yōu)缺點(diǎn).

1 相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，在攔截衛(wèi)星P附近建立虛擬衛(wèi)星O軌道，以O(shè)為原點(diǎn)建立相對(duì)軌道坐標(biāo)系Oxyz，其中Ox軸指向衛(wèi)星O的位置矢量r1方向，Oz軸沿軌道角動(dòng)量矢量方向，Oy軸在軌道與Ox，Oz成右手系. 假設(shè)：① 衛(wèi)星P為質(zhì)點(diǎn)模型；② 虛擬衛(wèi)星O無機(jī)動(dòng)；③ 忽略地球非球形攝動(dòng)，大氣阻力攝動(dòng)，太陽光壓和其他天體產(chǎn)生的引力攝動(dòng)項(xiàng)的影響. 最后兩項(xiàng)假設(shè)可以保證參考衛(wèi)星軌道的形狀不發(fā)生變化.

令攔截衛(wèi)星P在慣性坐標(biāo)系下的位置矢量為r2，可得到兩星在赤道慣性坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

虛擬衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系為旋轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，則由矢量求導(dǎo)關(guān)系可得

(3)

式中：δr′表示δr的相對(duì)導(dǎo)數(shù)；Ω為虛擬軌道角速度.

(4)

式中：u=[uxuyuz]為攔截衛(wèi)星推力加速度矢量；

；

式(4)稱為CW方程，其線性形式給衛(wèi)星交會(huì)和攔截的求解帶來了方便. 文獻(xiàn)[4-5]中給出的軌道動(dòng)力學(xué)模型假定目標(biāo)航天器靜止或加速度極小，因此其動(dòng)力學(xué)模型與本文有區(qū)別.

(5)

其中Φ11，Φ12，Φ21，Φ22可參考文獻(xiàn)[9]給出.

假設(shè)攔截衛(wèi)星P和目標(biāo)E相對(duì)距離遠(yuǎn)小于兩星質(zhì)心到地心的距離，則可在其附近設(shè)置虛擬衛(wèi)星，分別對(duì)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)，在該虛擬衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系下建立相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可得如下式

(6)

式中xP，E分別為攔截衛(wèi)星和目標(biāo)在虛擬軌道坐標(biāo)系下的狀態(tài).uP，E為兩星的推力加速度. 它們滿足如式(7)所示幅值限制

(7)

為分析簡(jiǎn)單，將攔截衛(wèi)星和目標(biāo)的相對(duì)位置和速度作為新狀態(tài)xPE=xP-xE，對(duì)xPE求導(dǎo)可得

(8)

其中C=-B.

z方向運(yùn)動(dòng)與軌道面內(nèi)運(yùn)動(dòng)解耦，后面的控制器設(shè)計(jì)和分析只針對(duì)軌道面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)方程與式(4)相似，但參數(shù)矩陣發(fā)生變化.

2 衛(wèi)星追蹤逃逸的次優(yōu)控制策略

由于衛(wèi)星自身攜帶燃料的約束，衛(wèi)星攔截時(shí)間有限. 而在追蹤逃逸過程中，攔截衛(wèi)星與目標(biāo)圍繞攔截結(jié)束時(shí)的距離展開爭(zhēng)奪，因此只考慮兩星的位置矢量，引入零控脫靶矢量(ZEM)來將系統(tǒng)的維度降低[10]

Z(t)=DΦ(tf，t)xPE(t)=

(9)

式中：tf為衛(wèi)星攔截結(jié)束時(shí)間；Φ(tf，t)為xy方向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)從時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到tf時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Z表示系統(tǒng)從t時(shí)刻無控轉(zhuǎn)移到末端時(shí)的脫靶矢量，根據(jù)系統(tǒng)理論可得零控脫靶矢量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足

(10)

對(duì)零控脫靶矢量關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可直接得到動(dòng)力學(xué)方程

(11)

式中系數(shù)矩陣BP=-CE=Φ12(tf，t).

在衛(wèi)星追蹤逃逸過程中，攔截衛(wèi)星和目標(biāo)盡可能使脫靶量對(duì)自己有利，因此定義脫靶量為終端目標(biāo)函數(shù)；為延長(zhǎng)攔截衛(wèi)星作用時(shí)間，得到反饋控制輸出，因此附加燃料消耗項(xiàng)作為過程控制目標(biāo)函數(shù). 最終的目標(biāo)函數(shù)為

(12)

式中：Q=qI2>0為二次系數(shù)矩陣；RP和RE都為正定矩陣. 而γ依賴攔截衛(wèi)星和目標(biāo)的推力，定義了前者機(jī)動(dòng)能力優(yōu)于后者的程度. 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)如下式.

