安江波，趙愛(ài)民

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西太原030006)

雙層規(guī)則隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上伴隨意識(shí)衰敗的模型分析?

安江波，趙愛(ài)民?

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西太原030006)

考慮雙層網(wǎng)絡(luò)的SAIS模型，其中警覺(jué)者由于意識(shí)衰敗可能成為易感者。用逼近Markov過(guò)程的方法推導(dǎo)基于個(gè)體的伴隨意識(shí)衰敗的信息傳播SAIS模型。在規(guī)則隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)下，分析了模型的動(dòng)力學(xué)行為.證明了伴隨意識(shí)衰敗，信息傳播的SAIS模型的第二閾值消失。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);意識(shí)衰敗;SAIS模型;閾值

近年來(lái)，研究人類(lèi)對(duì)傳染病的反應(yīng)是一個(gè)非常重要的話題[1]，并且引起了大量的關(guān)注[2-7]。這個(gè)話題關(guān)注的不僅是怎樣模擬疾病存在時(shí)人類(lèi)的反應(yīng)，而且模擬這些反應(yīng)如何影響疾病本身的傳播。一般情況，對(duì)于疾病的傳播，人類(lèi)的反應(yīng)可以分為三類(lèi):1)改變個(gè)體的狀態(tài)。例如，免疫直接導(dǎo)致個(gè)體從易感狀態(tài)到恢復(fù)狀態(tài)而沒(méi)有經(jīng)歷染病狀態(tài)。2)改變傳染病模型的參數(shù)。例如，個(gè)體可能選擇戴面具從而降低了染病率[7]。3)改變接觸網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。例如，個(gè)體可能減少或者改變與潛在染病者的接觸[2]。Polett等人發(fā)展了基于人群(population-based)的模型，易感者面對(duì)傳染病可能有兩種行為:一種是不受傳染病影響保持以前的生活方式；另一種是對(duì)傳染病有警覺(jué)，做好防護(hù)措施。例如減少與外界的接觸[8]。Funk等人證明了對(duì)疾病有意識(shí)的個(gè)體數(shù)量的增加能減少疾病爆發(fā)的概率[4]。

這些基于人群的模型適合于均勻混合的個(gè)體，進(jìn)而關(guān)于異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)論被提出[9]。Pastor等人在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上研究疾病的傳播[10]?；趥€(gè)體(individual-based)的傳染病模型被提出，接觸網(wǎng)絡(luò)用通用圖表示，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)個(gè)體，邊表示接觸。已經(jīng)證明，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型的疾病傳染強(qiáng)度的閾值等于接觸圖譜半徑的倒數(shù)[11-12]。

Sahneh在文[13]中考慮了信息對(duì)疾病傳播的影響，將易感者分為易感者和警覺(jué)者(有意識(shí)的易感者)。易感者與染病者接觸時(shí)，可能被傳染成為染病者；也可能未被疾病傳染，但可能獲得一些與疾病有關(guān)的信息而成為警覺(jué)者。警覺(jué)者與染病者接觸可能被傳染，成為染病者；染病者恢復(fù)后都成為易感者。Sahneh假設(shè)信息與疾病的傳播路徑相同，即信息只能通過(guò)接觸而傳播，從而建立了單層網(wǎng)絡(luò)上的SAIS模型，得出疾病傳染強(qiáng)度的兩個(gè)閾值，并分析了疾病在閾值之間的傳播動(dòng)力學(xué)性態(tài)。得出信息的傳播導(dǎo)致了疾病傳染強(qiáng)度第二閾值的產(chǎn)生。

疾病信息的獲得有兩個(gè)基本來(lái)源。一個(gè)來(lái)源是通過(guò)實(shí)際接觸網(wǎng)絡(luò)，另一個(gè)是通過(guò)社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播(例如微信，QQ)。在文[13]的基礎(chǔ)上Sahneh在文[14]中考慮疾病信息的傳播，進(jìn)而建立了重疊網(wǎng)絡(luò)上的疾病與信息傳播的SAIS-ID動(dòng)力學(xué)模型，并給出疾病傳染強(qiáng)度的第二閾值的表達(dá)式。

David Juher等人在文[15]同樣考慮單層網(wǎng)絡(luò)的SAIS模型，在此基礎(chǔ)上引入意識(shí)衰敗，隨著時(shí)間警覺(jué)者會(huì)成為易感者，作者考慮的網(wǎng)絡(luò)是規(guī)則隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，也就是網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)有相同的度，而每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居是隨機(jī)選擇。同樣證明單層網(wǎng)絡(luò)的SAIS模型存在第二閾值，伴隨意識(shí)衰敗的SAIS模型會(huì)導(dǎo)致第二閾值消失。