(13)

式中λ為系統(tǒng)狀態(tài)的協(xié)態(tài)變量.

為得到反饋控制器，先假設(shè)兩星的控制輸出滿足式(7)給出的幅值約束. 對(duì)系統(tǒng)哈密頓函數(shù)使用極大極小值可得攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器的控制輸出為

系統(tǒng)的共軛方程和協(xié)態(tài)變量終端條件如下

(15)

則有λ=λ(tf)=QZ(tf). 將兩星控制輸出帶入到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中可得

對(duì)式(16)積分，并帶入?yún)f(xié)態(tài)變量整理后可得終端時(shí)刻的零控脫靶矢量為

Z(tf)=F-1(tf，t)Z(t).

(17)

其中

令RP=RE=RI2，Q=qI4，定義攔截剩余時(shí)間為tgo=tf-t，因此F(tf，t)可以如下給出

(18)

將式(18)帶入到(14)中，可得反饋控制的顯式形式為

uP=-q/RF-1Z， uE=-q/(Rγ2)F-1Z.

(19)

該控制策略具有最優(yōu)性[11]. 系統(tǒng)閉環(huán)軌跡可將控制輸出帶入方程中積分得到.

若預(yù)期控制指令幅值超過推力上限，則無法得到最優(yōu)控制. 下面給出一個(gè)可以實(shí)用的次優(yōu)控制策略.

對(duì)于變量x定義它的飽和函數(shù)為[12]

對(duì)于哈密頓函數(shù)，利用函數(shù)取極大極小值的必要條件得到兩星最優(yōu)控制輸出，并將其帶入到狀態(tài)方程，可以得到

此時(shí)系統(tǒng)共軛方程和橫截條件與式(15)相同，對(duì)式(21)積分，可以得到終端時(shí)刻零控脫靶矢量滿足式(22)

(22)

式中Z(tf)為飽和函數(shù)的自變量，無法得到解析Z(t)，為了給出反饋解，依然假設(shè)等式成立. 此時(shí)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器的控制輸出可如下給出

綜上，考慮目標(biāo)航天器的機(jī)動(dòng)能力時(shí)，兩星的反饋控制策略可如式(23)給出，明顯只有當(dāng)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)的預(yù)定控制輸出滿足式(7)的幅值約束時(shí)，該策略為最優(yōu)控制，否則非最優(yōu).

3 仿真和控制性能分析

假設(shè)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器都在地球同步軌道周圍運(yùn)動(dòng)，則將虛擬衛(wèi)星選為GEO上軌道與這兩星相近的衛(wèi)星. 軌道角速度為ω=7.272 2×10-5rad/s. 攔截和目標(biāo)衛(wèi)星的推力加速度幅值上限分別為ρP=0.686 m/s2和ρE=0.343 m/s2，分別對(duì)兩組算例進(jìn)行仿真.

① 攔截衛(wèi)星和目標(biāo)初始時(shí)刻的狀態(tài)分別為

[-2，-1，0.005，0.001]T，[0，0，0，0]T，即目標(biāo)衛(wèi)星初始時(shí)刻與虛擬衛(wèi)星位置相同，其中位置與速度的單位分別為km和km/s. 其他參數(shù)為R=1，Q=1，γ=2. 對(duì)攔截結(jié)束時(shí)間在200～2 000 s變化的攔截逃逸場(chǎng)景進(jìn)行仿真，統(tǒng)計(jì)兩星攔截結(jié)束時(shí)的距離，可得圖2，可以看到，脫靶量隨攔截結(jié)束時(shí)間增大而減小，只有當(dāng)攔截結(jié)束時(shí)間大于500 s時(shí)，脫靶量才能小于50 m. 當(dāng)攔截時(shí)間為200 s時(shí)，脫靶量為149.89 m，大于100 m，可認(rèn)為攔截失敗. 當(dāng)攔截時(shí)間為600 s時(shí)，脫靶量為32.49 m. 此時(shí)兩星的相對(duì)距離如圖3所示. 圖4給出兩星的攔截逃逸軌跡. 可以看到隨著剩余時(shí)間減少，兩星的相對(duì)位移逐漸減少，在攔截時(shí)刻，y方向的相對(duì)位移收斂到較小值，而x方向仍有較小位置差異.

圖5和圖6給出了600 s時(shí)兩星在攔截逃逸過程中的推力加速度的變化曲線. 可以看到，兩星在初始時(shí)刻都不采用幅值最大的控制策略，直到攔截快要結(jié)束時(shí)，攔截衛(wèi)星最先開始使用最大幅值輸出控制，而目標(biāo)衛(wèi)星的控制輸出也逐漸增大到最大幅值.

② 攔截衛(wèi)星和目標(biāo)初始狀態(tài)分別為[-2.000，1.000，0.005，0]T和[2.000，-1.000，-0.005，0]T，即兩星關(guān)于狀態(tài)空間零點(diǎn)對(duì)稱. 攔截結(jié)束時(shí)間為1 000 s，可得攔截過程中兩星相對(duì)位置的變化曲線和兩星軌跡如圖7和圖8所示.

此時(shí)由于攔截衛(wèi)星初始時(shí)刻具有x正方向的速度，因此會(huì)先向右運(yùn)動(dòng)，而隨后由于目標(biāo)衛(wèi)星向左運(yùn)動(dòng)，又向右運(yùn)動(dòng)追擊目標(biāo). 圖9和圖10給出了兩星的加速度曲線，明顯此時(shí)攔截衛(wèi)星和目標(biāo)在攔截結(jié)束時(shí)刻的加速度幅值也迅速變大，直到達(dá)到上限.

上面兩個(gè)仿真工況中，攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器的控制矢量實(shí)時(shí)同向，這可以由式(23)得到，具體由于式(20)給出的飽和函數(shù)只改變自變量的幅值大小，而保留了它的方向性質(zhì)，因此攔截衛(wèi)星和目標(biāo)的控制向量實(shí)時(shí)共線，同向可以從式(23)中的負(fù)號(hào)以及BP=-CE得到.

4 結(jié) 論

研究了攔截衛(wèi)星和目標(biāo)航天器都采用幅值有限連續(xù)推力進(jìn)行變軌時(shí)的衛(wèi)星末端攔截軌道控制問題. 由于兩衛(wèi)星相對(duì)距離較近，因此可以在其附近建立虛擬衛(wèi)星軌道，進(jìn)而簡(jiǎn)化相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程得到攔截逃逸動(dòng)力學(xué)模型. 通過引入零控脫靶矢量可以將系統(tǒng)方程降維. 利用微分對(duì)策理論推導(dǎo)了系統(tǒng)的鞍點(diǎn)平衡解，最后得到了攔截衛(wèi)星在考慮目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動(dòng)下的次優(yōu)反饋控制律. 仿真表明了該控制策略的有效性，并表明采用該策略時(shí)，攔截結(jié)束時(shí)間增加，攔截脫靶量減??；攔截衛(wèi)星和目標(biāo)在追蹤逃逸過程中任何時(shí)刻的控制推力同向，而推力幅值剛開始時(shí)變化較小，攔截結(jié)束前迅速增加，最后達(dá)到衛(wèi)星所能提供的最大推力.

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(責(zé)任編輯：劉雨)

Terminal Orbital Control of Satellite Pursuit Evasion Game Based on Zero Effort Miss

WANG Qiang1，2， YE Dong3， FAN Ning-jun1， WU Yan-xuan1

(1.School of Electromechanical， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081, China；2.National Defense Intellectual Property Office， Beijing 100088, China；3.Institute of Satellite Technology， Harbin Institute of Technology， Harbin, Heilongjiang 150001, China)

In the satellite interception control strategies, both the interceptor and target could perform orbital maneuver with limited magnitude continuous thrust. Basically, this problem was regarded as a pursuit-evasion game since satellites in both sides would try their best to catch or escape. Assumption that the two player were close such that the nonlinear interception dynamics could be reduced to the CW equations. Zero effort miss was introduced to simplify the system. The controller was constructed by adding the interception miss and the fuel consumption to the optimal objective. Simulation was conducted to analyze the advantage and weakness of proposed control strategy.

satellite pursuit-evasion game; continuous thrust; zero effort miss; fuel suboptimal control

2015-11-17

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(HIT.NSRIF.2015033)；微小型航天器技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(HIT.KLOF.MST.201501)

王強(qiáng)(1977—)，男，博士生，E-mail：yeboyansha@163.com.

葉東(1985—)，男，博士，講師，E-mail:yed@hit.edu.cn.

V 27

A

1001-0645(2016)11-1171-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.11.014