本文結(jié)合文[14][15]，考慮伴隨意識(shí)衰敗的SAIS-ID模型，首先給定一個(gè)重疊網(wǎng)絡(luò)，一層為接觸層，疾病在接觸層中傳播；另一層為信息層，信息通過(guò)非接觸的方式(如:電子郵件，社交網(wǎng)絡(luò)等)或與染病者日常接觸的方式(如:生活，工作等)進(jìn)

1 模型的建立

1.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1.2 建立模型

考慮網(wǎng)絡(luò)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以為三種狀態(tài)的一種:S“易感者”，I“染病者”，A“警覺(jué)者”(有意識(shí)的易感者)。 令 X t()＝表示t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，若節(jié)點(diǎn)i在t時(shí)刻是染病者，記xit()＝e1，若為警覺(jué)者xit()＝e2，若為易感者xit()＝e3。

伴隨意識(shí)衰敗的SAIS-ID模型中，疾病與意識(shí)在雙層網(wǎng)絡(luò)中的傳播規(guī)則為:在接觸層，易感者與染病者接觸時(shí)，可能被傳染成為染病者的概率為β0；也可能未被疾病傳染，但可能成為警覺(jué)者的概率為λ0；警覺(jué)者與染病者接觸并被傳染成染病者的概率為β0a(0＜β0a＜β0)；染病者恢復(fù)為易感者的概率為δ；警覺(jué)者成為易感者的概率為δa；在信息層，由于信息傳播，易感者與染病者在虛擬網(wǎng)絡(luò)中接觸并成為警覺(jué)者的概率為μ0。

記mi?[pi，ai，si]T，其中pi，ai，si分別表示節(jié)點(diǎn)i為染病者，警覺(jué)者，易感者的概率，即。于是，對(duì)于充分小的Δt，有:

從而，由全概率公式得:

同理可得:

因此，mi隨時(shí)間變化的微分方程如下:

其中

是無(wú)窮小量轉(zhuǎn)移矩陣。因?yàn)閜i+ai+si＝1，因此模型為:

2 模型分析

下面在規(guī)則隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行分析。此時(shí)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連接，所有節(jié)點(diǎn)的度都相同。記k1為接觸層每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度，k2為信息傳播層每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度。

(0，1)且s0+a0≤1，考慮微分方程:易知(2)存在唯一解滿(mǎn)足初始條件。由解的存在唯一性定理可知，2，…，N的唯一解。在規(guī)則隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上，模型(1)就轉(zhuǎn)化為模型(2)，為了方便起見(jiàn)，記β＝k1β0，βa＝。則模型(2)可寫(xiě)成:就是模型

(1)滿(mǎn)足初始條件

2.1 沒(méi)有意識(shí)衰敗情形

首先我們考慮模型沒(méi)有意識(shí)衰敗情形，即(3)中δa＝0的情形，此時(shí)模型為；

顯然，直線段a+s＝1上的點(diǎn)都是(4)的平衡點(diǎn)，而且 都 是 無(wú) 病 平 衡 點(diǎn)。記 E ＝，L ＝。易知E是系統(tǒng)的正不變集。由問(wèn)題的實(shí)際意義，只需在正不變集E上考慮系統(tǒng)(4)即可。

直接計(jì)算可知系統(tǒng)(4)還有一個(gè)平衡點(diǎn)

從而系統(tǒng)(4)有地方病平衡點(diǎn)的充要條件為: s?+a?＜1。

注意到，當(dāng)u＝0時(shí)模型(3)就退化為文[15]中的模型，利用文[15]的結(jié)論，可得:

定理1 假設(shè)βa，β，λ，μ，δ＞0且βa＜β，系統(tǒng)(4)解的全局行為為以下情況的一種:

(b)若βa＜δ＜β，

(ii)μ＜μ?時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)s?，(a?)，地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。

(c)若δ＜βa，s?，(a?)為全局漸近穩(wěn)定。注 與文[15]相比，考慮了信息可以通過(guò)信息網(wǎng)絡(luò)層傳播，更符合實(shí)際意義。增加信息層警覺(jué)意識(shí)有利于降低地方病平衡點(diǎn)出現(xiàn)的可能，降低疾病爆發(fā)的最終規(guī)模。

當(dāng)β≤δ或δ＜βa時(shí)，警覺(jué)意識(shí)不起作用。因?yàn)楫?dāng)β≤δ時(shí)，恢復(fù)率比易感者的染病率大，疾病不會(huì)爆發(fā)，與警覺(jué)意識(shí)無(wú)關(guān)；當(dāng)δ＜βa時(shí)，恢復(fù)率比警覺(jué)者的染病率小，疾病一定爆發(fā)；當(dāng)βa＜δ＜β時(shí)，此時(shí)警覺(jué)意識(shí)起作用，如果易感者以較大的概率成為警覺(jué)者，從而降低染病的風(fēng)險(xiǎn)。

2.2 意識(shí)衰敗的情形

下面考慮模型(3)中δa≠0的情形。

易得(1，0)為系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)。集合E，L同2.1。易知L是系統(tǒng)(3)的正不變集，當(dāng)t→∞，軌跡每一點(diǎn) a，s( )∈L趨于無(wú)病平衡點(diǎn)，E是系統(tǒng)(3)的正不變集。

同樣利用文[15]的結(jié)論，可得:

定理2 假設(shè)βa，β，λ，μ，δ＞0，βa＜β，若δ≥β，則系統(tǒng)(3)在正不變集E區(qū)域沒(méi)有異于無(wú)病平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。

定理3 假設(shè)βa，β，λ，μ，δ，δa＞0，βa＜β，若δ＜β，則系統(tǒng)(3)在正不變集E內(nèi)部存在唯一一個(gè)平衡點(diǎn)，且全局漸近穩(wěn)定。

注:當(dāng)δ＜β時(shí)，與模型(4)相比，模型(3)地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，此時(shí)疾病第二閾值消失。

3 模擬

本文主要是伴隨意識(shí)衰敗SAIS-ID模型，我們模擬β＞δ時(shí)系統(tǒng)(4)的相圖(圖1)與系統(tǒng)(3)的相圖(圖2)比較。取δa＝0.05。

圖1 圖中(a)(b)參數(shù)分別為

圖2 圖中(a)，(b)參數(shù)分別為

從圖2(a)中可以看出，地方病平衡點(diǎn)接近a+ s＝1的邊界，也就是對(duì)應(yīng)于疾病爆發(fā)；(b)圖中所有的軌跡趨于E內(nèi)的地方病平衡點(diǎn)。

圖3 圖(a)系統(tǒng)(3)的向量場(chǎng)β＞δ，圖(b)系統(tǒng)(3)的相圖

從圖3中可以看出當(dāng)β＞δ時(shí)，系統(tǒng)(3)只有唯一一個(gè)地方病平衡點(diǎn)，且是全局漸近穩(wěn)定。

在圖4中(o)βa＝2，δ＝4，β＝6，μ＝1，λ＝2，(+)βa＝2，δ＝4，β＝6，μ＝1，λ＝0.5。這些初值相同，s(0)＝0.9，a(0)＝0。(△)與(+)參數(shù)相同，初值不同，s(0)＝0.05，a(0)＝0.85。從左圖可以看出+與△不能趨于相同的值，因?yàn)?s?，a?)不是全局穩(wěn)定，右圖看出由于小的意識(shí)衰敗，+與△趨于相同的值，因?yàn)?s?，a?)是全局漸近穩(wěn)定，但需要更長(zhǎng)的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 典型的時(shí)間演化過(guò)程的解系統(tǒng)(4)(左圖)和系統(tǒng)(3)(右圖)，δa＝0.05

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(責(zé)任編輯:曾 晶)

Analysis of A SAIS Epidem ic M odel w ith Awareness Decay on Regular Random Overlay Network

AN Jiangbo，ZHAO Aimin?

(School of Mathematical Sciences，Shanxi University，Taiyuan 030006，China)

A SAISmodel on overlay network was considered where an alert individualmightgo to the susceptible state with awareness delay.Individual-based information disseminationmodel with awareness delay was derived through themethod of approximation Markov process.Under the regular random network，the dynamic behavior of themodel was analyzed.Furthermore，the disappearance of the second epidemic threshold was proved with awareness delay on information dissemination SAISmodel.

complex network；awareness decay；SAISmodel；threshold

O175

A

1000-5269(2016)04-0019-06

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.04.04

2016-05-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471197)；山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014011005-1)

安江波(1989-)，女，在讀碩士，研究方向:生物動(dòng)力系統(tǒng)，Email:918030392＠qq.com.

?通訊作者:趙愛(ài)民.Email:zhaoam＠sxu.edu.cn.行傳播。兩層網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點(diǎn)，但不同層的連邊具有不同的含義。用逼近Markov過(guò)程的方法推導(dǎo)基于個(gè)體的伴隨意識(shí)衰敗的SAIS-ID模型。分析模型時(shí)考慮的是規(guī)則隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，同樣證明了伴隨意識(shí)衰敗，信息傳播的SAIS模型的第二閾值消失。